2021-2022学年高二上学期数学 人教A版（2019）选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何 单元试题（Word含答案解析)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学 人教A版（2019）选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何 单元试题（Word含答案解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 939.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-31 09:02:47 | ||
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文档简介
（2）空间向量与立体几何
——2021-2022学年高二数学人教A版（2019）
1.已知空间向量a，b，且，，，则一定共线的三点是( )
A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D
2.如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，点N是上的点，且，用a，b，c表示向量的结果是( )
A. B.
C. D.
3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则( )
A. B. C. D.
4.在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当AM，BN均最短时，( )
A. B. C. D.
5.在正方体中，向量与向量的夹角是( )
A.150° B.135° C.45° D.30°
6.若向量，，且a与b的夹角的余弦值为，则 ( )
A.3 B. C. D.3或
7.在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（A，B，C，，且A，B，C不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面PAB的距离d等于( )
A. B. C.2 D.5
8.如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.（多选）设是任意的非零空间向量，且它们相互不共线，则下列结论中正确的有( )
A.
B.
C.不与垂直
D.
10.（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A.
B.
C.向量与的夹角是60°
D. 与AC所成角的余弦值为
11.已知空间向量满足，则的值为___________.
12.在棱长为2的正方体中，M，N分别是的中点，则直线MN与平面ABCD所成的角的余弦值为__________.
13.如图，在直三棱柱中，，，D为上一点.若二面角的大小为30°，则AD的长为_____________.
14.在长方体中，，，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为____________.
15.如图是一个半圆柱与多面体构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且，P为上的动点(不与，重合).
（1）证明：平面.
（2）若四边形为正方形，且，，求二面角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，A，B，D三点共线，故选A.
2.答案：D
解析：由题意可得，.
，，，故选D.
3.答案：A
解析：记，，，因为，，所以，.又因为，，所以，.易得，所以，所以.故选A.
4.答案：A
解析：由共面向量定理和共线向量基本定理可知，平面BCD，直线AC，
当AM，BN均最短时，平面BCD， ，
此时M为的中心，N为AC的中点，连接MC，则.
平面BCD，平面BCD，，.又，.
故选A.
5.答案：B
解析：如图，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，，，，
，，，
向量与向量的夹角是135°.
6.答案：A
解析：因为，且a与b的夹角的余弦值为，所以，解得或，又，所以，故选A.
7.答案：B
解析：以底面中心O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图.
则，，，，设平面PAB的方程为，将A，B，P3点的坐标代入计算得，，，所以方程可化为，即，所以.
8.答案：B
解析：取AC的中点O，连接OP，OB，
，，
平面平面ABC，平面平面 ，
平面ABC，
又，，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
是等腰直角三角形，，为等边三角形，
，，，，
，，
.
异面直线AC与PD所成角的余弦值为.
故选B.
9.答案：BD
解析：根据空间向量数量积的定义及性质，可知和是实数，而与不共线，故与一定不相等，故A错误；因为，所以当，且或时，，即与垂直，故C错误；易知BD正确.故选BD.
10.答案：AB
解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以，
，
则，所以A正确；
，所以B正确；
显然为等边三角形，则.
因为，且向量与的夹角是120°，所以与夹角是120°，所以C不正确；
因为，
所以，，
，
所以，所以D不正确.故选AB.
11.答案：
解析：，，，.
12.答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，平面ABCD的一个法向量为，所以，设直线MN与平面ABCD所成的角为，则，所以.
13.答案：
解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则，，，，.设，则点D的坐标为，.
设平面的法向量为，则令，得.又平面的一个法向量为，记为n，则由，解得（负值舍去），故.
14.答案：
解析：如图，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
由，得，
，
设平面的法向量为，
由得
取，则，，，
点Q到平面的距离.
15.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）在半圆柱中，平面，平面，
所以.
因为是上底面对应圆的直径，
所以.
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）根据题意，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示.
设，则，，，
所以，.
易知为平面的一个法向量.
