2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元培优卷（Word含答案解析)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元培优卷（Word含答案解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 930.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-31 09:03:58 | ||
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文档简介
（1）空间向量与立体几何
——2021-2022学年高二数学人教A版（2019）
1.在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是( )
A. B. C. D.
2.如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是( )
A. B.
C. D.
3.已知空间A、B、C、D四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且，则实数x的值为( )
A. B. C. D.
4.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为( )
A. B.
C. D.
5.向量，，若，且，则的值为( )
A.-1 B.1 C.-4 D.4
6.如图所示，在长方体中，，，E，F分别是面，面的中心，则E，F两点间的距离为( )
A.1 B. C. D.
7.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离( )
A.等于
B.和EF的长度有关
C.等于
D.和点Q的位置有关
9.（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，则下列结论正确的有( )
A.
B.
C.是平面ABCD的一个法向量
D.
10.（多选）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A.点A到直线BE的距离是
B.点O到平面的距离为
C.平面与平面间的距离为
D.点P到直线AB的距离为
11.已知空间向量，设与垂直，，则_______________.
12.正三棱柱的所有棱长都相等，则与平面所成角的余弦值为__________________.
13.已知，，若，，且平面ABC，则___________.
14.已知点E，F分别在正方体的棱，上，且，，则平面AEF与平面ABC所成角的正切值为________________.
15.如图（1），AD是中BC边上的高，且，将沿AD翻折，使得平面平面ABD，如图（2）所示.
（1）求证：.
（2）在图（2）中，E是BD上一点，连接AE，CE，当AE与底面ABC所成角的正切值为时，求直线AE与平面BCE所成角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：如图所示，取BC的中点F，则，又E为正三角形BCD的重心，即DF上靠近F的三等分点，所以，则.
2.答案：A
解析：.
3.答案：A
解析：因为空间中的四点A，B，C，D共面，但任意三点不共线，且对于该平面外任意一点P，都有，所以，解得.故选A.
4.答案：C
解析：连接BD，E为PD的中点，.故选C.
5.答案：C
解析：，，解得.
由，得，
解得，，故选C.
6.答案：C
解析：以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则点，，所以，故选C.
7.答案：D
解析：设的中点为，连接，则由题意知平面，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设侧棱长为，则，则.
所以.
8.答案：A
解析：取的中点G，连接PG，CG，DP，则，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关， B错.又平面PGCD，所以点到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错.
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
设是平面PGCD的法向量，
则由得
令，则，，所以是平面PGCD的一个法向量.
设点Q到平面PEF的距离为d，则，A对，C错.故选A.
9.答案：ABC
解析：，，，A对；
，，，B对；
，，，平面ABCD，
是平面ABCD的一个法向量，C对；
，设，即方程组无解，D错.
故选ABC.
10.答案：BC
解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，.
设，则，.
故A到直线BE的距离，故A错.
易知，
平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B对.
，，.
设平面的法向量为，
则所以
令，得，，
所以.
所以点到平面的距离.
因为易证得平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C对.
因为，所以，又，则，所以点P到AB的距离，故D错.
11.答案：0°
解析：，化简得.
又，
，
，
，.
12.答案：
解析：设三棱柱的棱长为1，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，平面的一个法向量为.设与平面所成角为，则.
13.答案：
解析：已知，由题意，可得，.
利用向量数量积的运算公式，可得解得
.
14.答案：
解析：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设，由已知条件得，，，，，则，，.
设平面AEF的法向量为，
平面AEF与平面ABC所成角为，
由得
令，则，，
所以，
易得平面ABC的一个法向量，
则，
又，所以，所以.
15.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由题图（1）知，在题图（2）中，，.
平面平面ABD，平面平面，平面ABD，
平面ACD，又平面ACD，
.
（2）以A为坐标原点，AC，AB，AD所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，.
设，由，得，得，，
又平面ABC的一个法向量为，AE与底面ABC所成角的正切值为，
所以，于是，
即，解得，
则，，.
