人教课标版高中数学必修1《集合的含义和表示》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教课标版高中数学必修1《集合的含义和表示》教学设计 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 161.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-31 09:37:58 | ||
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文档简介
第一章 集合与函数的概念
本章学情分析与教材分析
（1）学情分析：
本章是高中数学学习的开篇，学生应通过本章学习，完成从初中数学学习高中数学学习的顺利过渡，在适应高中教育环境的同时，初步体会高中课堂特点，感悟高中数学知识的基本结构与数学研究方法的基本特征．
集合是现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容．本章将学习集合的一些基本知识，用集合语言表示有关数学对象，并运用集合和对应的语言进一步描述函数概念，感受建立函数模型的过程和方法，初步运用函数思想理解和处理生活、社会中的简单问题．
本章的内容注重反应数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、从一般到特殊的一般原则．
（二）教材分析：
1．核心素养
集合论是德国数学家康托（Cantor）在19世纪末创立的，高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生通过学习学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力．
集合是函数研究的基础，在学习集合时要关注集合的特点及基本运算；函数的概念是难点，也是高中数学的重要内容之一．函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学和各个领域，是进一步学习数学的重要基础；函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终．
通过本章学习，让学生在集合、函数、单调性等概念的抽象中感受高中数学的逻辑推理过程，结合图象对集合运算、函数对应关系、函数性质产生直观想象，并通过函数实际模型的建立体会数学的应用价值．
2．本章目标
（1）集合的含义与表示
①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
②能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
（2）集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
②在具体情境中，了解全集与空集的含义．
（3）集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
（4）函数
①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．
③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义．
⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
3．课时安排
本章教学时间约需12课时，具体分配如下：
1.1 集合 4课时
1.2 函数及其表示 4课时
1.3 函数的基本性质 3课时
小结 1课时
4．本章重点
集合的运算、函数的概念（三要素）、函数的性质（单调性、奇偶性）．
5．本章难点
函数的概念（三要素）、函数的性质（单调性、奇偶性）．
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示 (范美卿)
一、教学目标
（一）核心素养
通过这节课学习，了解集合的概念、体会元素与集合的“属于”关系，会选择适当的方法表示集合，在直观想象、数学抽象中感受集合语言的特点．
（二）学习目标
1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
2．初步了解有限集、无限集的意义．
3．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
（三）学习重点
1．元素与集合的概念．
2．集合的表示法：列举法、描述法．
3．常用数集的表示符号．
（四）学习难点
1．选择适当的方法（列举法、描述法）正确表示一些简单的集合．
2．对新学的数学符号的正确使用．
3．对空集和无限集概念的理解．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
（1）读一读：阅读教材第1页至第5页，填空：
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA．
我们除了用自然语言表示集合，还能用列举法、描述法表示集合．
（2）写一写：数学中一些常用的数集的记法是什么？
自然数集N；正整数集N*或N＋；整数集Z；有理数集Q：实数集R．
2．预习自测
（1）下列表述中不是集合元素特性的是（ ）
A．互异性 B．确定性 C．无序性 D．多样性
