第二章 实数
1．数怎么不够用了
成都三十三中学校 尹晓英
一、学生起点分析
八年级学生已经在学习《有理数》的过程中体会到数不够用了，刚刚学完《勾股定理》，再次感受到需要研究新的数了.在此基础上，学生能在“需要—探究—发现—论证”式的课堂中积极参与讨论问题，大胆发表自己的见解和看法，从非常直观的操作中发现问题，实现数的发展.
二、教材任务分析
《数怎么不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节. 本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受数的发展，建立无理数的概念，第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数.这是第1课时，学生将在具体的背景中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的产生的实际背景和引入的必要性，并能判断一个数是无理数，并能说出理由.
三、教学目标分析
（一）教学目标
知识与技能目标
1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2．能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由.
过程与方法目标
1．学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神.
2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断识别某些数是否为有理数、无理数，训练他们的思维判断力.
3．借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.
情感与态度目标
1．激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.
2．引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作精神与钻研精神，借助计算器进行估算.
3．了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋半的献身精神.
（二）教学重点
1．让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数.
2．会判断一个数是否为有理数，是否不是有理数.
3．用计算器进行无理数的估算.
（三）教学难点
1．把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
2．无理数概念的建立及估算.
3．判断一个数是否为有理数.
四、教学学法
1．教学方法：引导、探究、发现与合作交流相结合.
2．课前准备：多媒体，两个边长为1的正方形，剪刀，短绳.
五、教学过程：
本节课设计六个教学环节；第一环节：章节引入；第二环节：本节引入；第三环节：活动探究；第四环节：献身科学，执着追求；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置.
第一环节：章节引入
内容：.小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了两个数学题：（1）两个数3.252525……与3.252252225……一样吗？它们有什么不同？
（2）一个边长为6cm的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？
你能帮小红解决这个问题吗？
b .你能求出面积为2的正方形的边长吗？你知道圆周率的精确值吗？它们能用整数或分数（即有理数）来表示吗？
意图：通过这些问题，学生将发现，现实生活中存在不同于有理数的数，从而感受到需要学习新的数，激发学生的求知识欲望.
效果：通过对实际问题的了解、解决，感受实际生活中需解决的问题，激发学生的好奇心和求知欲，引出本章课题《第二章 实数》.
第二环节：复习引入
内容：.阅读下面的资料，在数学中，有理数的定义为：形如的数（p、q为互质的整数，且p≠0）叫做有理数，当p=1，q为任意整数时，有理数 就是指所有的整数，如： =-2等，当p≠1时，由p、q互质可知，有理数就是指所有的分数，如，-，-等，综上所述，有理数就是整数和分数的统称.
请用上述材料中所涉及的知识证明下面的问题：
a.直角边长分别为3和1的直角三角形的斜边长是不是有理数？
b.复习前面学过的数，有理数包括整数和分数，有理数范围是否满足实际生活的需要呢？
意图：回顾前面学过的数和范围，为数的扩充和发展做好铺垫，也可由问题直接进入本课的学习.
效果：学生通过知识回顾，再次感受数的扩充和发展的必要，为学习本节课在知识上、情感上作好准备.
第三环节：活动探究
（一）发现新数
内容：将课前已准备好的两个边长为1的小正方形剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形.
在学生活动的基础上，教师利用多媒体展示其中一种剪拼过程，并抛出下面的议一议：
（1）设大正方形的边长为，应满足什么条件？
（2）满足：2=2的数是一个什么样的数？可能是整数吗？说明你的理由？
（3）可能是分数吗？说说你的理由？
引出课题《数怎么又不够用了》
意图：让学生通过分析，探索发现问题，感受数不够用了，感受无理数的产生的现实背景和必然性，培养学生严密的逻辑性推理能力.
效果：学生拿出课前准备好的两个边长为1的小正方形 ，通过师生互动、生生互动，调动学生学习的自主意识，在此基础上进行分组讨论，2=2中的既不是整数，也不是分数，本环节通过独立思考和小组讨论，培养学生的动手能力、合作能力、推理能力，初步感受既不是整数也不是分数.
（二）感受新数的广泛性
内容： 面积为5的正方形，它的边长b可能是有理数吗？说说你的理由。
意图：进一步感受不是有理数的数，感受新数的广泛性。同时，也是对内容1 的巩固与发展。
效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性。
（三）巩固验证，应用拓展
内容：a． B，C是一个生活小区的两个路口，BC长为2千米，A处是一个花园，从A到B，C两路口的距离都是2千米，现要从花园到生活小区修一条最短的路，这条路的长可能是整数吗？可能是分数吗？说明理由.
b．如图（1）是由16个边长为1的小正方形拼成的，试从连接这些
小正方形的两个顶点所得的线段中，分别找出两条长度是有理数的线
段，两条长度不是有理数的线段.
