2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换章末测评试卷（Word含答案解析)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换章末测评试卷（Word含答案解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 216.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-31 09:01:17 | ||
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文档简介
第八章 章末测评
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．(2021·银川高一检测)若cos ＝，则sin 2θ＝( )
A．－ B．－ C． D．
2．若tanα＝2，则的值等于( )
A．－ B． C．－ D．
3．已知＝5，则cos 2α＋sin 2α＝( )
A．－ B．3 C．－3 D．
4．(2021·桂林高一检测)已知α∈(0，π)，cos ＝，则sin α的值为( )
A． B．
C． D．
5．三角形ABC中，若C＞90°，则tan A·tan B与1的大小关系为( )
A．tan A·tan B＞1 B．tan A·tan B＜1
C．tan A·tan B＝1 D．不能确定
6．(2021·深圳高一检测)已知向量a＝(2，3)，向量b＝(－1，2)，若μa＋b与a－b垂直，则μ＝( )
A．－1 B．1
C． D．－
7．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sin B·cos 2＋cos 2B，若f(B)－m＜2恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m＜1 B．m＞－3
C．m＜3 D．m＞1
8．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos (A＋B)，则C＝( )
A． B． C． D．
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．(2021·长沙高一检测)下列各式的值计算正确的是( )
A．sin 30°cos 0°＝0
B．－sin2＋cos2π＝－1
C．(tan55°－tan 25°)－tan 55°·tan 25°＝1
D．＝
10．若函数y＝sin cos ＋
cos ·sin ，则( )
A．函数的周期为2π
B．函数的一个对称中心为
C．函数的一条对称轴为x＝π
D．函数的值域为
11．(2021·新高考I卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
A．| |＝||
B．||＝||
C．·＝·
D．·＝·
12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋
tan αtan β＝，则( )
A．＜α＜ B．β＜＜α
C．＜α＜β D．＜β＜α
【解析】选AB.因为α为锐角，sin α－cos α＝＞0，所以＜α＜.又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
所以tan (α＋β)＝＝，
所以α＋β＝，又α＞，所以β＜＜α.
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝sin 2的最小正周期是________．
14．已知sin α＝3cos α，则cos 2α＝________．
15．(2021·成都高一检测)若<α<π，0<β<，且sin α＝，cos ＝－，
则cos ＝________．
16．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，
则x＋y的最大值是______，最小值为______．
四、解答题(共70分)
17．(10分)(2021·天津高一检测)已知α∈，tan α＝－.
(1)求tan 2α的值；
(2)求的值；
(3)求sin 的值．
18．(12分)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b，d＝a－b.
(1)若c∥d，求k的值，并判断c，d是否同向；
(2)若|a|＝|b|，a与b的夹角为60°，当k为何值时，c⊥d
19．(12分)已知函数f(x)＝cos 2ωx＋sin ωx cos ωx(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴的距离为.
(1)求ω的值并写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)设α是第一象限角，且f＝，
求的值．
20．(12分)已知ω＞0，a＝(2sin ωx＋cos ωx，2sin ωx－cos ωx)，b＝(sin ωx，cos ωx)，f(x)＝a·b，f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是.
(1)求ω的值．
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
21．(12分)(2021·天津高一检测)已知函数f(x)＝4cos x·cos ＋a.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在x∈上的单调递增区间；
(3)若是函数f(x)的一个零点，求实数a的值及函数f(x)在x∈上的值域．
22．(12分)如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，以点A为圆心，9为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，P为上一动点，过点P分别作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，求矩形PMCN的面积的最小值．
参考答案
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．(2021·银川高一检测)若cos ＝，则sin 2θ＝( )
A．－ B．－ C． D．
【解析】选A.由cos ＝得sin 2θ＝cos ＝2cos2－1＝－1＝－.
2．若tanα＝2，则的值等于( )
A．－ B． C．－ D．
【解析】选B.＝＝＝＝.
3．已知＝5，则cos 2α＋sin 2α＝( )
A．－ B．3 C．－3 D．
【解析】选D.因为＝5，
所以＝5 tan α＝3，
cos 2α＋sin 2α＝
＝＝＝，故选D.