【解题过程】集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性
【答案】D．
（2）下列符号表示的集合为有理集的是（ ）
A．N B．Z C．Q D．R
【解题过程】自然数集N，整数集Z，实数集R
【答案】C．
（3）全体奇数构成的集合用描述法表示正确的是（ ）
A．{x︱x＝2k＋1，k∈N} B．{x︱x＝2k＋1，k∈Z}
C．{x︱x＝2k－1，k∈Q } D．{x︱x＝2k＋1，k∈R }
【解题过程】K∈Z才能表示奇数
【答案】B．
(二)课堂设计
1．知识回顾
（1）在小学和初中，接触过一些集合，集合的含义是什么？
2．问题探究
探究一 结合实例，认识集合与元素★
●活动① 归纳提炼概念
在小学和初中，我们接触过一些集合，例如自然数的集合，不等式x－7＜3的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆），等等．我们再来看下面的一些例子：
（1）地球上的四大洋；
（2）中国的所有直辖市；
（3）1~20以内的所有素数；
（4）方程x2＋x－2＝0的所有实数根．
（5）所有的正方形；
（6）到两个定点A、B距离相等的所有点；
（7）不等式x－7＜3的所有实数解．
我们可以看到，把研究对象作为元素，这些元素的全体就是一个集合．
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set），简称集．
【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．
●活动② 辨析概念、分析元素特性
分析以上研究对象，你能得出一个集合的元素有哪些特性？
确定性、互异性、无序性．
如何理解元素的三个特性？
确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合就确定了．
互异性：一个给定集合中的元素互不相同．
无序性：一个给定集合中的元素没有顺序的差异．
结合概念及以上元素特性，你能判定两个集合相等吗？
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．
【设计意图】通过概念辨析，加深对集合内涵与外延的理解，突破重点．
●活动③ 简化表示，认识元素与集合关系
我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作．
将“1~20以内的素数”组成的集合记为A，请写出元素3和4与A的关系．
3∈A；4A．
通过预习，你还知道哪些常用数集的记法？（抢答）
自然数集N；正整数集N*或N＋；整数集Z；有理数集Q：实数集R．
【设计意图】通过用字母表示集合认识数学简洁、抽象之美，通过以数集的抢答检查反馈预习，强化记忆．
探究二 探究集合分类方法
●活动① 认识差异、合理分类
结合以上7个例子，你能根据元素数目特点对集合进行分类吗？
有限集：元素个数为有限个的集合．
无限集：元素个数是无限个的集合．
【设计意图】通过分类加深对集合认识，为后面集合表示做好铺垫．
●活动② 巩固理解，加深认识
你能将活动①中的集合进行分类吗？（抢答）
（1）、（2）、（3）、（4）表示的集合为有限集，（5）、（6）、（7）表示的集合为无限集．
我还能举出哪些集合，并说明它是有限集还是无限集？
【设计意图】从给出的例子到学生自行举出例子，检查反馈学生对集合概念的理解，加深对分类的认识．
探究三 简化抽象、探究集合合理表示方法★▲
●活动① 归纳梳理、理解提升
我们除了用自然语言表示集合，你还能哪些语言表示集合？
还可用图形语言（Venn图）、集合语言表示集合．
阅读教材第3页至第5页，你能用哪些方式表示集合？各种方式有何特点？
列举法：把集合的元素一一列举出来，用逗号隔开，并用花括号“{}”括起来表示集合．一般用在元素个数较少的有限集，优点在于能直观看出集合中的所有元素．
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合，具体方法是在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．可用来表示无限集，便于看出元素的普遍特性．
以上两种表示方法都要用到“{}”，如元素不加上“{}”，则表示的是元素，而非集合．
集合A＝{x＜1}，B＝{x︱x＜1}是否相同？
不相同，A用的是列举法，表示由一个不等式“x＜1”构成的集合，只有一个元素；集合B是使不等式x＜1成立的所有实数x构成的集合，是无限集．
以后我们还要学习用区间来表示集合．
【设计意图】通过学生阅读归纳方法，培养学生数学抽象、归类整理意识．
●活动② 互动交流、初步实践
组织课堂讨论：我们能否选择适当方式表示一开始给出的7个不同集合
（1）~（4）可采用列举法，（5）~（7）可用描述法，分别表示为：
（1）A＝{太平洋，印度洋，大西洋，北冰洋}；
（2）B＝{北京市，天津市，上海市，重庆市}
（3）C＝{2，3，5，7，11，13，17，19}；
（4）D＝{1，－2}；
（5）E＝{P︱P为正方形}；
（6）F＝{P︱PA＝PB}；
（7）G＝{x∈R︱x－7＜3}或G＝{x∈R︱x＜10}．
以上这些表示方法是否是唯一的？
不唯一，同一个集合有多种不同的表示方法，只要保证元素相同就可以了．
【设计意图】通过讨论认识列举法与描述法的异同与表示集合中优劣，培养规范表达的基本功．