意图：通过练习，巩固新知，同时也让学生感受到新数的运用。
第四环节：介绍历史，开阔视野
内容：早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说，为此希伯斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.
意图：进一步丰富无理数的背景，通过史料，培养学生为捍卫真理而勇于献身的精神，鼓励学生敢于对问题质疑、挑战.
效果：开阔了学生的视野，激发了学生的学习兴趣 ，产生了很好的教育效果。
第五环节：课时小结
内容 ．谈谈本节课你有什么收获与体会？有哪些困难需要别人帮你解决？
b．感受数不够用了，会确定一个数是有理数或不是有理数.
c．本节课用到基本方法：动手、操作、观察、思考，猜想验证，推理，归纳等过程，获取数学知识.
意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化.
效果：学生总结、相互补充，学会进行概括总结.
第六环节：布置作业
习题2.1
六、教学反思
复杂的学习领域应针对学习者先前的经验和兴趣，只有这样，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的.本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，同时通过学生的反思：既不是整数，那么究竟是什么样的数呢？让学生感受到学习无理数的必要性.在教学过程中，教师要关注学生对“既不是整数，也不是分数”的理解和应用过程，从而发展学生的数感，借助计算器进行了探索正方形边长的活动，得到无理数存在的必然性，对这个结论再给予一定的理论分析，从中体会数的发展，关注学生能否准确地利用计算器进行探索活动.
附：板书设计
课件16张PPT。数怎么又不够用了成都市三十三中
制作：尹晓英（一） . . a .小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了两个数学题
（1）两个数3.252525……与3.252252225……一样吗？它们有什么不同？
（2）一个边长为6cm的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角 三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的 边长又是多少厘米呢？你能帮小红解决这个问题吗？
b . 你能求出面积为2的正方形的边长吗？ 你知道圆周率 的精确值吗？ ……它们能用整数或分数（即有理数）来表示吗？
?
能 帮 忙 吗 ？2 阅读下面的资料，在数学中，有理数的定义为：形如 的数（p，q为互质的整数，且p≠0）叫做有理数，当p=1，q为任意整数时，有理数就是指所有的整数，如： =-2等，当p≠1时，由p，q互质可知，有理数就是指所有的分数，如 ， ， 等，综上所述，有理数就是整数和分数的统称。请用上述材料中所涉及的知识证明下面的问题：直角边长分别为3和1的直角三角形的斜边长是不是有理数？
复习前面学过的数，有理数包括整数和分数，有理数范围是否满足实际生活的需要呢？你知道吗？把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形剪一剪 拼一拼1111剪一剪 拼一拼议一议小组讨论：.数怎么又不够用了！ a2=2，1
a一定不是整数；
因为 a2=2，
所以 a一定不是分数。
在等式a 2=2中，a既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数 。做一做b是有理数吗？ a，b不是有理数。练一练 B，C是一个生活小区的两个路口，BC长为2千米，A处是一个花园，从A到B，C两路口的距离都是2千米，现要从花园到生活小区修一条最短的路，这条路的长可能是整数吗？可能是分数吗？说明理由。
解：这条路的长既不是整数也不是分数，因为这个数的平方等于3。画一画 用16个边长为1的小正方形拼成了如图的网格，任意连接两个格点，就得到一条线段， 试分别画出一条长度 是有理数的线段和一条长度不是有理数的线段．ABGCDEF献身科学，执着追求小结：1. 通过拼图活动，感受有理数又不够用了。谈谈本节课你有什么收获与体会？有哪些困难需要别人帮你解决？ 2. 感受数不够用了，会确定一个数是有理数或不是有理数。 3 . 本节课用到基本方法：动手、操作、观察、思考，猜想验证，推理，归纳等过程，获取数学知识。
欣赏有趣的图形：毕达哥拉斯树螺形图做一做： 习题2.1
勇于尝试,我们就能成就更多，学到更多.再 见拓展资源：拓展练习
例 如图，小正方形的边长为1，试在图中作出3个长度不是有理数的线段。
思路点拨 在方格纸上作线段，当然最方便的是连接其中某两个格点（纵横线的交叉点）了，其长度计算自然离不开勾股定理。连连看！
举一反三 请在图中各作出一个直角三角形，使得它们分别满足下列条件：
（1）三条边的长都是有理数；
（2）两条边的长是有理数，另一条边长不是有理数；
（3）一条边的长是有理数，另两条边的长不是有理数；
（4）三条边的长都不是有理数.