4．(2021·桂林高一检测)已知α∈(0，π)，cos ＝，则sin α的值为( )
A． B．
C． D．
【解析】选B.因为α∈(0，π)，cos ＝，
所以sin ＝，
所以sin α＝sin
＝sin cos －cos sin ＝×－×＝.
5．三角形ABC中，若C＞90°，则tan A·tan B与1的大小关系为( )
A．tan A·tan B＞1 B．tan A·tan B＜1
C．tan A·tan B＝1 D．不能确定
【解析】选B.在三角形ABC中，
因为C＞90°，所以A，B都为锐角．
则有tan A＞0，tan B＞0，tan C＜0.
又因为C＝π－(A＋B)，
所以tan C＝－tan (A＋B)
＝－＜0，
易知1－tan A·tan B＞0，
即tan A·tan B＜1.
6．(2021·深圳高一检测)已知向量a＝(2，3)，向量b＝(－1，2)，若μa＋b与a－b垂直，则μ＝( )
A．－1 B．1
C． D．－
【解析】选C.由题意μa＋b＝(2μ－1，3μ＋2)，a－b＝(3，1)，
又μa＋b与a－b垂直，所以(μa＋b)·(a－b)
＝3(2μ－1)＋3μ＋2＝0，解得μ＝.
7．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sin B·cos 2＋cos 2B，若f(B)－m＜2恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m＜1 B．m＞－3
C．m＜3 D．m＞1
【解析】选D.f(B)＝4sin B cos 2＋cos 2B
＝4sin B＋cos 2B
＝2sin B(1＋sin B)＋(1－2sin 2B)＝2sin B＋1.
因为f(B)－m＜2恒成立，
即m＞2sin B－1恒成立．
因为0＜B＜π，所以0＜sin B≤1.
所以－1＜2sin B－1≤1，故m＞1.
8．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos (A＋B)，则C＝( )
A． B． C． D．
【解析】选C.因为m·n＝sin A cos B＋sin B·
cos A＝sin (A＋B)＝sin C＝1－cos C，
所以sin ＝，又因为0＜C＜π，
所以C＋＝，故C＝.
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．(2021·长沙高一检测)下列各式的值计算正确的是( )
A．sin 30°cos 0°＝0
B．－sin2＋cos2π＝－1
C．(tan55°－tan 25°)－tan 55°·tan 25°＝1
D．＝
【解析】选CD.对于A选项，因为sin 30°cos 0°＝sin 30°＝，所以A错误；
对于B选项，因为－sin2＋cos2π＝cos2－sin2＝cos＝，所以B错误；
对于C选项，因为tan 30°＝＝，所以(tan 55°－tan 25°)＝1＋tan 55°·tan 25°，
所以(tan 55°－tan 25°)－tan 55°·tan 25°＝1，所以C正确；
对于D选项，因为＝＝sin30°＝，所以D正确．
10．若函数y＝sin cos ＋
cos ·sin ，则( )
A．函数的周期为2π
B．函数的一个对称中心为
C．函数的一条对称轴为x＝π
D．函数的值域为
【解析】选ACD.y＝sin ·
cos －cos sin ＝
sin
＝sin ＝cos x，故周期为2π，x＝π是函数y＝cos x的一条对称轴，值域为.
11．(2021·新高考I卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
A．| |＝||
B．||＝||
C．·＝·
D．·＝·
【解析】选AC.
对于A：||＝＝1，
||＝＝1，A对；
因为||＝
＝，
||＝＝，
所以B错；
因为·＝(1，0)·(cos (α＋β)，sin (α＋β))＝cos (α＋β)，
·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)，
·＝·，所以C对；
而·＝(1，0)·(cos α，sin α)＝cos α，
·＝(cos β，－sin β)·(cos (α＋β)，
sin (α＋β))＝cos βcos (α＋β)－sin βsin (α＋β)
＝cos (2β＋α)，
所以D错．
【补偿训练】
△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论不正确的是( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
【解析】选ABC.在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，
所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，
所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b
＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，
所以(4a＋b)⊥．
12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋
tan αtan β＝，则( )
A．＜α＜ B．β＜＜α
C．＜α＜β D．＜β＜α
【解析】选AB.因为α为锐角，sin α－cos α＝＞0，所以＜α＜.又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
所以tan (α＋β)＝＝，
所以α＋β＝，又α＞，所以β＜＜α.
