华师大版八年级数学上册导学案勾股定理
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文档简介
第14章 勾股定理
§14.1.1直角三角形三边的关系（1）
学习目标：
1.在探索基础上掌握勾股定理.
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系.
学习过程：
一．创设情境，导入新课
自主探究，观察猜想
活动1：测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
三角尺
直角边a
直角边b
斜边c
关系
1
2
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系．
由右图得出等腰直角三角形的三边关系：
.
右图是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正方形R的面积．即AC＋ＢＣ＝ＡＢ2
这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
活动2：观察右图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝ 平方厘米；
正方形Q的面积＝ 平方厘米；
正方形R的面积＝ 平方厘米．
（可以用“割”、“补”的方法去求.）
三、合作探究，总结规律
正方形P、 Q、 R的面积之间的关系是： ．
直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系 ．
由图得出一般直角三角形的三边关系.若∠C=90°,则三边满足： （每一小方格表示1平方厘米）
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
用法：△ABC中，∠C=90°, 则(a、b 表示两直角边，c表示斜边)
变式：或
四、理解运用，拓展提高
1.Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90°
(1) 已知a=8,b=10,求c.
(2) 已知a=5,c=12,求b
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
注意：“∠B为直角”这个条件.
方法总结：（1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
2．如图，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）
解： 如图14.1.4，在Rt△ＡＢＣ中，
ＢＣ＝２.１６米， ＡＣ＝５.４１米，
根据勾股定理可得ＡＢ＝ ＝≈４.９６（米）．
答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米
五、总结反思，归纳升华
知识梳理： ；
方法与规律： ；
情感与体验： ；
反思与困惑： .
六、达标检测，体验成功（时间6分钟，每小题20分，满分100分）
1.下列说法正确的是（ ）
A.△ABC的两边AB=5，AC=12，则BC=13 B.Rt△ABC中，a=6,b=8,则c=10
C.Rt△ABC中，a=3,b=4,则△ABC的面积S=6 D.等边△ABC的边长为12，则高AD=.
2.一个矩形的周长是14，长为4，则它的对角线长是（ ）
A.5 B.4 C.3 D.10
3.CD为Rt△ABC斜边AB上的高，若AB=10，AC:AB=3:4，则这个直角三角形的面积( )
A.6 B.8 C.12 D.24
4. 在△ABC中，∠C=900，AB=15，AC=12，则另一边BC= .
5.若一个直角三角形的两边分别为5和7，则第三边为 .
6.在△ABC中，AB=AC=17cm,BC=16cm,AD⊥ BC于D,则AD= .
§14.1.1直角三角形三边的关系（2）
学习目标：
1.用拼图的方法说明勾股定理的结论正确性.
2．通过实例应用勾股定理，培养学生的知识应用技能.
学习过程：
一、创设情境，导入新知
问题：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c,那么这三边a、b、c有什么关系呢？勾股定理揭示了直角三角形的边与边的关系，那么如何证明这个定理呢？
二、动手操作，探求新知
活动1. 剪四个与图1完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图2所示的图形．
大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ．
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．
图1 图2
明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积.
②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积.
③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积.
④结论是.
活动2. 出示课本中图14.1.7和14.1.8.
探究1.你会拼出图14.1.7吗
探究2：你会用面积等式说明勾股定理吗？
明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积.
②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积.
③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积.
④结论是.
探究3. 由下面几种拼图方法，试一试，能否得出的结论.
(1) (2) (3) (4) (5)
探究点拔：1.将这四个全等的直角三角形拼成图（1），（2），（3）中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出.
2.将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以得到.
3.通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可以证得.
三、巩固新知，理解运用
问题1. 小丁的妈妈买了一部34英寸（86厘米）的电视机.小丁
量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有70厘米长和50厘米宽，他觉
得一定是售货员搞错了.你能解释这是为什么吗？
问题2. 如图14.1.9，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？
明确：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方：
四、跟踪训练，能力拓展
（1）如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积与周长.
（2）假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，
按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走
2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到
6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆
点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
五、梳理小结，归纳升华
知识梳理： ；
方法与规律： ；
情感与体验： ；
反思与困惑： .
六、达标检测，体验成功（时间6分钟，1-10每小题7分，满分100分）
1.在Rt△ABC中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c=________；（2）如果a=6，b=8，则c=________；
（3）如果a=5，b=12，则c=________；(4) 如果a=15，b=20，则c=________.
2.下列说法正确的是（ ）
A.若、、是△ABC的三边，则
B.若、、是Rt△ABC的三边，则
C.若、、是Rt△ABC的三边，， 则
D.若、、是Rt△ABC的三边， ，则
3.一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20
4.如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
5.一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 .
6.如图，△ABD的面积是（ ）
A.18 B.30 C.36 D.60
7.一座桥横跨一江，桥长12米，一艘小船自桥一头出发，向另一头驶去，因水流原因，到岸后，发现已偏离桥头5米，则小船实际行驶了（ ）
A.5米 B.12米 C.13米 D.18米
8.等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．
9. 有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．
10. 如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区最大的一次台风，一棵大树受 “桑美”袭击于离地面5米
处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米，则这棵大树折断前有__________
11. (16分)如右图，等边△ABC的边长6cm.
①求高AD ②求△ABC的面积
12. （14分）在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树
走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘.如果两只猴子经
过的距离相等，问这棵树有多高？
§14.1.2勾股定理——直角三角形的判定
学习目标：
1．探索并掌握直角三角形判定方法.
2．经历勾股定理的逆定理的探究过程，了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性.
3．通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.
4．通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.
学习过程：
一、创设情境，导入课题
1．直角三角形有哪些性质？（从边、角两方面考虑）
（1）有一个角是直角；
（2）两个锐角的和为90°(互余 )；
（3）两直角边的平方和等于斜边的平方.
反之，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
2．一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；
（2）有两个角的和为90°的三角形是直角三角形；
（3）如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a2 +b 2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形???
二、自主探究，探索新知
问题1.史料：古埃及人画直角.
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.
你知道这是什么道理吗?
问题2.自学指导：（1）按要求作出53页的三角形，并观察是什么三角形.
（2）阅读教材53-54页，理解勾股定理的逆定理.
三、动手实践，发现新知
1．试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形，猜想它们是些什么形状的三角形？（按角分类）
（1）3，4，4
（2）2，3，4
（3）3，4，5
2．请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系.
（1）3，4，4 锐角三角形 ← 32＋42 > 42
（2）2，3，4 钝角三角形 ← 22＋32 < 42
（3）3，4，5 直角三角形 ← 32＋42 = 52
四、归纳总结，理解定理
3．从勾股定理到勾股定理的逆定理：
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
注意：（1）勾股定理与勾股定理的逆定理之间的关系；（2）“勾股定理的逆定理”严格的证明以后会学到；（3）“勾股定理的逆定理”的用途.
4、设AB是△ABC中三边中最长边，则
AC2+BC2AC2+BC2=AB2 → ∠ACB为直角
AC2+BC2>AB2 → ∠ACB为锐角
五、理解运用，拓展提高
问题1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形?
（1）a=7，b=25，c=24; （2）a=12，b=35，c=37（2）a=13，b=11，c=9
解：（1）最大边为25
∵a2+c2=72+242=49+576 =625
b2=252 =625
∴a2+c2= b 2
∴以7，25，24为边长的三角形是直角三角形.
（2）（3）学生板演
问题2. 设三角形⊿ABC分别满足下列条件,试判断各三角形是否是直角三角形:
提示：三角形的内角和等于1800
问题3.一个零件的形状如右图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求吗？
思考:此时四边形ABCD的面积是多少?
