2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第三册7.3.1 正弦函数的性质与图像同步训练（Word含答案解析)

八　正弦函数的性质与图像
一、选择题
1．函数y＝－sin x在[0，2π]上的图象是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．函数y＝－sin |x|的图象是(　　)
3．设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．c>a>b
4．下列函数是奇函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝x sin
C．y＝－sin D．y＝sin (－)
5．方程sin 2x－2sin x－a＝0在x∈R上有解，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．[－1，3] D．[－1，3)
6．设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数，且有f(x)＝则f＝(　　)
A． B．－ C．0 D．1
7．(2021·尤溪高一检测)已知函数f(x)＝sin x＋|sin x|，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x＋π)＝f(x)
B．f(x)的值域为[0，1]
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)的图象关于点(π，0)对称
8．已知f(x)＝为奇函数，则g(x)在下列哪个区间上单调递增(　　)
A． B．
C． D．
9．已知函数y＝2sin x的定义域为[a，b]，值域为[－2，1]，则b－a的值可能是(　　)
A． B． C．π D．
10．已知函数f(x)＝|tan x|·cos x，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的图象关于中心对称
C．f(x)在区间上单调递增
D．f(x)的值域为[－1，1]
二、填空题
11．不等式－sin x－cos 2x－m≤0对任意的x∈R恒成立，则实数m的最小值为________．
12．用“五点法”作出函数y＝－1－sin x，x∈[0，2π]的图象，并说明它的图象由y＝sin x，x∈[0，2π]的图象经过怎样的变换得到．
13．(2021·济南高一检测)函数y＝的最大值是________，最小值是________．
14.函数y＝2－4sin x－4cos 2x的最大值是________，函数取最大值时对应的x的值是________.
15．若函数y＝sin x－(x∈)有两个零点，则实数m的取值范围为________，两个零点之和为________．
16．函数y＝的单调递增区间为________．
三、解答题
17．已知函数f(x)＝.
(1)化简f(x)并求f的值；
(2)设函数g(x)＝1－2f(x)且x∈，求函数g(x)的单调区间和值域．
18．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)当x∈[－π，0]时，求f(x)的解析式．
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的函数简图．
(3)当f(x)≥时，求x的取值范围．
19．已知函数f(x)＝sin x－2|sin x|，x∈[0，2π]，
(1)作出函数f(x)的图象，并写出f(x)的单调区间；
(2)讨论g(x)＝sin x－2|sin x|－k，x∈[0，2π]的零点个数，并求此时k的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．函数y＝－sin x在[0，2π]上的图象是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【解析】选D.根据五点法找出五个特殊点，分别为(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，然后描点并用光滑的曲线连接．
2．函数y＝－sin |x|的图象是(　　)
【解析】选D.因为函数y＝－sin |x|是定义域R上的偶函数，图象关于y轴对称，所以排除A；
因为函数y＝－sin |x|的值有正有负，
所以排除C；当x≥0时，y＝－sin x，所以排除B.
3．设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．c>a>b
【解析】选B.因为a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°，所以asin 35°，
所以c>b>a.
4．下列函数是奇函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝x sin
C．y＝－sin D．y＝sin (－)
【解析】选B.对于A选项，函数的定义域为R，
设f(x)＝sin |x|，f(－x)＝sin |x|＝f(x)，故函数为偶函数，不符合题意．对于B选项，函数的定义域为R，设f(x)＝x sin |x|，f(－x)＝－x sin |x|＝－f(x)，故函数为奇函数，符合题意．对于C选项，函数的定义域为R，设f(x)＝－sin |x|，
f(－x)＝－sin |x|＝f(x)，故函数为偶函数，不符合题意．对于D选项，函数的定义域为R，
设f(x)＝sin (－|x|)，f(－x)＝sin (－|x|)＝f(x)，故函数为偶函数，不符合题意．
5．方程sin 2x－2sin x－a＝0在x∈R上有解，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．[－1，3] D．[－1，3)
【解析】选C.由于sin 2x－2sin x－a＝0，
即a＝sin 2x－2sin x＝(sin x－1)2－1，
令t＝sin x，t∈[－1，1]，
所以y＝(t－1)2－1∈[－1，3]，故a∈[－1，3].
6．设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数，且有f(x)＝则f＝(　　)
A． B．－ C．0 D．1
【解析】选A.因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数，所以f
＝f＝f.又因为0≤≤π，
所以f＝f＝sin ＝.
7．(2021·尤溪高一检测)已知函数f(x)＝sin x＋|sin x|，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x＋π)＝f(x)
B．f(x)的值域为[0，1]
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)的图象关于点(π，0)对称
【解析】选C.f(x)＝sin x＋|sin x|＝
故函数的周期为2π，即f(x＋2π)＝f(x)，故排除A，
显然函数f(x)的值域为[0，2]，故排除B，
在上，函数f(x)＝2sin x为单调递减，故C正确，
根据函数f(x)的图像特征，可知图像不关于点(π，0)对称，故排除D.
8．已知f(x)＝为奇函数，则g(x)在下列哪个区间上单调递增(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选C.因为f(x)是奇函数，且x≤0时，
f(x)＝|sin x|，
当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝|sin (－x)|
＝|sin x|＝－f(x)，
即f(x)＝－|sin x|，
所以g(x)＝－|sin x|(x>0)，画出函数图象如下：
观察图形可知，g(x)在单调递增．
9．已知函数y＝2sin x的定义域为[a，b]，值域为[－2，1]，则b－a的值可能是(　　)
A． B． C．π D．
【解析】选BCD.因为y＝2sin x的定义域为[a，b]，值域为[－2，1]，所以x∈[a，b]时，－1≤sin x≤，故sin x能取得最小值－1，最大值只能取到.