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝sin 2的最小正周期是________．
【解析】因为f(x)＝
＝(1－sin 4x)，所以最小正周期T＝.
答案：
14．已知sin α＝3cos α，则cos 2α＝________．
【解析】因为sin α＝3cos α，
又sin 2α＋cos 2α＝1，
解得cos 2α＝，sin 2α＝，
故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－＝－.
答案：－
15．(2021·成都高一检测)若<α<π，0<β<，且sin α＝，cos ＝－，
则cos ＝________．
【解析】由<α<π，sin α＝
可得cos α＝－＝－，
因为0<β< <β＋<，cos＝－，所以sin ＝＝，
所以cos＝cos αcos －
sin αsin ＝×－×＝.
答案：
16．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，
则x＋y的最大值是______，最小值为______．
【解析】建立如图所示的坐标系，
则A(1，0)，B(cos 120°，sin 120°)，
即B.
设∠AOC＝α，则＝(cos α，sin α).
因为＝x＋y＝(x，0)＋
＝(cos α，sin α)，
所以所以
所以x＋y＝sin α＋cos α＝2sin (α＋30°).
因为0°≤α≤120°，所以30°≤α＋30°≤150°.
所以当α＝60°时，x＋y有最大值2.
当α＝0°或120°时，x＋y有最小值为1.
答案：2 1
四、解答题(共70分)
17．(10分)(2021·天津高一检测)已知α∈，tan α＝－.
(1)求tan 2α的值；
(2)求的值；
(3)求sin 的值．
【解析】(1)tan 2α＝＝＝－.
(2)＝＝＝.
(3)sin 2α＝＝＝＝－，cos2α＝＝＝＝.
所以sin＝sin 2α－cos 2α＝×－×＝.
18．(12分)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b，d＝a－b.
(1)若c∥d，求k的值，并判断c，d是否同向；
(2)若|a|＝|b|，a与b的夹角为60°，当k为何值时，c⊥d
【解析】(1)因为c∥d，所以c＝λd，
即ka＋b＝λ(a－b).
又a，b不共线，所以得
即c＝－d，故c与d反向．
(2)c·d＝(ka＋b)·(a－b)＝ka2－ka·b＋a·b－b2＝(k－1)a2＋(1－k)|a|2·cos 60°，
又c⊥d，故(k－1)a2＋a2＝0，
即(k－1)＋＝0，解得k＝1.
19．(12分)已知函数f(x)＝cos 2ωx＋sin ωx cos ωx(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴的距离为.
(1)求ω的值并写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)设α是第一象限角，且f＝，
求的值．
【解析】(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin ωx cos ωx＝＋sin 2ωx，
所以f(x)＝sin ＋的最小正周期T＝＝3π，解得ω＝，
则f(x)＝sin ＋.
令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得3kπ－π≤x≤3kπ＋(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)因为f＝，
即sin ＋＝cos α＋＝，
所以cos α＝，
又α是第一象限角，所以sin α＝，
所以＝·
＝
＝－.
20．(12分)已知ω＞0，a＝(2sin ωx＋cos ωx，2sin ωx－cos ωx)，b＝(sin ωx，cos ωx)，f(x)＝a·b，f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是.
(1)求ω的值．
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
【解析】f(x)＝a·b＝(2sin ωx＋cos ωx)sin ωx＋
(2sin ωx－cos ωx)cos ωx
＝2sin2ωx＋3sinωx cos ωx－cos2ωx
＝1－cos2ωx＋sin 2ωx－(1＋cos 2ωx)
＝(sin 2ωx－cos 2ωx)＋
＝sin ＋.
(1)因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，则ω＝1.
(2)f(x)＝sin ＋.