第二章 实数
２．数怎么又不够用了（二）
成都市第三十三中学校 杨洪芬
一、学生起点分析
通过第一课时的学习，让学生先感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，我们所学的数又不够用了，从而激发学生学习的好奇心、积极主动地参与到学习中，充分感受到无理数引入的必要，发展学生的合情推理能力.
二、教材任务分析
《数怎么不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节.第1课时让学生感受数的发展，建立无理数的概念，第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数.本课时为第2课时，内容是建立无理数的基本概念，并能结合实际判别有理数和无理数，同时在活动中进一步发展学生独立思考和合作交流的意识和能力，而且在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系.而且对今后学习数学也有着重要意义.
三、教学目标分析
（一）教学目标
知识与技能目标
1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想.
2．会对所学的数进行分类，并说明理由.
3．探索无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数.
过程与方法目标
通过学生活动准确认识到有理数都可以划成有限小数和无限循环小数，发展学生的抽象概括能力.
通过对有理数的相关知识的归纳和总结，能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类.
进一步让学生将有理数和无理数结合实际问题进行分析推理，培养学生解决问题的能力.
情感与态度目标
1．让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，同时发展学生的估算能力，在数学活动发挥学生的积极作用.
2．充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神.
（二）教学重点：
无理数概念的建立过程.
了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.
（三）教学难点
1．无理数概念的建立及估算.
2．会判断一个数是无理数还是有理数，有理数与无理数的区别.
四、教学方法
1. 教学方法：引导、探究、发现与合作交流相结合.
2. 课前准备：多媒体、计算器.
五、教学过程
本节课设计六个教学环节；第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置
第一环节：新课引入
想一想：
1. 有理数如何分类的？
整数（如-1，0，2，3，…):都可看成有限小数
有理数
分数(如-，，，… )：可不可能都化成有限小数或无限小数?
2.上节课了解到一些数，如a2=2，b2=5中的a，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，这些数既不是整数，也不是分数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.
效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数怎么又不够用了”.
第二个环节：活动与探究
（一）探索无理数的小数表示
内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计.
归纳总结:a，b既不是整数，也不是分数，则a，b一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.
意图：借助计算器探索出a=1.41421356…，b=2.2360679…，是一个无限不循环小数，并从中感受无限逼近的数学思想.
效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续以无限部循环小数定义无理数打下基础.
（二）探索有理数的小数表示，明确无理数的概念
内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式。
议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有几种情况？
探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.
即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数.
故无限不循环小数叫无理数.(圆周率π=3014159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数).
意图：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.
效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性,建立了无理数的概念.
第三个环节：知识分类整理
内容：
意图：培养学生总结归纳的能力，进一步发展学生的思维判断能力.
效果：通过师生的共同探究，形成对中学阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.
第四个环节：知识运用与巩固
内容：认识一个数是无理数还是有理数.
例1 填空:
0.351, -, 3.14159, -5.2323332…,， 1234567891011…(由相继的正整数组成).
例2 判断下列说法是否正确:
(1)有限小数是有理数; （ ）
(2)无限小数都是无理数; （ ）
(3)无理数都是无限小数; （ ）
(4)有理数是有限数. （ ）
例3 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
（A）面积为25的正方形； (B) 面积为的正方形；
(C) 面积为8的正方形； (D) 面积为1.44的正方形.
例4 一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边a是有理数吗?
解:由勾股定理得:a2=32+52,即a2=34.因为34不是完全平方数，所以a不是有理数.
强调:
1. 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
2. 任何一个有理数都可以化成分数形式（p，q 为整数且互质），而无理数则不能.
练一练： 课本P29 随堂练习.
意图：通过例题的讲解、练习，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类.
效果：通过学生练习，更加明确了有理数、无理数的概念、区别、联系，激发学生学习兴趣.
第五个环节：课时小结
内容：
1．什么叫无理数？
2．数的分类？
3．如何判定一个数是无理数还是有理数.
意图：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成良好的学习习惯，提高学生的归纳总结能力.
效果：师生共同总结补充，形成完整的知识体系.