在内考虑：当a＝－，b＝或a＝－π，b＝－时，b－a最小，为；a＝－π，b＝时，b－a最大，为，即≤b－a≤，
故b－a的值可能为，π，.
10．已知函数f(x)＝|tan x|·cos x，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的图象关于中心对称
C．f(x)在区间上单调递增
D．f(x)的值域为[－1，1]
【解析】选BC.因为函数f(x)＝|tan x|·cos x＝
画出函数f(x)的图象，如图所示：
所以f(x＋2π)＝|tan (x＋2π)|·cos (x＋2π)＝
|tan x|·cos x，f(x)的最小正周期是2π，根据f(x)的图象，f(x)的图象关于中心对称，f(x)在区间上单调递增，f(x)的值域为(－1，1).
二、填空题
11．不等式－sin x－cos 2x－m≤0对任意的x∈R恒成立，则实数m的最小值为________．
【解析】由－sin x－cos 2x－m≤0
得m≥－sin x－cos 2x＝sin 2x－sin x－，
由题意可知，不等式m≥sin 2x－sin x－对任意的x∈R恒成立，则m≥max.
另一方面y＝sin 2x－sin x－＝2－，且－1≤sin x≤1.
所以函数y＝sin 2x－sin x－在sin x＝－1时取得最大值，即ymax＝2－＝，所以m≥.
因此，实数m的最小值为.
答案：
12．用“五点法”作出函数y＝－1－sin x，x∈[0，2π]的图象，并说明它的图象由y＝sin x，x∈[0，2π]的图象经过怎样的变换得到．
【解析】列表．
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
－1－sin x －1 －2 －1 0 －1
描点作图．
要作出y＝－1－sin x，x∈[0，2π]的图象，先由正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]作关于x轴的对称图象，再向下平移1个单位得到．
13．(2021·济南高一检测)函数y＝的最大值是________，最小值是________．
【解析】因为y＝＝1－，
因为－1≤sin x≤1 1≤sin x＋2≤3 －2≤－≤－，
所以－1≤1－≤，所以函数y＝的最大值是；最小值是－1.
答案：　－1
14.函数y＝2－4sin x－4cos 2x的最大值是________，函数取最大值时对应的x的值是________.
【解析】y＝2－4sin x－4cos2x＝2－4sinx－
4＝42－3，
当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ，k∈Z时，
函数取得最大值，
最大值为4×(－1)2－4×(－1)－2＝6.
答案：6　2kπ－，k∈Z
15．若函数y＝sin x－(x∈)有两个零点，则实数m的取值范围为________，两个零点之和为________．
【解析】由sin x－＝0得sin x＝.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝sin x的图象与直线y＝，如图所示．
由图知，当≤＜1，即≤m＜2时，两图象有两个交点，即原函数有两个零点，
此时m∈.
设两个零点分别为x1，x2，
由于两交点关于直线x＝对称，
所以＝，所以x1＋x2＝π.
答案：　π
16．函数y＝的单调递增区间为________．
【解析】设u＝sin x，由复合函数的单调性知，求原函数的单调递增区间即求u＝sin x的单调递减区间，结合u＝sin x的图象知2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
答案：(k∈Z)
三、解答题
17．已知函数f(x)＝.
(1)化简f(x)并求f的值；
(2)设函数g(x)＝1－2f(x)且x∈，求函数g(x)的单调区间和值域．
【解析】(1)f(x)＝＝sin x，
f＝sin ＝－sin
＝－sin ＝.
(2)因为f(x)＝sin x，所以g(x)＝1－2sin x，x∈，所以g(x)的减区间为，增区间为.
因为－≤x≤，所以－≤sin x≤1，所以－1≤1－2sin x≤2，所以g(x)的值域为[－1，2].
18．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)当x∈[－π，0]时，求f(x)的解析式．
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的函数简图．
(3)当f(x)≥时，求x的取值范围．
【解析】(1)若x∈，则－x∈.
因为f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝sin (－x)＝－sin x.
若x∈，则π＋x∈，
因为f(x)是最小正周期为π的周期函数，
所以f(x)＝f(π＋x)＝sin (π＋x)＝－sin x，
所以x∈[－π，0]，f(x)＝－sin x.
(2)函数f(x)在[－π，π]上的函数简图，如图所示：
(3)x∈[0，π]，sin x≥，可得≤x≤，函数周期为π，因此x的取值范围是kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
19．已知函数f(x)＝sin x－2|sin x|，x∈[0，2π]，
(1)作出函数f(x)的图象，并写出f(x)的单调区间；
(2)讨论g(x)＝sin x－2|sin x|－k，x∈[0，2π]的零点个数，并求此时k的取值范围．
【解析】(1)f(x)＝
图象如图，
由图象可知f(x)的递增区间为，；
f(x)的递减区间为，.
(2)由图象可知：
当k＞0或k＜－3时，直线y＝k与函数f(x)有0个交点；
当k＝－3时，直线y＝k与函数f(x)有1个交点；
当－3＜k＜－1时，直线y＝k与函数f(x)有2个交点；
当k＝0或k＝－1时，直线y＝k与函数f(x)有3个交点；
当－1＜k＜0时，直线y＝k与函数f(x)有4个交点．