因为x∈，所以∈，
则当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－1；当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
21．(12分)(2021·天津高一检测)已知函数f(x)＝4cos x·cos ＋a.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在x∈上的单调递增区间；
(3)若是函数f(x)的一个零点，求实数a的值及函数f(x)在x∈上的值域．
【解析】(1)f(x)＝4cos x cos ＋a
＝4cos x＋a
＝4cos x＋a
＝2cos2x＋2sinx cos x＋a
＝cos 2x＋sin 2x＋a＋1
＝2sin ＋a＋1.
T＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)法一：令z＝2x＋；
x∈则z∈.
所以y＝sin z，z∈的单调增区间为，所以≤2x＋≤，
解得0≤x≤.
所以函数f(x)在x∈上的单调递增区间为.
法二：2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，因为x∈，所以0≤x≤，所以函数f(x)在x∈上的单调递增区间为.
(3)因为是函数f(x)＝2sin ＋a＋1的一个零点，
f＝2sin ＋a＋1＝0，所以2sin ＋a＋1＝0，解得a＝1.
f(x)＝2sin ＋2.
因为x∈，所以y＝sin z，
当z∈单调递减区间为，所以<2x＋≤，解得所以函数f(x)在x∈上的单调递增区间，单调递减区间，
f(0)＝2sin ＋2＝3，f＝2sin ＋2＝4，f＝2sin ＋2＝1，所以函数f(x)在x∈上的值域为[1，4].
22．(12分)如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，以点A为圆心，9为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，P为上一动点，过点P分别作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，求矩形PMCN的面积的最小值．
【解析】连接PA，设∠PAE＝θ，
如图所示．
设矩形PMCN的面积为S，延长NP交AB于点H，
则PM＝HB＝AB－AH＝10－9cos θ，
PN＝HN－HP＝10－9sin θ.
所以S＝PM·PN
＝(10－9cos θ)(10－9sin θ)
＝100－90sin θ－90cos θ＋81sin θcos θ.
设sin θ＋cos θ＝t.
则S＝100－90t＋(t2－1)＝t2－90t＋
＝＋.因为θ∈，
所以t＝sin θ＋cos θ＝sin ∈[1，]，
所以当t＝时，Smin＝，
故矩形PMCN的面积的最小值为.
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．(2021·银川高一检测)若cos ＝，则sin 2θ＝( )
A．－ B．－ C． D．
2．若tanα＝2，则的值等于( )
A．－ B． C．－ D．
3．已知＝5，则cos 2α＋sin 2α＝( )
A．－ B．3 C．－3 D．
4．(2021·桂林高一检测)已知α∈(0，π)，cos ＝，则sin α的值为( )
A． B．
C． D．
5．三角形ABC中，若C＞90°，则tan A·tan B与1的大小关系为( )
A．tan A·tan B＞1 B．tan A·tan B＜1
C．tan A·tan B＝1 D．不能确定
6．(2021·深圳高一检测)已知向量a＝(2，3)，向量b＝(－1，2)，若μa＋b与a－b垂直，则μ＝( )
A．－1 B．1
C． D．－
7．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sin B·cos 2＋cos 2B，若f(B)－m＜2恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m＜1 B．m＞－3
C．m＜3 D．m＞1
8．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos (A＋B)，则C＝( )
A． B． C． D．
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．(2021·长沙高一检测)下列各式的值计算正确的是( )
A．sin 30°cos 0°＝0
B．－sin2＋cos2π＝－1
C．(tan55°－tan 25°)－tan 55°·tan 25°＝1
D．＝
10．若函数y＝sin cos ＋
cos ·sin ，则( )
A．函数的周期为2π
B．函数的一个对称中心为
C．函数的一条对称轴为x＝π
D．函数的值域为
11．(2021·新高考I卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
A．| |＝||
B．||＝||
C．·＝·
D．·＝·
12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋
tan αtan β＝，则( )
A．＜α＜ B．β＜＜α
C．＜α＜β D．＜β＜α
【解析】选AB.因为α为锐角，sin α－cos α＝＞0，所以＜α＜.又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
所以tan (α＋β)＝＝，
所以α＋β＝，又α＞，所以β＜＜α.