第六个环节：布置作业
习题2.2
六、教学反思：
本节课循序渐进，逐步探究得到无理数的概念，让学生在数学学习中能将抽象的知识形象具体化，复杂知识简单化.同时引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，并体会数学学习的乐趣，为今后的数学学习打下坚实基础.
附：板书设计
课件27张PPT。数怎么又不够用了成都三十三中
制作：杨洪芬(二)八年级上册一、想一想1.有理数如何分类？有理数整数(如-1，0，2，3，… ):都可看成有限小数. 2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b 既不
是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
二、活动与探究活动1：面积为2，5的正方形的边长a，b究竟是多少呢?结论：a，b既不是整数，也不是分数，则a，b 一定不是有理数.活动2：分数化成小数，最终此小数的形式有几种
情况？请同学们以学习小组活动:一同学举出任意一分数，另一同学将此分数化成小数.并总结此小数的形式?结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
像0.585885888588885…，1.41421356…，2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数.故无限不循环小数叫无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)三、分一分到目前为止我们所学过的数可以分为几类？按小数的形式来分有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数整数分数四、辨一辨例1 填空3.14159,-5.232332…，12334567891011…(由相继的正整数组成).有理数集合无理数集合3.14159,-5.232332…12334567891011………(1)有限小数是有理数; （ ）
(2)无限小数都是无理数; （ ）
(3)无理数都是无限小数; （ ）
(4)有理数是有限小数. （ ） 例2 判断题╳√√╳1.无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或
无限循环小数.以下各正方形的边长是无理数的是（ ）C例3例4一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边a是有理数吗?解:由勾股定理得:a2=32+52,即a2=34.因为34不是完全平方数，所以a不是有理数.五、练一练1.随堂练习.
2.习题2.2.3.家庭作业:学习丛书.本课小结:1.无理数的定义.2.数的分类.3.判定一个数是无理数还是有理数.设计面积为5π的圆的半径为a.
(1)a是有理数吗?说说你的理由.
(2)估计a的值(精确到十分位,并利用你的计算器验证
你的估计.
(3)如果精确到百分位呢?解：∵πa2=5π，∴ a2=5 .
(1)a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数.(2)估计a≈2.2.(3)估计a≈2.24.24=25吗?小明自豪地对同学说:“我可以证明24=25.”同学们都觉得是天方夜谭.小明取一张方格纸如下图(1),如图将它剪开,然后拼成图(2)的正方形.同学们数了一下,图(1)有24个方格,图(2)变成了25个方格.这把同学们都搞闷了,你能揭穿他的骗术吗?事实上，3，4两块并不密切合缝，拼成的正方形缺少了图中的阴影部分。是谁最早使用符号π表示圆周率?无理数π表示圆周率.是从什么时候开始用π表示圆周率的呢？为什么用字母呢π ？怎样估算的近似值？
估算的近似值，可以按照如下顺序：
1．因为,所以的值应在5与6之间,等于5加上一个纯小数.
2．设,平方得,由于是纯小数,所以就更小了,在估算的值时可以忽略不计…则估计：解得，这样就得到了的第一个近似值5.6 .
3．依此类推，可以再设，平方得可忽略不计.求出得到第2个估计值，照此下去,还可以求得精确到小数点后面第三位,第四位,……的近似值.
你能用这种方法求的近似值吗？试一试.