六、梳理小结，归纳升华
知识梳理： ；
方法与规律： ；
情感与体验： ；
反思与困惑： .
七、达标检测，体验成功（时间6分钟，1-6每小题10分，满分100分）
1. 下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．、、7 B．5、4、8 C．、2、1 D．、3、
2. 正方形ABCD中，AC=4，则正方形ABCD面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3. 已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c，若∠B=90○，则（ ）
A．b2=a2+c2； B．c2=a2+b2； C．a2+b2=c2； D．a+b=c
4.三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是( ).
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
5. 将Rt△ABC的三边都扩大为原来的2倍，得△A’B’C’,则△A’B’C’为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C、钝角三角形 D．无法确定
6.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
7. (12分)如图，中，，
求AC的长.
8. （13分）某菜农要修建一个塑料大棚，如图所示，若棚宽a=4m，高b=3m，长d=40m.求覆盖在顶上（如右图阴影部分）的逆料薄膜的面积.
9. (15分)如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．
⑴在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
⑵在图2、图3中，分别画一个直角三角形使它的三边长都是无理数．(两个三角形不全等)
§14.2勾股定理的应用（1）
学习目标：
1、会用勾股定理解决简单的实际问题.
2、树立数形结合的思想.
学习过程：
一、回顾复习，导入课题
1．在Rt△ABC中，两条直角边分别为3，4，求斜边c的值？
2．在Rt△ABC中，一直角边分别为5，斜边为13，求另一直角边的长是多少？
二、自主探索，理解应用
问题1.如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
分析： 蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（，得到矩形 ＡＢＣD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长．（精确到０.０１cm）
解：如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，
∴ AC＝＝
＝229≈10.77（cm）（勾股定理）．
答： 最短路程约为10.77cm．
问题2.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
分析：由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图１４.２.３所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H．
解 ： 在Rt△OCD中，由勾股定理得
CD＝＝＝0.6米，
CH＝0.6＋2.3＝2.9（米）＞2.5（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
三、巩固应用，拓展提高
问题3. 如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离．
问题4. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的多少倍?
问题5. 如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
四、综合运用，巩固提高
如图所示，校园内有两棵树相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米
五、总结反思，归纳升华
知识梳理： ；
方法与规律： ；
情感与体验： ；
反思与困惑： .
六、达标检测，体验成功（时间6分钟，1-6每小题10分，满分100分）
1．在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝ ．
2．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶b＝3∶4，则ab＝ ．
3．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为 ．
4．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 ．
5.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8厘米，
则正方形A，B，C，D的面积之和是________平方厘米．
6．如图，分别以直角的三边AB,BC,CA为直径
向外作半圆．设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影
部分的面积和为S2，则（ ）
A．S1=S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．无法确定
7．（14分）国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m，拉着绳子下端
离开旗杆5m时，绳子被拉直且下端刚好接触地面，试求旗杆的高．
8. (16分)已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，
将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE
的面积为多少？
§14.2勾股定理的应用（2）
学习目标：
1．会用勾股定理解决较综合的问题.
2．树立数形结合的思想.
学习过程：
一、创设情境，导入新课
在△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，给出如下的命题：
①若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为直角三角形；
②若∠A＝∠C一∠B，则△ABC为直角三角形；
③若，，则△ABC为直角三角形；
④若a：b：c＝5：3：4，则△ABC为直角三角形；
⑤若（a＋c）（a－c）＝b2，则△ABC为直角三角形；
⑥若(a＋c)2＝2ac＋b2，则△ABC为直角三角形；
⑦若ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,BＣ＝15, 则△ABC为直角三角形.
上面的命题中正确的有（ ）
A．6 B．7 C．5 D．4
二、自主合作，探究新知
问题1. 如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；
（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．
问题2.如右图，已知CD＝6m， AD＝8m， ∠ADC＝90°， BC＝24m， AB＝26m．求图中阴影部分的面积．
三、巩固应用，拓展提高
问题3.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
四、跟踪训练，巩固提高
如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，
这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，
那么梯子底端B也外移0.5m吗？
五、总结反思，归纳升华
知识梳理： ；
方法与规律： ；
情感与体验： ；
反思与困惑： .
六、达标检测，体验成功（时间6分钟，1-8每空5分，满分100分）
1. 直角三角形的两直角边是3，4，则以斜边长为直径的圆的面积是 ．
2．在△ABC中，∠C=90°：（1）若a=6，b=8，则c= ；（2）若a=，c=5，则b= ；（3）若a：c=3：5，且b=8，则a= ．
3．如图，小明的爸爸在院子的门板上钉了一个加固板，从数学的角度看，这样做的道理是 ．
4. 一个直角三角形的三边长是不大于10的偶数，则它的周长为 ．
5．如图两电线杆AB、CD都垂直于地面，现要在A、D间拉电线，则所拉电线最短为
米．其中AB=4米，CD=2米，两电线杆间的距离BC=6米．
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图所示，图中所有三角形是直角三角形，所有四边形是正方有形，s1=9，s3=144，s4=169，则s2= ．
7． 如图，△ABC为一铁板零件，AB=AC=15厘米，底边BC=24厘米，则做成这样的10个零件共需 平方厘米的材料．
8．若三角形三条边的长分别为7，24，25，则这个三角形的最大内角是 度．
9.(10分)已知a、b、c是△ABC的三边，且a4﹣b4=a2c2﹣b2c2，请判断△ABC的形状．
10．（10分）如图已知，每个小方格是边长为1的正方形，求△ABC的周长（结果用根号表示）．
11.(10分)小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
12.（10分）如图，圆柱的高为10cm，底面半径为4cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁至少要爬行多少路程才能食到食物？
13．(10分) 如图，在四边形ABCD中，已知：AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC．试说明AC⊥CD的理由．
第14章 勾股定理 小结与复习㈠
学习目标：
1.掌握直角三角形的边角之间的关系，熟练运用勾股定理和其他性质解决实际问题．
2.经历复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，掌握勾股定理及逆定理的应用．
3.培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值．
重点：熟练运用勾股定理及其逆定理．难点：正确运用勾股定理及其逆定理．
关键：运用数形结合的思想，将问题化归到能够应用勾股定理（逆定理）的路上来．
学习过程:
一、回顾与交流
1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2+b2=c2）
勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a、b、c有a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系:
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理.
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.
2、常见的勾股数 ， ， ， 。
3、解决有关图形折叠的计算问题常见的方法是 。
4、解决立体图形的最短路线问题是分析观察找切开点和切开线，确定展开方向，平铺展开。
5．如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形:⑴首先确定最大边；⑵验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形.（若c2>a2+b2则△ABC是以∠C为钝角的三角形，若c2二、构筑知识系
A.
B.
三.典例与精炼
1.如图所示，带阴影的矩形面积是多少？
2.在Rt△ABC中，已知两直角边的和为p厘米，斜边长为q厘米，求这个三角形的面积．
3.如图所示，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点
偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽
为多少m．
4.在Rt△ABC中，a=3，c=5，求b．
5.如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，
露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，
你能算出水池的深度吗？
6.如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC．
7.在数轴上作表示-的点．
8.如下图三角形是直角三角形吗？为什么？
9.设△ABC的3条边长分别是a，b，c，
且a=n2-1，b=2n，c=n2+1．（1）填表：
n
a
b
c
a2+b2
c2
△ABC是不是直角三角形
2
3
4
5
25
25
3
4
5
6
…
…
…
…
…
…
…
10.如图，古代建筑师把12段同样长的绳子相互连成环状，
把从点B到点C之间的5段绳子拉直，然后在点A将绳子拉紧，
便形成直角，工人按这个“构形”施工，就可以将建筑物的
拐角建成直角，你认为这样做有道理吗？
14章 勾股定理小结与复习㈡
学习目标：
1、进一步熟练应用勾股定理及逆定理.