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝sin 2的最小正周期是________．
14．已知sin α＝3cos α，则cos 2α＝________．
15．(2021·成都高一检测)若<α<π，0<β<，且sin α＝，cos ＝－，
则cos ＝________．
16．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，
则x＋y的最大值是______，最小值为______．
四、解答题(共70分)
17．(10分)(2021·天津高一检测)已知α∈，tan α＝－.
(1)求tan 2α的值；
(2)求的值；
(3)求sin 的值．
18．(12分)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b，d＝a－b.
(1)若c∥d，求k的值，并判断c，d是否同向；
(2)若|a|＝|b|，a与b的夹角为60°，当k为何值时，c⊥d
19．(12分)已知函数f(x)＝cos 2ωx＋sin ωx cos ωx(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴的距离为.
(1)求ω的值并写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)设α是第一象限角，且f＝，
求的值．
20．(12分)已知ω＞0，a＝(2sin ωx＋cos ωx，2sin ωx－cos ωx)，b＝(sin ωx，cos ωx)，f(x)＝a·b，f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是.
(1)求ω的值．
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
21．(12分)(2021·天津高一检测)已知函数f(x)＝4cos x·cos ＋a.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在x∈上的单调递增区间；
(3)若是函数f(x)的一个零点，求实数a的值及函数f(x)在x∈上的值域．
22．(12分)如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，以点A为圆心，9为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，P为上一动点，过点P分别作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，求矩形PMCN的面积的最小值．
参考答案
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．(2021·银川高一检测)若cos ＝，则sin 2θ＝( )
A．－ B．－ C． D．
【解析】选A.由cos ＝得sin 2θ＝cos ＝2cos2－1＝－1＝－.
2．若tanα＝2，则的值等于( )
A．－ B． C．－ D．
【解析】选B.＝＝＝＝.
3．已知＝5，则cos 2α＋sin 2α＝( )
A．－ B．3 C．－3 D．
【解析】选D.因为＝5，
所以＝5 tan α＝3，
cos 2α＋sin 2α＝
＝＝＝，故选D.
4．(2021·桂林高一检测)已知α∈(0，π)，cos ＝，则sin α的值为( )
A． B．
C． D．
【解析】选B.因为α∈(0，π)，cos ＝，
所以sin ＝，
所以sin α＝sin
＝sin cos －cos sin ＝×－×＝.
5．三角形ABC中，若C＞90°，则tan A·tan B与1的大小关系为( )
A．tan A·tan B＞1 B．tan A·tan B＜1
C．tan A·tan B＝1 D．不能确定
【解析】选B.在三角形ABC中，
因为C＞90°，所以A，B都为锐角．
则有tan A＞0，tan B＞0，tan C＜0.
又因为C＝π－(A＋B)，
所以tan C＝－tan (A＋B)
＝－＜0，
易知1－tan A·tan B＞0，
即tan A·tan B＜1.
6．(2021·深圳高一检测)已知向量a＝(2，3)，向量b＝(－1，2)，若μa＋b与a－b垂直，则μ＝( )
A．－1 B．1
C． D．－
【解析】选C.由题意μa＋b＝(2μ－1，3μ＋2)，a－b＝(3，1)，
又μa＋b与a－b垂直，所以(μa＋b)·(a－b)
＝3(2μ－1)＋3μ＋2＝0，解得μ＝.
7．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sin B·cos 2＋cos 2B，若f(B)－m＜2恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m＜1 B．m＞－3
C．m＜3 D．m＞1
【解析】选D.f(B)＝4sin B cos 2＋cos 2B
＝4sin B＋cos 2B
＝2sin B(1＋sin B)＋(1－2sin 2B)＝2sin B＋1.
因为f(B)－m＜2恒成立，
即m＞2sin B－1恒成立．
因为0＜B＜π，所以0＜sin B≤1.
所以－1＜2sin B－1≤1，故m＞1.
8．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos (A＋B)，则C＝( )
A． B． C． D．
【解析】选C.因为m·n＝sin A cos B＋sin B·
cos A＝sin (A＋B)＝sin C＝1－cos C，
所以sin ＝，又因为0＜C＜π，
所以C＋＝，故C＝.