设平面的法向量为，则
即
令，则，，所以为平面的一个法向量.
所以.
由图可知二面角为钝角，所以所求二面角的余弦值为.
——2021-2022学年高二数学人教A版（2019）
1.已知空间向量a，b，且，，，则一定共线的三点是( )
A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D
2.如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，点N是上的点，且，用a，b，c表示向量的结果是( )
A. B.
C. D.
3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则( )
A. B. C. D.
4.在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当AM，BN均最短时，( )
A. B. C. D.
5.在正方体中，向量与向量的夹角是( )
A.150° B.135° C.45° D.30°
6.若向量，，且a与b的夹角的余弦值为，则 ( )
A.3 B. C. D.3或
7.在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（A，B，C，，且A，B，C不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面PAB的距离d等于( )
A. B. C.2 D.5
8.如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.（多选）设是任意的非零空间向量，且它们相互不共线，则下列结论中正确的有( )
A.
B.
C.不与垂直
D.
10.（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A.
B.
C.向量与的夹角是60°
D. 与AC所成角的余弦值为
11.已知空间向量满足，则的值为___________.
12.在棱长为2的正方体中，M，N分别是的中点，则直线MN与平面ABCD所成的角的余弦值为__________.
13.如图，在直三棱柱中，，，D为上一点.若二面角的大小为30°，则AD的长为_____________.
14.在长方体中，，，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为____________.
15.如图是一个半圆柱与多面体构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且，P为上的动点(不与，重合).
（1）证明：平面.
（2）若四边形为正方形，且，，求二面角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，A，B，D三点共线，故选A.
2.答案：D
解析：由题意可得，.
，，，故选D.
3.答案：A
解析：记，，，因为，，所以，.又因为，，所以，.易得，所以，所以.故选A.
4.答案：A
解析：由共面向量定理和共线向量基本定理可知，平面BCD，直线AC，
当AM，BN均最短时，平面BCD， ，
此时M为的中心，N为AC的中点，连接MC，则.
平面BCD，平面BCD，，.又，.
故选A.
5.答案：B
解析：如图，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，，，，
，，，
向量与向量的夹角是135°.
6.答案：A
解析：因为，且a与b的夹角的余弦值为，所以，解得或，又，所以，故选A.
7.答案：B
解析：以底面中心O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图.
则，，，，设平面PAB的方程为，将A，B，P3点的坐标代入计算得，，，所以方程可化为，即，所以.
8.答案：B
解析：取AC的中点O，连接OP，OB，
，，
平面平面ABC，平面平面 ，
平面ABC，
又，，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
是等腰直角三角形，，为等边三角形，
，，，，
，，
.
异面直线AC与PD所成角的余弦值为.
故选B.
9.答案：BD
解析：根据空间向量数量积的定义及性质，可知和是实数，而与不共线，故与一定不相等，故A错误；因为，所以当，且或时，，即与垂直，故C错误；易知BD正确.故选BD.
10.答案：AB
解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以，
，
则，所以A正确；
，所以B正确；
显然为等边三角形，则.
因为，且向量与的夹角是120°，所以与夹角是120°，所以C不正确；
因为，
所以，，
，
所以，所以D不正确.故选AB.
11.答案：
解析：，，，.
12.答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，平面ABCD的一个法向量为，所以，设直线MN与平面ABCD所成的角为，则，所以.
13.答案：
解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则，，，，.设，则点D的坐标为，.
设平面的法向量为，则令，得.又平面的一个法向量为，记为n，则由，解得（负值舍去），故.
14.答案：
解析：如图，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
由，得，
，
设平面的法向量为，
由得
取，则，，，
点Q到平面的距离.
15.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）在半圆柱中，平面，平面，
所以.
因为是上底面对应圆的直径，
所以.
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）根据题意，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示.
设，则，，，
所以，.
易知为平面的一个法向量.
设平面的法向量为，则
即
令，则，，所以为平面的一个法向量.
所以.
由图可知二面角为钝角，所以所求二面角的余弦值为.