第二章 实数
2. 平方根（一）
成都铁中 霍佳
一、学生起点分析
学生已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．这节课的教学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性．
二、教学任务分析
本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级（上）第二章《实数》的第二节《平方根》．本节内容计2个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，因此确定本节的教学目标如下：
·知识与技能目标
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．
2．了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
3．了解算术平方根的性质．
·过程与方法目标
1．在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力．
2．在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．
·情感与态度目标
1．让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．
教学重点：
了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根．
教学难点：
对算术平方根的概念和性质的理解．
三、教法学法
教学方法：讲授法．
课前准备：
教具：教材，多媒体课件，电脑．
学具：教材，笔，练习本．
四、教学过程：
本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．
本节课教学流程为：
第一环节：问题情境
方法一：问题导入
内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大的正方形，那么有a2=2，a= ，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们一起来学习．
方法二：问题导入
内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
x2= ，y2= ，z2= ，w2= ．
意图：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．
效果：能表示x2=2，y2=3，z2=4，w2=5；能求得z＝2，但不能求得x、y、w的值．
说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二。
第二环节：初步探究
内容1：情境引出新概念
x2=2，y2=3，z2=4，w2=5，已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？
意图：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．
效果：学生可以估算出x，y是1到2之间的数，w是2到3之间的数但无法表示x、y、w，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．
说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？”
内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即．
意图：对算术平方根概念的认识．
效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．
内容3：简单运用 巩固概念
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）900； （2）1； （3）； （4）14．
意图：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是．
效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
答案：解：（1）因为302=900，所以900的算术平方根是30，即；
（2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即；
（3）因为，所以 的算术平方根是， 即；
（4）14的算术平方根是．
内容4：回解课堂引入问题
x2=2，y2=3，w2=5，那么x=，y=，w=．
第三环节：深入探究
内容1：例2 自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4.9t2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
意图：用算术平方根的知识解决实际问题．
效果：学生多能利用等式的性质将h=4.9t2进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．
解：将h=19.6代入公式得h=4.9 t2， t2 =4，所以t = =2(秒) ．
即铁球到达地面需要2秒．
说明：此题是为得出下面的结论作铺垫的．
内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．
意图：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：中的a是一个非负数，a的算术平方根也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．
效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．
第四环节：反馈练习
一、填空题：
1．若一个数的算术平方根是，那么这个数是 ；
2．的算术平方根是 ；
3．的算术平方根是 ；
4．若，则= ．
二、求下列各数的算术平方根：
36，，15，0.64，，，．
三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？
答案：一、1.7；2. ；3. ；4．16；二、6；；；0.8；；；1；
三、解：由题意得 AC=5.5米，BC=4.5米，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得（米）．所以帐篷支撑竿的高是 米．
意图：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.
效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评。
第五环节：学习小结
内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：
（1）算术平方根的概念，式子中的双重非负性：一是a≥0，二是≥0．
（2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．
（3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
意图：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．
第六环节：作业布置
习题2.3
五、教学设计说明
1．设计理念
要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．
“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，”的 “正数x”，即被开方数是正的，由平方的意义，a也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.
“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练,使练习题达到一定的质和量,也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.
“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.
2．知识拓展
在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可用以下的例题和练习题进行知识的拓展：
内容：例 已知，求的值．
解：因为 和都是非负数，并且，所以 ，，解得x=2，y= -4，所以．
意图：加深对算术平方根概念中两层含义的认识，会用算术平方根的概念来解决有关的问题．
效果：达到能灵活运用算术平方根的概念和性质的目的．
课后还可以布置相应的拓展性习题：
内容：1．已知，求x+y+z的值．
2．若x，y满足，求xy的值．
3．求中的x．
4．若的小数部分为a，的小数部分为b，求a+b的值．
5．△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足，求c的取值范围．
解：1．因为≥0，≥0，≥0，且 ，
所以=0，=0，=0，解得，，，所以x+y+z= ．
2．因为2x-1≥0，1-2x≥0，所以 2x-1=0，解得 x= ，当 x=时，y=5，所以 xy=×5=．
3．解：因为x-5≥0，≥0 ，所以 x=5 ．
4．解：因为 ，所以的整数部分为8，的整数部分为1，所以的小数部分，的小数部分，所以．
5．解：由，可得，因为 ≥0，≥0，
所以=0，=0，所以a = 1，b = 2，由三角形三边关系定理有：b- a < c < b+a ，即1 < c < 3．
课件22张PPT。第二章 实数 2.平方根(一)成都铁中 霍佳北师大版数学八年级上册如图所示,右边的大正方形是由左边的两个小正方形剪拼成的,请表示a2= .2请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：x2= ，
y2= ，
z2= ，
w2= ．
2345x2=2，已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？ 注意!应用举例例1 求下列各数的算术平方根：
（1）900；（2）1；（3） ；（4）14．
注意!非平方数的算术平方根只能用根号表示.解决问题如图所示,右边的大正方形是由左边的两个小正方形剪拼成的,请表示a= .请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：x2=2，x= ;
y2=3，y = ;
z2=4，z = ;
w2=5,w = .
2解决问题例2 自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4.9 t2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 应用举例注意!知识拓展例题做一做例3 如果将一个长方形ABCD折叠，得到一个面积为144cm2的正方形ABFE，已知正方形ABFE的面积等于长方形CDEF面积的2倍，求长方形ABCD的长和宽．练一练716 二、求下列各数的算术平方根：36， ，15，0.64， ， ， ． 练一练三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？练一练学习小结 一是a≥0，（2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．（3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
习题2.3作业布置谢谢