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．(2021·长沙高一检测)下列各式的值计算正确的是( )
A．sin 30°cos 0°＝0
B．－sin2＋cos2π＝－1
C．(tan55°－tan 25°)－tan 55°·tan 25°＝1
D．＝
【解析】选CD.对于A选项，因为sin 30°cos 0°＝sin 30°＝，所以A错误；
对于B选项，因为－sin2＋cos2π＝cos2－sin2＝cos＝，所以B错误；
对于C选项，因为tan 30°＝＝，所以(tan 55°－tan 25°)＝1＋tan 55°·tan 25°，
所以(tan 55°－tan 25°)－tan 55°·tan 25°＝1，所以C正确；
对于D选项，因为＝＝sin30°＝，所以D正确．
10．若函数y＝sin cos ＋
cos ·sin ，则( )
A．函数的周期为2π
B．函数的一个对称中心为
C．函数的一条对称轴为x＝π
D．函数的值域为
【解析】选ACD.y＝sin ·
cos －cos sin ＝
sin
＝sin ＝cos x，故周期为2π，x＝π是函数y＝cos x的一条对称轴，值域为.
11．(2021·新高考I卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
A．| |＝||
B．||＝||
C．·＝·
D．·＝·
【解析】选AC.
对于A：||＝＝1，
||＝＝1，A对；
因为||＝
＝，
||＝＝，
所以B错；
因为·＝(1，0)·(cos (α＋β)，sin (α＋β))＝cos (α＋β)，
·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)，
·＝·，所以C对；
而·＝(1，0)·(cos α，sin α)＝cos α，
·＝(cos β，－sin β)·(cos (α＋β)，
sin (α＋β))＝cos βcos (α＋β)－sin βsin (α＋β)
＝cos (2β＋α)，
所以D错．
【补偿训练】
△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论不正确的是( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
【解析】选ABC.在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，
所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，
所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b
＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，
所以(4a＋b)⊥．
12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋
tan αtan β＝，则( )
A．＜α＜ B．β＜＜α
C．＜α＜β D．＜β＜α
【解析】选AB.因为α为锐角，sin α－cos α＝＞0，所以＜α＜.又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
所以tan (α＋β)＝＝，
所以α＋β＝，又α＞，所以β＜＜α.
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝sin 2的最小正周期是________．
【解析】因为f(x)＝
＝(1－sin 4x)，所以最小正周期T＝.
答案：
14．已知sin α＝3cos α，则cos 2α＝________．
【解析】因为sin α＝3cos α，
又sin 2α＋cos 2α＝1，
解得cos 2α＝，sin 2α＝，
故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－＝－.
答案：－
15．(2021·成都高一检测)若<α<π，0<β<，且sin α＝，cos ＝－，
则cos ＝________．
【解析】由<α<π，sin α＝
可得cos α＝－＝－，
因为0<β< <β＋<，cos＝－，所以sin ＝＝，
所以cos＝cos αcos －
sin αsin ＝×－×＝.
答案：
16．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，
则x＋y的最大值是______，最小值为______．
【解析】建立如图所示的坐标系，
则A(1，0)，B(cos 120°，sin 120°)，
即B.
设∠AOC＝α，则＝(cos α，sin α).
因为＝x＋y＝(x，0)＋
＝(cos α，sin α)，
所以所以
所以x＋y＝sin α＋cos α＝2sin (α＋30°).
因为0°≤α≤120°，所以30°≤α＋30°≤150°.
所以当α＝60°时，x＋y有最大值2.
当α＝0°或120°时，x＋y有最小值为1.
答案：2 1
四、解答题(共70分)
17．(10分)(2021·天津高一检测)已知α∈，tan α＝－.
(1)求tan 2α的值；
(2)求的值；
(3)求sin 的值．
【解析】(1)tan 2α＝＝＝－.
(2)＝＝＝.
(3)sin 2α＝＝＝＝－，cos2α＝＝＝＝.
所以sin＝sin 2α－cos 2α＝×－×＝.
18．(12分)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b，d＝a－b.