2、进一步熟练掌握勾股定理及逆定理的应用.
学习过程：
一、温故知新，回顾概念
勾股定理：
勾股定理的逆定理：
二、自主探究，专题演练
类型一 已知两边求第三边
例1．在直角三角形中,若两边长分别为1cm，2cm ，则第三边长为_____________．
类型二 构造Rt△，求线段的长
例2．如图2，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，求EB的长．
例3．如图3，P为边长为2的正方形ABCD对角线AC上一动点，E为AD边中点，求EP+DP最小值.
例4、如图4，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________ dm.
类型三 判别一个三角形是否是直角三角形
例5、如图5，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC
上一点，且CE=BC．你能说明∠AFE是直角吗？
类型四、拼图
例6、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图7)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．
类型五 实际运用
例6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东 60度方向移动（如图7），距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域. ①A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？②若A城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
三、达标检测，体验成功（时间10分钟，满分100分）
1．（18分）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．
2．(18分)如图8为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________________米．
3．（18分）一种盛饮料的圆柱形杯如图9，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做的长度为________________．
4．(22分)在直角△ABC中，斜边长为2，周长为2+，求△ABC的面积．
5．(24分)如图10,点A是一个为半径300m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，在BC两个村庄之间修一条长1000m的笔直公路将两村连通，经测量得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问次公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明.
14章 勾股定理 小结与复习㈢
学习目标：
掌握勾股定理及其逆定理的内容，会利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
学习重点：勾股定理及其逆定理的应用.
学习难点：勾股定理及其逆定理的应用.
学习过程
一、讨论交流，互助提高
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________．
2．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有____________________．
3.（青岛中考题）如图1，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，从顶点A到顶点C’的最短距离是__________．
4.直角三角形的两条直角边分别是5cm,12cm,其斜边上的高是__________．
5.图3是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．94
二、自主探究，考点链接
考点一、已知两边求第三边
例1．已知，如图4,在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求 ①AD的长；②ΔABC的面积．
练习一:
1．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长________________．
2.某楼梯的侧面视图如图5，其中AB=4米，∠BAC=30°，∠C=90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 ．
3．在数轴上作出表示的点．
4．三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC.
考点二、利用列方程求线段的长
例2．如图6，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
练习二:如图7，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
例3、已知如图8，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，
CD=12，AD=13，求这个四边形的面积
练习三
1.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是____________________．
2．若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形是______________________．
3．如图9，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=BC.你能说明∠AFE是直角吗？
考点四、与展开图有关的计算
例4、如图10,一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm
三、综合实践，能力提升
例5.如图11，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=300，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
四、达标检测，体验成功（时间10分钟，1-12每小题6分，满分100分）（可挑选一部分）
1．已知△ABC中，∠A= 2∠B= 3∠C，则它的三条边之比为（? ）
A．1：1：2 B．1： ：2 C．1： ：2 D．1：4：1
2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（? ）
A． ????? B．3???? C． ?????? D．
3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（? ）
A．6，7，8??? B．5，6，7??? C．4，5，6??? D．3，4，5
4．下列各命题的逆命题成立的是（? ）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（? ）
A． cm2??? B．2 cm2??? C．3 cm2 ????D．4cm2
6．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（ ）．
7．如图12，等腰中，，AD是底边上的高，若AB=5cm,BC=6cm，则AD cm．
8.已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 ．
9．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm
10．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了_______________米．
11．一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶_______________m．
12.已知Rt△ABC的周长是，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝____________
13．（13分）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
14．(15分)如图13，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，
旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出
旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．
14章 勾股定理 小结与复习（四）
一、基础测试,巩固提高
（一）勾股定理:在直角三角形中，两直角边的 等于 .
若用a、b为表示两条直角边，c表示斜边，则 .
1.⑴在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=3，b=4，则c=＿＿＿＿；若b=8，c=17，则a=_______;
⑵如图1，等腰△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则BC边上的高AD=_______.
⑶如图2在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米.
（4）一根旗杆在离地面9 m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m的地面上，旗杆在折断之前高度为
（5）一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边平方为
（6）如图3，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
（二）勾股定理逆定理:
1．在三角形中，若 等于第三边的平方，
则这个三角形为 ，这是判定一个三角形是 的方法．
2．能构成直角三角形边长的三个 称为勾股数.
3. (1)下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1.5,2,3; B. 7,24,25; C. 6,8,10; D. 9,12,15.
（2）三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2
C．a2=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12
（3）三角形的三边长为,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.
（4）如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，
①求证：∠A+∠C=180°.
②求四边形ABCD的面积.
（三）最短距离问题：主要运用的依据是____________________
1.如图6、有一长70㎝，宽50㎝，高50㎝的长方体盒子，A点处有一只蚂蚁，想吃到B点处的食物，它爬行的最近距离是 厘米.
2.如图7、一个无盖的圆柱纸盒：高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃,要爬行的最短路程(取3)是( )
A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
（四）主要数学思想：
1.方程思想:
如图8，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
2．分类讨论思想（易错题）
（1）在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为
（2）已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，则△ABC的周长为 ．
二、达标检测，体验成功（时间15分钟，1-11每小题7分，满分100分）
1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）
A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25
C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10
2．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A. 钝角三角形 B.锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
3．直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形周长为（ ）
A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm
4. 若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是 ( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
5. 将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能
6. 已知，如图9，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点
D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）cm2 A .6 B .8 C .10 D .12
7. 如图10小方格都是边长为1的正方形,图中四边形的面积为（ ）
A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5
8. 直角三角形中，如果有两条边长分别为3，4，且第三条边长为整数，那么第三条边长应该是（ ） A. 5 B. 2 C. 6 D. 非上述答案
9. 已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A. 5 B. 25 C. 7 D. 15
10．等边三角形的边长为6，则它的高是________
11．已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长
为???????????????? cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
12．（12分）在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=5，b=12，则c= ； （2）b=8，c=17 ，则=
13．(11分)已知：如图，△ABC中，∠C＝90o，AD是
角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长．
14章 勾股定理单元测试
（时间：100分钟 总分：120分）
一、相信你一定能选对！（每小题3分，共24分）
1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )
A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 8
2. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m2 + n2, m2–n2, 2mn（m，n均为正整数,mn）；
④,,.其中能组成直角三角形的三边长的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
3. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17 B．a2-b2=c2 C．a2=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12
4. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形
5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
6．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2
7．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）
A．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定
二、你能填得又快又对吗？（每小题3分，共21分）
9. 在△ABC中，∠C=90°， AB＝5，则++=_______．
10. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼
合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ．
11．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
12．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
13．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有___米.
14．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位
mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 ．
15．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降至 B’，那么 BB’的值： ①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是 ．
三、认真解答，一定要细心哟！（共75分）
16．（6分）右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结
这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度
是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．
17．（7分）已知a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，
b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n为大于1的自然数）,试说明
△ABC为直角三角形.
18.（7分）如图所示,某人到岛上去探宝，从A处登陆后
先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再折回向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏.问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
19．（8分）如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
20.（8分）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
请用学过的数学知识回答这个问题.
