2021——2022学年 人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆 同步练习题（Word版含答案）

2021——2022学年度人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 24.3正多边形和圆 课后练习题
一、选择题
1．一个正八边形中最长的对角线等于a，最短的对角线等b，则这个正八边形的面积为（　　）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．a+b D．ab
2．的内接多边形周长为，的外切多边形周长为，则下列各数中与此圆的周长最接近的是　　
A． B． C． D．
3．下列命题：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；④圆内接四边形的对角互补．其中正确的命题共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=40°，点C是⊙O上不同于A，B的任意一点，则∠ACB的度数为（ ）
A．70° B．40° C．110° D．70°或110°
5．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是（　　）
A．65° B．115° C．115°或65° D．130°或65°
6．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是(　　)
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．AC＝BC D．∠BAC＝30°
7．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，2）
8．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论正确的有（　　）
①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长；
②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；
③＝；
④∠BAC＝30°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在中，点，，在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是半圆O的直径，，则的度数是（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
二、填空题
11．一条弦所对的圆心角的度数为95°，这条弦所对的圆周角的度数为______．
12．若正八边形的边长为，则此正八边形的面积是______．
13．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为__．
14．如图，在扇形中，点C、D在上，连接、交于点E，若，的度数为50°，则_____°．
15．如图所示，A、B、C、D 是一个正n边形的顶点，O为其中心，若∠ADB=18°，则n=____．
三、解答题
16．如图，在三角形ABC中，∠ C=90°，I是内心，直线BI与AC交于点D，过点D作DE//AI与BC交于点E，直线EI与AB交于点F．证明：DF ⊥ AI．
17．如图，在圆内接正六边形中，半径，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
18．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．
19．如图，的半径为R，求的内接正六边形、的外切正六边形的边长比和面积比．
20．已知等腰中，AB＝AC．
（1）如图1，若为的外接圆，求证：；
（2）如图2，若，，I为的内心，连接IC，过点I作交AC于点D，求ID的长．
21．已知A、B、C、D四点在同一圆上，请仅用无刻度直尺完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图①，AB＝CD，在图①中作出该圆的一条直径；
（2）如图②，AB、BC、CD是圆内接正五边形的三条边，在图②中作出该圆的圆心．
22．如图，六边形ABCDEF是的内接正六边形．
（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分．
（2）设的面积为，六边形ABCDEF的面积为，求的值．
23．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____
【参考答案】
1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．D 10．C
11．47.5°或132.5°．
12．
13．九
14．145
15．10
16．证明：∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
而，
∴E、C、D、I四点共圆，
∴，
∴，
又 ，AI=AI，
∴△ADI≌△AFI (ASA)，
∴，即是等腰三角形 ，且AI是顶角的角平分线，
∴．
17．解：连接，
∵六边形为正六边形，
∴．
∵ ，
∴为等边三角形．
∴，
∵六边形是正六边形，
∴ ，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴．
∴正六边形的中心角为，边长为4，边心距为．
18．解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，
∵OE=OD，∠EOD=，
∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，
∵OE＝2cm，∠OGE＝90°，
∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，
点E的坐标为（1，），
又由题意知点D的坐标为（2，0），
由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）．
故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）．
19．解：连接，如下图：
由正多边形的性质可得：，，
∴为等边三角形
∴，
由题意可得：，
∴
设，则，由勾股定理得
解得，
∵
∴，为的角平分线
∴
在中，，，解得
，
故；
20．（1）证明：连接OB、OC，∵AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上
又∵OB＝OC，∴O也在BC的垂直平分线上
∴
（2）连接AI并延长交BC于点F，过点I分别作于点G，于点H
∵，I为的内心，∴，，
∴
设，由
可得：
∴
设，则，
∴
解得： 即
∵，平分
∴
∴设，
在中，
∴解得：
∴
21．解：（1）如图，EF即为所求；
（2）如图，点O即为所求．
22．解：（1）连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是的内接正六边形，
∴EF=ED=CD=BC，
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，
即过顶点A的三条对角线四等分；
（2）过点O作OG⊥DE于G，连接OE，
设圆O的半径为r，
∴EF=BC=ED=r，AD=2r，
在正六边形ABCDEF中，
∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EOG=30°，
∴EG=r，
∴OG==r，
∴正六边形ABCDEF的面积==，
圆O的面积=，
∴==．
23．（1）如图，连接OB、OC，则，
是内接正三角形，
中心角，
∵点O是内接正三角形ABC的内心，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是内接正方形，
中心角，
同（1）的方法可证：；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是内接正五边形，
中心角，
同（1）的方法可证：，
故答案为：，；
（3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是，
的度数与正方形边数的关系是，
的度数与正五边形边数的关系是，
归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是，
故答案为：．