设平面BCE的法向量为，则即
令，得，，则是平面BCE的一个法向量，
设直线AE与平面BCE所成的角是，
则，
故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为.
——2021-2022学年高二数学人教A版（2019）
1.在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是( )
A. B. C. D.
2.如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是( )
A. B.
C. D.
3.已知空间A、B、C、D四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且，则实数x的值为( )
A. B. C. D.
4.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为( )
A. B.
C. D.
5.向量，，若，且，则的值为( )
A.-1 B.1 C.-4 D.4
6.如图所示，在长方体中，，，E，F分别是面，面的中心，则E，F两点间的距离为( )
A.1 B. C. D.
7.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离( )
A.等于
B.和EF的长度有关
C.等于
D.和点Q的位置有关
9.（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，则下列结论正确的有( )
A.
B.
C.是平面ABCD的一个法向量
D.
10.（多选）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A.点A到直线BE的距离是
B.点O到平面的距离为
C.平面与平面间的距离为
D.点P到直线AB的距离为
11.已知空间向量，设与垂直，，则_______________.
12.正三棱柱的所有棱长都相等，则与平面所成角的余弦值为__________________.
13.已知，，若，，且平面ABC，则___________.
14.已知点E，F分别在正方体的棱，上，且，，则平面AEF与平面ABC所成角的正切值为________________.
15.如图（1），AD是中BC边上的高，且，将沿AD翻折，使得平面平面ABD，如图（2）所示.
（1）求证：.
（2）在图（2）中，E是BD上一点，连接AE，CE，当AE与底面ABC所成角的正切值为时，求直线AE与平面BCE所成角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：如图所示，取BC的中点F，则，又E为正三角形BCD的重心，即DF上靠近F的三等分点，所以，则.
2.答案：A
解析：.
3.答案：A
解析：因为空间中的四点A，B，C，D共面，但任意三点不共线，且对于该平面外任意一点P，都有，所以，解得.故选A.
4.答案：C
解析：连接BD，E为PD的中点，.故选C.
5.答案：C
解析：，，解得.
由，得，
解得，，故选C.
6.答案：C
解析：以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则点，，所以，故选C.
7.答案：D
解析：设的中点为，连接，则由题意知平面，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设侧棱长为，则，则.
所以.
8.答案：A
解析：取的中点G，连接PG，CG，DP，则，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关， B错.又平面PGCD，所以点到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错.
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
设是平面PGCD的法向量，
则由得
令，则，，所以是平面PGCD的一个法向量.
设点Q到平面PEF的距离为d，则，A对，C错.故选A.
9.答案：ABC
解析：，，，A对；
，，，B对；
，，，平面ABCD，
是平面ABCD的一个法向量，C对；
，设，即方程组无解，D错.
故选ABC.
10.答案：BC
解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，.
设，则，.
故A到直线BE的距离，故A错.
易知，
平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B对.
，，.
设平面的法向量为，
则所以
令，得，，
所以.
所以点到平面的距离.
因为易证得平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C对.
因为，所以，又，则，所以点P到AB的距离，故D错.
11.答案：0°
解析：，化简得.
又，
，
，
，.
12.答案：
解析：设三棱柱的棱长为1，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，平面的一个法向量为.设与平面所成角为，则.
13.答案：
解析：已知，由题意，可得，.
利用向量数量积的运算公式，可得解得
.
14.答案：
解析：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设，由已知条件得，，，，，则，，.
设平面AEF的法向量为，
平面AEF与平面ABC所成角为，
由得
令，则，，
所以，
易得平面ABC的一个法向量，
则，
又，所以，所以.
15.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由题图（1）知，在题图（2）中，，.
平面平面ABD，平面平面，平面ABD，
平面ACD，又平面ACD，
.
（2）以A为坐标原点，AC，AB，AD所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，.
设，由，得，得，，
又平面ABC的一个法向量为，AE与底面ABC所成角的正切值为，
所以，于是，
即，解得，
则，，.
设平面BCE的法向量为，则即
令，得，，则是平面BCE的一个法向量，
设直线AE与平面BCE所成的角是，
则，
故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为.