21．（9分）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时
速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达
C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？
22．（10分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
23．（10分）如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，若DA=10km,CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？
24．（10分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，
而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马
牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短
路程是多少？
八年级上学期期中测试数学试题(一)
（考试时间：100分钟，总分：120分）
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在、、、3.14、0.1010010001、、这7个实数中，无理数的个数
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列说法中正确的是（ ）
A．立方根等于本身的数只有0和1 B．平方根等于本身的数是0和1
C．－2是 4的平方根 D．的算术平方根是4
5．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2 + x -1 = （x+1）（x-1）+ x B．x4 – 1 = （x2 +1）（x+1）（x-1）
C．（a-b）2 = a2 -2ab + b2 D．3x3 + 3x2 = 3x3（1+）
6．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13 B．15 C．13或15 D．13或
7．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是( )
A．三条边的比为1:2:3 B．三条边满足关系a2=b2-c2
C．三个角的比为1:2:3 D．三个角满足关系∠B+∠C=∠A
8. 如图1，在边长为的正方形中，剪去一个
边长为的小正方形（＞）,将余下部分拼成
一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，
可以得到一个关于、的恒等式为（ ）
A．；
B． ；
C．；
D．.
9．如图2，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，线段AB=AC，则点C所表示的数是（ ）
A．2- B．-2 C．-1 D．1-
10．如图3，ΔABC中∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 6
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．的平方根是 ，的立方根是 ，是 的立方根.
12．比较大小,在横线上填上“＞、=、＜”.
______; _______π; ______ .
13．大于小于的所有整数的和是 .
14．如图x在数轴上表示数的点的位置，则化简的结果是 .
x 0
15．在图4所示的图形中，所有的四边形
都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
其中最大正方形的边长为9，那么A、B、
C、D这四个正方形的面积和应是 .
16．已知： (0＜a＜1)，则
三、解答题（共72分）
17.计算（每小题8分，共16分）
(1)
(2)求代数式的值，其中a=，b=
18.（10分）如图6，某校有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，学校计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像.
(1) 用含a、b的代数式表示绿化面积；
(2) 求出当a=3米,b=2米时的绿化面积．
20．（10分）如图7所示，有一位狡猾的老财主，把一块边长
为a米（a＞30）的正方形土地给赵老汉种植.隔了一年，他对
赵老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，
继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”赵老汉一听，觉得
好像没有吃亏，就答应了.你觉得赵老汉有没有吃亏呢？
请说明理由.
21. （10分）阅读下列解答过程，然后解答问题.
已知多项式x3 ＋4 x2 ＋mx ＋5有一个因式为（x＋1 ），求m的值.
解法一：设另一个因式为(x2 +a x ＋b),则x3 ＋4 x2 ＋mx ＋5＝（x＋1 ）(x2 +a x ＋b)
即x3 ＋4 x2 ＋mx ＋5＝ x3 ＋（a＋1） x2 ＋（a＋b）x ＋b
∴（a＋1）=4 ，（a＋b）＝m ，b＝5 ∴a=3 ， b＝5 ， m＝8
解法二：令x＋1＝0得x＝- 1 ， 即当x＝-1时，原多项式为零.
∴（-1）3 ＋4 （-1）2 ＋m×（-1） ＋5=0 ∴m＝8
用以上两种解法之一解答问题：若多项式x3 ＋3x2 －3x ＋k有一个因式为（x＋1 ），
求k的值.
22. （12分）如图14.2.5，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1） 从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；
（2） 画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．
23．（10分）如图有一块形状为四边形的钢板，量得它的各边长度为AB =9cm, BC =12 cm ,CD=17 cm ， DA =8cm,
∠B=90°求这块钢板的面积．
24．（16分）探究发现：
（1）完成下列填空：①=_____， ②=_____， ③=____，
④=_____， ⑤=_____， ⑥=_____，
（2）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来：
（3）利用你总结的规律，计算:
①若x＜2，则= ; ②= .
25．（16分）请阅读下列材料：
问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5，BC是底面直径，圆柱高AB为5，
求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段AC.如图（２）所示.
设路线1 的长度为L1 ,则L12=AC2=AB2+BC2=52+（5）2=25+252.
路线2：高线AB+底面直径BC.如图(1)所示.
设路线2的长度为L2,则L22=(AB+BC)2=（5+10）2=225
∵ L12－L22=25+25 2－225=252－200=25(2－8)＞0
∴ L12＞L22. ∴ L1＞L2 所以选择路线2较短.
(1)小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1，高AB为5”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算：
路线1：L12=AC2= .
路线2：L22=（AB+AC）2= .
∴ L1 L2 (填“＜”或者 “＞”)
所以选择路线 (填1或2)较短.
(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为，高为时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短.
八年级上学期期中测试数学试题㈡
(满分120分,时间100分钟)
一、选择题（每小题3分，共27分）
1. 下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2. 在 -、2π、、、0 、 中无理数个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法: (1) -64的立方根是4,(2) 的平方根是,(3)的立方根是,
(4) 49的算术平方根是±7, 其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知，则的值是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．若是一个完全平方式,则的取值是（ )
A. 8 B. C. D.
6．如图1，在一只底面半径为2.5cm的圆柱体的水杯中放了一支15cm长的吸管，杯中部分吸管长13cm，若杯中装满牛奶，某同学每2秒吸1cm高的牛奶，那么几秒可以吸完（ ）
A. 12秒 B. 24秒 C. 13秒 D. 26秒
7．如图2，小方格的面积是1，则图中以格点为端点且长度为5的线段有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
8．如图3，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
9.满足下列条件△ABC, 不是直角三角形的是 ( )
A．b2 = a2 - c2 B．a:b:c=3:4:5 C．∠C=∠B + ∠A D．∠A:∠B :∠C =3:4:5
二、填空题（每小题3分，共24分）
10．比较大小： 4．
11. 若一个正数的两个平方根是和，则 ，这个正数为 .
12．计算： ， ．
13．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线长为68cm，这个桌面__________ （填“合格”或“不合格”）.
14．将图5甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到
的数学公式是___________ ．
15．如图6，长为8cm的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm.
16.如图7,甲、乙两个农民都有两块地，如图所示,今年这两个农民决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这四块地换成一块宽为（a+b）米的长方形地,为了使所换地的面积与原来地的总面积相等，交换之后地的长应该是__________米.
17．如图8是第七届国际数学教育大会的会徽.它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且
=1，则 ，按此规律那么这些线段中长度为正整数的线段有 条.
三、解答题（本大题共8小题，共69分）
18.计算：（每小题5分，共10分）
（1） （2）;
19.分解因式（每小题5分，共10分）
（1） （2）
20．求值（每小题6分）⑴已知，求代数式的值．
（2）先化简，再求值：，其中，．
21. （6分）⑴请你至少用两种方法判断下列格点图中三角形ABC是直角三角形.（每相邻两个格点之间的距离都等于1个长度单位）⑵计算△ABC的面积.
22.实践与探索（7分）
（1）请用“＞”、“＜”、“=”填空:(2分)
①+ 2×3×2 ②+ 2×5×5
③-6+ 2×（-6）×3 ④-+- 2×（-2）×（-2）
（2）观察以上各式，请猜想+与2ab的大小.（2分）
（3）你能借助于完全平方公式证明你的猜想吗？试试看！（3分）
24．（本题7分）美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理.
25．（8分）如图，将矩形ABCD纸片沿直线AE折叠，顶点D恰好落在边BC上的点F处，已知AB=8cm,AD=10cm.
（1）请直接写出AF的长；
（2）求CE的长．
26．（9分）（1）拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩
形拼成一个大正方形，并且正中间留下一个洞，这个洞恰好是一个小正方形.