(1)若c∥d，求k的值，并判断c，d是否同向；
(2)若|a|＝|b|，a与b的夹角为60°，当k为何值时，c⊥d
【解析】(1)因为c∥d，所以c＝λd，
即ka＋b＝λ(a－b).
又a，b不共线，所以得
即c＝－d，故c与d反向．
(2)c·d＝(ka＋b)·(a－b)＝ka2－ka·b＋a·b－b2＝(k－1)a2＋(1－k)|a|2·cos 60°，
又c⊥d，故(k－1)a2＋a2＝0，
即(k－1)＋＝0，解得k＝1.
19．(12分)已知函数f(x)＝cos 2ωx＋sin ωx cos ωx(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴的距离为.
(1)求ω的值并写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)设α是第一象限角，且f＝，
求的值．
【解析】(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin ωx cos ωx＝＋sin 2ωx，
所以f(x)＝sin ＋的最小正周期T＝＝3π，解得ω＝，
则f(x)＝sin ＋.
令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得3kπ－π≤x≤3kπ＋(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)因为f＝，
即sin ＋＝cos α＋＝，
所以cos α＝，
又α是第一象限角，所以sin α＝，
所以＝·
＝
＝－.
20．(12分)已知ω＞0，a＝(2sin ωx＋cos ωx，2sin ωx－cos ωx)，b＝(sin ωx，cos ωx)，f(x)＝a·b，f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是.
(1)求ω的值．
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
【解析】f(x)＝a·b＝(2sin ωx＋cos ωx)sin ωx＋
(2sin ωx－cos ωx)cos ωx
＝2sin2ωx＋3sinωx cos ωx－cos2ωx
＝1－cos2ωx＋sin 2ωx－(1＋cos 2ωx)
＝(sin 2ωx－cos 2ωx)＋
＝sin ＋.
(1)因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，则ω＝1.
(2)f(x)＝sin ＋.
因为x∈，所以∈，
则当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－1；当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
21．(12分)(2021·天津高一检测)已知函数f(x)＝4cos x·cos ＋a.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在x∈上的单调递增区间；
(3)若是函数f(x)的一个零点，求实数a的值及函数f(x)在x∈上的值域．
【解析】(1)f(x)＝4cos x cos ＋a
＝4cos x＋a
＝4cos x＋a
＝2cos2x＋2sinx cos x＋a
＝cos 2x＋sin 2x＋a＋1
＝2sin ＋a＋1.
T＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)法一：令z＝2x＋；
x∈则z∈.
所以y＝sin z，z∈的单调增区间为，所以≤2x＋≤，
解得0≤x≤.
所以函数f(x)在x∈上的单调递增区间为.
法二：2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，因为x∈，所以0≤x≤，所以函数f(x)在x∈上的单调递增区间为.
(3)因为是函数f(x)＝2sin ＋a＋1的一个零点，
f＝2sin ＋a＋1＝0，所以2sin ＋a＋1＝0，解得a＝1.
f(x)＝2sin ＋2.
因为x∈，所以y＝sin z，
当z∈单调递减区间为，所以<2x＋≤，解得
f(0)＝2sin ＋2＝3，f＝2sin ＋2＝4，f＝2sin ＋2＝1，所以函数f(x)在x∈上的值域为[1，4].
22．(12分)如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，以点A为圆心，9为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，P为上一动点，过点P分别作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，求矩形PMCN的面积的最小值．
【解析】连接PA，设∠PAE＝θ，
如图所示．
设矩形PMCN的面积为S，延长NP交AB于点H，
则PM＝HB＝AB－AH＝10－9cos θ，
PN＝HN－HP＝10－9sin θ.
所以S＝PM·PN
＝(10－9cos θ)(10－9sin θ)
＝100－90sin θ－90cos θ＋81sin θcos θ.
设sin θ＋cos θ＝t.
则S＝100－90t＋(t2－1)＝t2－90t＋
＝＋.因为θ∈，
所以t＝sin θ＋cos θ＝sin ∈[1，]，
所以当t＝时，Smin＝，
故矩形PMCN的面积的最小值为.