（2）用不同方法计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（3）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，它的面积就多24cm2，求中间小正方形的边长.
§14.1.1直角三角形三边的关系（1）
学习目标：
1.在探索基础上掌握勾股定理.
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系.
学习过程：
一．创设情境，导入新课
自主探究，观察猜想
活动1：测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
三角尺
直角边a
直角边b
斜边c
关系
1
2
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系．
由右图得出等腰直角三角形的三边关系：
.
右图是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正方形R的面积．即AC＋ＢＣ＝ＡＢ2
这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
活动2：观察右图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝ 平方厘米；
正方形Q的面积＝ 平方厘米；
正方形R的面积＝ 平方厘米．
（可以用“割”、“补”的方法去求.）
三、合作探究，总结规律
正方形P、 Q、 R的面积之间的关系是： ．
直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系 ．
由图得出一般直角三角形的三边关系.若∠C=90°,则三边满足： （每一小方格表示1平方厘米）
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
用法：△ABC中，∠C=90°, 则(a、b 表示两直角边，c表示斜边)
变式：或
四、理解运用，拓展提高
1.Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90°
(1) 已知a=8,b=10,求c.
(2) 已知a=5,c=12,求b
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
注意：“∠B为直角”这个条件.
方法总结：（1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
2．如图，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）
解： 如图14.1.4，在Rt△ＡＢＣ中，
ＢＣ＝２.１６米， ＡＣ＝５.４１米，
根据勾股定理可得ＡＢ＝ ＝≈４.９６（米）．
答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米
五、总结反思，归纳升华
知识梳理： ；
方法与规律： ；
情感与体验： ；
反思与困惑： .
六、达标检测，体验成功（时间6分钟，每小题20分，满分100分）
1.下列说法正确的是（ ）
A.△ABC的两边AB=5，AC=12，则BC=13 B.Rt△ABC中，a=6,b=8,则c=10
C.Rt△ABC中，a=3,b=4,则△ABC的面积S=6 D.等边△ABC的边长为12，则高AD=.
2.一个矩形的周长是14，长为4，则它的对角线长是（ ）
A.5 B.4 C.3 D.10
3.CD为Rt△ABC斜边AB上的高，若AB=10，AC:AB=3:4，则这个直角三角形的面积( )
A.6 B.8 C.12 D.24
4. 在△ABC中，∠C=900，AB=15，AC=12，则另一边BC= .
5.若一个直角三角形的两边分别为5和7，则第三边为 .
6.在△ABC中，AB=AC=17cm,BC=16cm,AD⊥ BC于D,则AD= .
§14.1.1直角三角形三边的关系（2）
学习目标：
1.用拼图的方法说明勾股定理的结论正确性.
2．通过实例应用勾股定理，培养学生的知识应用技能.
学习过程：
一、创设情境，导入新知
问题：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c,那么这三边a、b、c有什么关系呢？勾股定理揭示了直角三角形的边与边的关系，那么如何证明这个定理呢？
二、动手操作，探求新知
活动1. 剪四个与图1完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图2所示的图形．
大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ．
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．
图1 图2
明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积.
②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积.
③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积.
④结论是.
活动2. 出示课本中图14.1.7和14.1.8.
探究1.你会拼出图14.1.7吗
探究2：你会用面积等式说明勾股定理吗？
明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积.
②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积.
③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积.
④结论是.
探究3. 由下面几种拼图方法，试一试，能否得出的结论.
(1) (2) (3) (4) (5)
探究点拔：1.将这四个全等的直角三角形拼成图（1），（2），（3）中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出.
2.将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以得到.
3.通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可以证得.
三、巩固新知，理解运用
问题1. 小丁的妈妈买了一部34英寸（86厘米）的电视机.小丁
量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有70厘米长和50厘米宽，他觉
得一定是售货员搞错了.你能解释这是为什么吗？
问题2. 如图14.1.9，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？
明确：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方：
四、跟踪训练，能力拓展
（1）如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积与周长.
（2）假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，
按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走
2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到
6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆
点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
五、梳理小结，归纳升华
知识梳理： ；
方法与规律： ；
情感与体验： ；
反思与困惑： .
六、达标检测，体验成功（时间6分钟，1-10每小题7分，满分100分）
1.在Rt△ABC中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c=________；（2）如果a=6，b=8，则c=________；
（3）如果a=5，b=12，则c=________；(4) 如果a=15，b=20，则c=________.
2.下列说法正确的是（ ）
A.若、、是△ABC的三边，则
B.若、、是Rt△ABC的三边，则
C.若、、是Rt△ABC的三边，， 则
D.若、、是Rt△ABC的三边， ，则
3.一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20
4.如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
5.一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 .
6.如图，△ABD的面积是（ ）
A.18 B.30 C.36 D.60
7.一座桥横跨一江，桥长12米，一艘小船自桥一头出发，向另一头驶去，因水流原因，到岸后，发现已偏离桥头5米，则小船实际行驶了（ ）
A.5米 B.12米 C.13米 D.18米
8.等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．
9. 有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．
10. 如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区最大的一次台风，一棵大树受 “桑美”袭击于离地面5米
处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米，则这棵大树折断前有__________
11. (16分)如右图，等边△ABC的边长6cm.
①求高AD ②求△ABC的面积
12. （14分）在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树
走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘.如果两只猴子经
过的距离相等，问这棵树有多高？
§14.1.2勾股定理——直角三角形的判定
学习目标：
1．探索并掌握直角三角形判定方法.
2．经历勾股定理的逆定理的探究过程，了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性.
3．通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.
4．通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.
学习过程：
一、创设情境，导入课题
1．直角三角形有哪些性质？（从边、角两方面考虑）
（1）有一个角是直角；
（2）两个锐角的和为90°(互余 )；
（3）两直角边的平方和等于斜边的平方.
反之，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
2．一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；
（2）有两个角的和为90°的三角形是直角三角形；
（3）如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a2 +b 2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形???
二、自主探究，探索新知
问题1.史料：古埃及人画直角.
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.
你知道这是什么道理吗?
问题2.自学指导：（1）按要求作出53页的三角形，并观察是什么三角形.
（2）阅读教材53-54页，理解勾股定理的逆定理.
三、动手实践，发现新知
1．试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形，猜想它们是些什么形状的三角形？（按角分类）
（1）3，4，4
（2）2，3，4
（3）3，4，5
2．请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系.
（1）3，4，4 锐角三角形 ← 32＋42 > 42
（2）2，3，4 钝角三角形 ← 22＋32 < 42
（3）3，4，5 直角三角形 ← 32＋42 = 52
四、归纳总结，理解定理
3．从勾股定理到勾股定理的逆定理：
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
注意：（1）勾股定理与勾股定理的逆定理之间的关系；（2）“勾股定理的逆定理”严格的证明以后会学到；（3）“勾股定理的逆定理”的用途.
4、设AB是△ABC中三边中最长边，则
AC2+BC2
AC2+BC2>AB2 → ∠ACB为锐角
五、理解运用，拓展提高
问题1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形?
（1）a=7，b=25，c=24; （2）a=12，b=35，c=37（2）a=13，b=11，c=9
解：（1）最大边为25
∵a2+c2=72+242=49+576 =625
b2=252 =625
∴a2+c2= b 2
∴以7，25，24为边长的三角形是直角三角形.
（2）（3）学生板演
问题2. 设三角形⊿ABC分别满足下列条件,试判断各三角形是否是直角三角形:
提示：三角形的内角和等于1800
问题3.一个零件的形状如右图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求吗？
思考:此时四边形ABCD的面积是多少?
六、梳理小结，归纳升华
知识梳理： ；
方法与规律： ；
情感与体验： ；
反思与困惑： .
七、达标检测，体验成功（时间6分钟，1-6每小题10分，满分100分）
1. 下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．、、7 B．5、4、8 C．、2、1 D．、3、
2. 正方形ABCD中，AC=4，则正方形ABCD面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3. 已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c，若∠B=90○，则（ ）
A．b2=a2+c2； B．c2=a2+b2； C．a2+b2=c2； D．a+b=c
4.三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是( ).
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
5. 将Rt△ABC的三边都扩大为原来的2倍，得△A’B’C’,则△A’B’C’为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C、钝角三角形 D．无法确定
6.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
7. (12分)如图，中，，
求AC的长.
8. （13分）某菜农要修建一个塑料大棚，如图所示，若棚宽a=4m，高b=3m，长d=40m.求覆盖在顶上（如右图阴影部分）的逆料薄膜的面积.
9. (15分)如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．
⑴在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
⑵在图2、图3中，分别画一个直角三角形使它的三边长都是无理数．(两个三角形不全等)
§14.2勾股定理的应用（1）
学习目标：
1、会用勾股定理解决简单的实际问题.
2、树立数形结合的思想.
学习过程：
一、回顾复习，导入课题
1．在Rt△ABC中，两条直角边分别为3，4，求斜边c的值？
2．在Rt△ABC中，一直角边分别为5，斜边为13，求另一直角边的长是多少？
二、自主探索，理解应用
问题1.如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
分析： 蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（，得到矩形 ＡＢＣD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长．（精确到０.０１cm）
解：如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，
∴ AC＝＝
＝229≈10.77（cm）（勾股定理）．
答： 最短路程约为10.77cm．
问题2.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
分析：由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图１４.２.３所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H．
解 ： 在Rt△OCD中，由勾股定理得
CD＝＝＝0.6米，
CH＝0.6＋2.3＝2.9（米）＞2.5（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
三、巩固应用，拓展提高
问题3. 如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离．
问题4. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的多少倍?
问题5. 如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
四、综合运用，巩固提高
如图所示，校园内有两棵树相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米
五、总结反思，归纳升华
知识梳理： ；
方法与规律： ；
情感与体验： ；
反思与困惑： .
六、达标检测，体验成功（时间6分钟，1-6每小题10分，满分100分）
1．在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝ ．
2．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶b＝3∶4，则ab＝ ．
3．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为 ．
4．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 ．
5.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8厘米，
则正方形A，B，C，D的面积之和是________平方厘米．
6．如图，分别以直角的三边AB,BC,CA为直径
向外作半圆．设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影
部分的面积和为S2，则（ ）
A．S1=S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．无法确定
7．（14分）国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m，拉着绳子下端
离开旗杆5m时，绳子被拉直且下端刚好接触地面，试求旗杆的高．
8. (16分)已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，
将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE
的面积为多少？
§14.2勾股定理的应用（2）
学习目标：
1．会用勾股定理解决较综合的问题.
2．树立数形结合的思想.
学习过程：
一、创设情境，导入新课
在△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，给出如下的命题：
①若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为直角三角形；
②若∠A＝∠C一∠B，则△ABC为直角三角形；
③若，，则△ABC为直角三角形；
④若a：b：c＝5：3：4，则△ABC为直角三角形；
⑤若（a＋c）（a－c）＝b2，则△ABC为直角三角形；
⑥若(a＋c)2＝2ac＋b2，则△ABC为直角三角形；
⑦若ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,BＣ＝15, 则△ABC为直角三角形.
上面的命题中正确的有（ ）
A．6 B．7 C．5 D．4
二、自主合作，探究新知
问题1. 如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；
（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．
问题2.如右图，已知CD＝6m， AD＝8m， ∠ADC＝90°， BC＝24m， AB＝26m．求图中阴影部分的面积．
三、巩固应用，拓展提高
问题3.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
四、跟踪训练，巩固提高
如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，
这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，
那么梯子底端B也外移0.5m吗？
五、总结反思，归纳升华
知识梳理： ；
方法与规律： ；
情感与体验： ；
反思与困惑： .
六、达标检测，体验成功（时间6分钟，1-8每空5分，满分100分）
1. 直角三角形的两直角边是3，4，则以斜边长为直径的圆的面积是 ．
2．在△ABC中，∠C=90°：（1）若a=6，b=8，则c= ；（2）若a=，c=5，则b= ；（3）若a：c=3：5，且b=8，则a= ．
3．如图，小明的爸爸在院子的门板上钉了一个加固板，从数学的角度看，这样做的道理是 ．
4. 一个直角三角形的三边长是不大于10的偶数，则它的周长为 ．
5．如图两电线杆AB、CD都垂直于地面，现要在A、D间拉电线，则所拉电线最短为
米．其中AB=4米，CD=2米，两电线杆间的距离BC=6米．
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图所示，图中所有三角形是直角三角形，所有四边形是正方有形，s1=9，s3=144，s4=169，则s2= ．
7． 如图，△ABC为一铁板零件，AB=AC=15厘米，底边BC=24厘米，则做成这样的10个零件共需 平方厘米的材料．
8．若三角形三条边的长分别为7，24，25，则这个三角形的最大内角是 度．
9.(10分)已知a、b、c是△ABC的三边，且a4﹣b4=a2c2﹣b2c2，请判断△ABC的形状．
10．（10分）如图已知，每个小方格是边长为1的正方形，求△ABC的周长（结果用根号表示）．
11.(10分)小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
12.（10分）如图，圆柱的高为10cm，底面半径为4cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁至少要爬行多少路程才能食到食物？
13．(10分) 如图，在四边形ABCD中，已知：AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC．试说明AC⊥CD的理由．
第14章 勾股定理 小结与复习㈠
学习目标：
1.掌握直角三角形的边角之间的关系，熟练运用勾股定理和其他性质解决实际问题．
2.经历复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，掌握勾股定理及逆定理的应用．
3.培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值．
重点：熟练运用勾股定理及其逆定理．难点：正确运用勾股定理及其逆定理．
关键：运用数形结合的思想，将问题化归到能够应用勾股定理（逆定理）的路上来．
学习过程:
一、回顾与交流
1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2+b2=c2）
勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a、b、c有a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系:
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理.
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.
2、常见的勾股数 ， ， ， 。
3、解决有关图形折叠的计算问题常见的方法是 。
4、解决立体图形的最短路线问题是分析观察找切开点和切开线，确定展开方向，平铺展开。
5．如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形:⑴首先确定最大边；⑵验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形.（若c2>a2+b2则△ABC是以∠C为钝角的三角形，若c2
A.
B.
三.典例与精炼
1.如图所示，带阴影的矩形面积是多少？
2.在Rt△ABC中，已知两直角边的和为p厘米，斜边长为q厘米，求这个三角形的面积．
3.如图所示，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点
偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽
为多少m．
4.在Rt△ABC中，a=3，c=5，求b．
5.如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，
露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，
你能算出水池的深度吗？
6.如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC．
7.在数轴上作表示-的点．
8.如下图三角形是直角三角形吗？为什么？
9.设△ABC的3条边长分别是a，b，c，
且a=n2-1，b=2n，c=n2+1．（1）填表：
n
a
b
c
a2+b2
c2
△ABC是不是直角三角形
2
3
4
5
25
25
3
4
5
6
…
…
…
…
…
…
…
10.如图，古代建筑师把12段同样长的绳子相互连成环状，
把从点B到点C之间的5段绳子拉直，然后在点A将绳子拉紧，
便形成直角，工人按这个“构形”施工，就可以将建筑物的
拐角建成直角，你认为这样做有道理吗？
14章 勾股定理小结与复习㈡
学习目标：
1、进一步熟练应用勾股定理及逆定理.
2、进一步熟练掌握勾股定理及逆定理的应用.
学习过程：
一、温故知新，回顾概念
勾股定理：
勾股定理的逆定理：
二、自主探究，专题演练
类型一 已知两边求第三边
例1．在直角三角形中,若两边长分别为1cm，2cm ，则第三边长为_____________．
类型二 构造Rt△，求线段的长
例2．如图2，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，求EB的长．
例3．如图3，P为边长为2的正方形ABCD对角线AC上一动点，E为AD边中点，求EP+DP最小值.
例4、如图4，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________ dm.
类型三 判别一个三角形是否是直角三角形
例5、如图5，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC
上一点，且CE=BC．你能说明∠AFE是直角吗？
类型四、拼图
例6、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图7)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．
类型五 实际运用
例6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东 60度方向移动（如图7），距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域. ①A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？②若A城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
三、达标检测，体验成功（时间10分钟，满分100分）
1．（18分）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．
2．(18分)如图8为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________________米．
3．（18分）一种盛饮料的圆柱形杯如图9，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做的长度为________________．
4．(22分)在直角△ABC中，斜边长为2，周长为2+，求△ABC的面积．
5．(24分)如图10,点A是一个为半径300m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，在BC两个村庄之间修一条长1000m的笔直公路将两村连通，经测量得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问次公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明.
14章 勾股定理 小结与复习㈢
学习目标：
掌握勾股定理及其逆定理的内容，会利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
学习重点：勾股定理及其逆定理的应用.
学习难点：勾股定理及其逆定理的应用.
学习过程
一、讨论交流，互助提高
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________．
2．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有____________________．
3.（青岛中考题）如图1，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，从顶点A到顶点C’的最短距离是__________．
4.直角三角形的两条直角边分别是5cm,12cm,其斜边上的高是__________．
5.图3是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．94
二、自主探究，考点链接
考点一、已知两边求第三边
例1．已知，如图4,在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求 ①AD的长；②ΔABC的面积．
练习一:
1．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长________________．
2.某楼梯的侧面视图如图5，其中AB=4米，∠BAC=30°，∠C=90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 ．
3．在数轴上作出表示的点．
4．三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC.
考点二、利用列方程求线段的长
例2．如图6，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
练习二:如图7，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
例3、已知如图8，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，
CD=12，AD=13，求这个四边形的面积
练习三
1.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是____________________．
2．若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形是______________________．
3．如图9，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=BC.你能说明∠AFE是直角吗？
考点四、与展开图有关的计算
例4、如图10,一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm
三、综合实践，能力提升
例5.如图11，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=300，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
四、达标检测，体验成功（时间10分钟，1-12每小题6分，满分100分）（可挑选一部分）
1．已知△ABC中，∠A= 2∠B= 3∠C，则它的三条边之比为（? ）
A．1：1：2 B．1： ：2 C．1： ：2 D．1：4：1
2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（? ）
A． ????? B．3???? C． ?????? D．
3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（? ）
A．6，7，8??? B．5，6，7??? C．4，5，6??? D．3，4，5
4．下列各命题的逆命题成立的是（? ）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（? ）
A． cm2??? B．2 cm2??? C．3 cm2 ????D．4cm2
6．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（ ）．
7．如图12，等腰中，，AD是底边上的高，若AB=5cm,BC=6cm，则AD cm．
8.已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 ．
9．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm
10．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了_______________米．
11．一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶_______________m．
12.已知Rt△ABC的周长是，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝____________
13．（13分）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
14．(15分)如图13，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，
旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出
旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．
14章 勾股定理 小结与复习（四）
一、基础测试,巩固提高
（一）勾股定理:在直角三角形中，两直角边的 等于 .
若用a、b为表示两条直角边，c表示斜边，则 .
1.⑴在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=3，b=4，则c=＿＿＿＿；若b=8，c=17，则a=_______;
⑵如图1，等腰△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则BC边上的高AD=_______.
⑶如图2在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米.
（4）一根旗杆在离地面9 m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m的地面上，旗杆在折断之前高度为
（5）一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边平方为
（6）如图3，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
（二）勾股定理逆定理:
1．在三角形中，若 等于第三边的平方，
则这个三角形为 ，这是判定一个三角形是 的方法．
2．能构成直角三角形边长的三个 称为勾股数.
3. (1)下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1.5,2,3; B. 7,24,25; C. 6,8,10; D. 9,12,15.
（2）三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2
C．a2=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12
（3）三角形的三边长为,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.
（4）如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，
①求证：∠A+∠C=180°.
②求四边形ABCD的面积.
（三）最短距离问题：主要运用的依据是____________________
1.如图6、有一长70㎝，宽50㎝，高50㎝的长方体盒子，A点处有一只蚂蚁，想吃到B点处的食物，它爬行的最近距离是 厘米.
2.如图7、一个无盖的圆柱纸盒：高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃,要爬行的最短路程(取3)是( )
A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
（四）主要数学思想：
1.方程思想:
如图8，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
2．分类讨论思想（易错题）
（1）在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为
（2）已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，则△ABC的周长为 ．
二、达标检测，体验成功（时间15分钟，1-11每小题7分，满分100分）
1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）
A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25
C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10
2．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A. 钝角三角形 B.锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
3．直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形周长为（ ）
A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm
4. 若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是 ( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
5. 将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能
6. 已知，如图9，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点
D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）cm2 A .6 B .8 C .10 D .12
7. 如图10小方格都是边长为1的正方形,图中四边形的面积为（ ）
A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5
8. 直角三角形中，如果有两条边长分别为3，4，且第三条边长为整数，那么第三条边长应该是（ ） A. 5 B. 2 C. 6 D. 非上述答案
9. 已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A. 5 B. 25 C. 7 D. 15
10．等边三角形的边长为6，则它的高是________
11．已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长
为???????????????? cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
12．（12分）在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=5，b=12，则c= ； （2）b=8，c=17 ，则=
13．(11分)已知：如图，△ABC中，∠C＝90o，AD是
角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长．
14章 勾股定理单元测试
（时间：100分钟 总分：120分）
一、相信你一定能选对！（每小题3分，共24分）
1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )
A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 8
2. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m2 + n2, m2–n2, 2mn（m，n均为正整数,mn）；
④,,.其中能组成直角三角形的三边长的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
3. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17 B．a2-b2=c2 C．a2=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12
4. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形
5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
6．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2
7．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）
A．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定
二、你能填得又快又对吗？（每小题3分，共21分）
9. 在△ABC中，∠C=90°， AB＝5，则++=_______．
10. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼
合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ．
11．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
12．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
13．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有___米.
14．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位
mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 ．
15．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降至 B’，那么 BB’的值： ①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是 ．
三、认真解答，一定要细心哟！（共75分）
16．（6分）右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结
这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度
是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．
17．（7分）已知a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，
b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n为大于1的自然数）,试说明
△ABC为直角三角形.
18.（7分）如图所示,某人到岛上去探宝，从A处登陆后
先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再折回向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏.问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
19．（8分）如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
20.（8分）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
请用学过的数学知识回答这个问题.
21．（9分）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时
速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达
C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？
22．（10分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
23．（10分）如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，若DA=10km,CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？
24．（10分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，
而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马
牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短
路程是多少？
八年级上学期期中测试数学试题(一)
（考试时间：100分钟，总分：120分）
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在、、、3.14、0.1010010001、、这7个实数中，无理数的个数
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列说法中正确的是（ ）
A．立方根等于本身的数只有0和1 B．平方根等于本身的数是0和1
C．－2是 4的平方根 D．的算术平方根是4
5．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2 + x -1 = （x+1）（x-1）+ x B．x4 – 1 = （x2 +1）（x+1）（x-1）
C．（a-b）2 = a2 -2ab + b2 D．3x3 + 3x2 = 3x3（1+）
6．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13 B．15 C．13或15 D．13或
7．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是( )
A．三条边的比为1:2:3 B．三条边满足关系a2=b2-c2
C．三个角的比为1:2:3 D．三个角满足关系∠B+∠C=∠A
8. 如图1，在边长为的正方形中，剪去一个
边长为的小正方形（＞）,将余下部分拼成
一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，
可以得到一个关于、的恒等式为（ ）
A．；
B． ；
C．；
D．.
9．如图2，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，线段AB=AC，则点C所表示的数是（ ）
A．2- B．-2 C．-1 D．1-
10．如图3，ΔABC中∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 6
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．的平方根是 ，的立方根是 ，是 的立方根.
12．比较大小,在横线上填上“＞、=、＜”.
______; _______π; ______ .
13．大于小于的所有整数的和是 .
14．如图x在数轴上表示数的点的位置，则化简的结果是 .
x 0
15．在图4所示的图形中，所有的四边形
都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
其中最大正方形的边长为9，那么A、B、
C、D这四个正方形的面积和应是 .
16．已知： (0＜a＜1)，则
三、解答题（共72分）
17.计算（每小题8分，共16分）
(1)
(2)求代数式的值，其中a=，b=
18.（10分）如图6，某校有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，学校计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像.
(1) 用含a、b的代数式表示绿化面积；
(2) 求出当a=3米,b=2米时的绿化面积．
20．（10分）如图7所示，有一位狡猾的老财主，把一块边长
为a米（a＞30）的正方形土地给赵老汉种植.隔了一年，他对
赵老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，
继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”赵老汉一听，觉得
好像没有吃亏，就答应了.你觉得赵老汉有没有吃亏呢？
请说明理由.
21. （10分）阅读下列解答过程，然后解答问题.
已知多项式x3 ＋4 x2 ＋mx ＋5有一个因式为（x＋1 ），求m的值.
解法一：设另一个因式为(x2 +a x ＋b),则x3 ＋4 x2 ＋mx ＋5＝（x＋1 ）(x2 +a x ＋b)
即x3 ＋4 x2 ＋mx ＋5＝ x3 ＋（a＋1） x2 ＋（a＋b）x ＋b
∴（a＋1）=4 ，（a＋b）＝m ，b＝5 ∴a=3 ， b＝5 ， m＝8
解法二：令x＋1＝0得x＝- 1 ， 即当x＝-1时，原多项式为零.
∴（-1）3 ＋4 （-1）2 ＋m×（-1） ＋5=0 ∴m＝8
用以上两种解法之一解答问题：若多项式x3 ＋3x2 －3x ＋k有一个因式为（x＋1 ），
求k的值.
22. （12分）如图14.2.5，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1） 从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；
（2） 画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．
23．（10分）如图有一块形状为四边形的钢板，量得它的各边长度为AB =9cm, BC =12 cm ,CD=17 cm ， DA =8cm,
∠B=90°求这块钢板的面积．
24．（16分）探究发现：
（1）完成下列填空：①=_____， ②=_____， ③=____，
④=_____， ⑤=_____， ⑥=_____，
（2）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来：
（3）利用你总结的规律，计算:
①若x＜2，则= ; ②= .
25．（16分）请阅读下列材料：
问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5，BC是底面直径，圆柱高AB为5，
求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段AC.如图（２）所示.
设路线1 的长度为L1 ,则L12=AC2=AB2+BC2=52+（5）2=25+252.
路线2：高线AB+底面直径BC.如图(1)所示.
设路线2的长度为L2,则L22=(AB+BC)2=（5+10）2=225
∵ L12－L22=25+25 2－225=252－200=25(2－8)＞0
∴ L12＞L22. ∴ L1＞L2 所以选择路线2较短.
(1)小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1，高AB为5”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算：
路线1：L12=AC2= .
路线2：L22=（AB+AC）2= .
∴ L1 L2 (填“＜”或者 “＞”)
所以选择路线 (填1或2)较短.
(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为，高为时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短.
八年级上学期期中测试数学试题㈡
(满分120分,时间100分钟)
一、选择题（每小题3分，共27分）
1. 下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2. 在 -、2π、、、0 、 中无理数个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法: (1) -64的立方根是4,(2) 的平方根是,(3)的立方根是,
(4) 49的算术平方根是±7, 其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知，则的值是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．若是一个完全平方式,则的取值是（ )
A. 8 B. C. D.
6．如图1，在一只底面半径为2.5cm的圆柱体的水杯中放了一支15cm长的吸管，杯中部分吸管长13cm，若杯中装满牛奶，某同学每2秒吸1cm高的牛奶，那么几秒可以吸完（ ）
A. 12秒 B. 24秒 C. 13秒 D. 26秒
7．如图2，小方格的面积是1，则图中以格点为端点且长度为5的线段有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
8．如图3，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
9.满足下列条件△ABC, 不是直角三角形的是 ( )
A．b2 = a2 - c2 B．a:b:c=3:4:5 C．∠C=∠B + ∠A D．∠A:∠B :∠C =3:4:5
二、填空题（每小题3分，共24分）
10．比较大小： 4．
11. 若一个正数的两个平方根是和，则 ，这个正数为 .
12．计算： ， ．
13．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线长为68cm，这个桌面__________ （填“合格”或“不合格”）.
14．将图5甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到
的数学公式是___________ ．
15．如图6，长为8cm的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm.
16.如图7,甲、乙两个农民都有两块地，如图所示,今年这两个农民决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这四块地换成一块宽为（a+b）米的长方形地,为了使所换地的面积与原来地的总面积相等，交换之后地的长应该是__________米.
17．如图8是第七届国际数学教育大会的会徽.它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且
=1，则 ，按此规律那么这些线段中长度为正整数的线段有 条.
三、解答题（本大题共8小题，共69分）
18.计算：（每小题5分，共10分）
（1） （2）;
19.分解因式（每小题5分，共10分）
（1） （2）
20．求值（每小题6分）⑴已知，求代数式的值．
（2）先化简，再求值：，其中，．
21. （6分）⑴请你至少用两种方法判断下列格点图中三角形ABC是直角三角形.（每相邻两个格点之间的距离都等于1个长度单位）⑵计算△ABC的面积.
22.实践与探索（7分）
（1）请用“＞”、“＜”、“=”填空:(2分)
①+ 2×3×2 ②+ 2×5×5
③-6+ 2×（-6）×3 ④-+- 2×（-2）×（-2）
（2）观察以上各式，请猜想+与2ab的大小.（2分）
（3）你能借助于完全平方公式证明你的猜想吗？试试看！（3分）
24．（本题7分）美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理.
25．（8分）如图，将矩形ABCD纸片沿直线AE折叠，顶点D恰好落在边BC上的点F处，已知AB=8cm,AD=10cm.
（1）请直接写出AF的长；
（2）求CE的长．
26．（9分）（1）拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩
形拼成一个大正方形，并且正中间留下一个洞，这个洞恰好是一个小正方形.
（2）用不同方法计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（3）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，它的面积就多24cm2，求中间小正方形的边长.