活动③ 巩固基础，检查反馈
例1 以下元素的全体不能构成集合的是（ ）
A．大于3小于11的偶数 B．我国的小河流
C．我校高一年级的全体学生 D．与直线AB平行的所有直线
【知识点】集合的含义、集合的确定性、互异性、无序性．
【数学思想】
【解题过程】选项B中元素不确定．
【思路点拨】通过集合中元素特性判断．
【答案】B．
同类训练 以下元素的全体不能构成集合的是（ ）
A．使1＜x≤6成立的全体实数 B．中国的唐宋八大家
C．所在班级中头发短的男生 D．与△ABC全等的所有三角形
【知识点】集合的含义、集合的确定性、互异性、无序性．
【数学思想】
【解题过程】选项C中元素不确定．
【思路点拨】通过集合中元素特性判断．
【答案】C．
例2 下列符号使用正确的是（ ）
A．∈N B．∈Z C．∈Q D．R
【知识点】元素与集合关系的判断．
【数学思想】
【解题过程】是有理数、实数，不是自然数，不是整数．
【思路点拨】正确识记数集记法，正确使用“”、“”符号．
【答案】C．
同类训练 下列符号使用正确的是（ ）
A．{1}∈{1，2，3} B．1∈{x︱x＜2}
C．0∈{x︱x2＋1＝0} D．R
【知识点】元素与集合关系的判断．
【数学思想】
【解题过程】1＜2成立，则1∈{x︱x＜2}．
【思路点拨】正确识记数集记法，正确使用“”、“”符号．
【答案】B．
【设计意图】巩固检查集合的含义、元素与集合的关系．
●活动4 强化提升、灵活应用
例3 设集合A＝{(x, y)︱x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示集合A．
【知识点】集合的表示法．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】x分别取0，1，2，3，4，5，6，罗列取值判断．
【思路点拨】关注列举法与描述法的特点，弄清元素特征．
【答案】{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．
同类训练 设集合A＝{x∈Z︱∈Z}，用列举法表示集合A．
【知识点】集合的表示法．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】6被2－x整除，罗列x取值判断．
【思路点拨】关注列举法与描述法的特点，弄清元素特征．
【答案】{－4，－1，0，1，3，4，5，8}．
【设计意图】巩固检查集合的表示法，熟练数集记法．
3. 课堂总结
知识梳理
（1）我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set），简称集．一个集合的元素有确定性、互异性、无序性三个特性．
（2）我们将一些常用的数集表示为：自然数集N；正整数集N*或N＋；整数集Z；有理数集Q：实数集R．
（3）集合可以用自然语言、图形语言、数学语言（列举法、描述法）来表示．
重难点归纳
（1）元素与集合间的关系用“∈”、“”来表示，涉及到含参数问题要注意分类讨论，并能用元素的互异性进行检验．
（2）选择合理的形式来表示集合要不断尝试、总结，特别要用好列举法和描述法，并能区分使用两种方法的优点、缺点．
（三）课后作业
基础型 自主突破
1．下列元素全体不能构成集合的是（ ）
A．一书本上的所有汉字
B．高一（1）班第一次月考数学成绩在135分以上的同学
C．方程x2＋2x＋1＝0的所有实数解
D．非常小的正数
【知识点】集合的含义．
【数学思想】
【解题过程】D选项中非常小的正数无法确定．
【思路点拨】根据集合元素的确定性进行判断．
【答案】D．
2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（ ）
A．3.14159 B．－2 C． D．
【知识点】元素与集合关系的判断，以及对实数、有理数、无理数的区分和概念认知.
【数学思想】
【解题过程】根据题意找出无理数．
【思路点拨】熟记常用数集的记法．
【答案】D．
3．设集合M＝{(2,1)，(1,2)}，则下列结论成立的是（ ）
A．1∈M B．2∈M C．(1,2)∈M D．M中仅有一个元素
【知识点】元素与集合关系的判断．
【数学思想】
【解题过程】(1,2)，(2,1)为M的两个不同的元素．
【思路点拨】正确理解一个二元数对构成集合的一个元素．
【答案】C．
4．若以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－4＝0的解为元素的集合为A，则A中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性．
【数学思想】
【解题过程】两个方程的解分别为2，3以及－2，2，则A＝{－2,2,3}．
【思路点拨】集合中元素具有互异性特点．
【答案】C．
5．下列关系中：①－∈R；②Q；③N*；④－∈Q；⑤－5Z；⑥0∈N．其正确的是________．
【知识点】元素与集合的关系．
【数学思想】
【解题过程】逐一判断．
【思路点拨】区分常用数集的记法．
【答案】①②⑥．
6．设集合A＝{x︱ax2＋4x＋1＝0，a∈R}只有一个元素，则a的值为________．
【知识点】集合的表示法．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】当a＝0时，成立；当a≠0时，16－4a＝0，得a＝4．
【思路点拨】正确理解集合A为方程ax2＋4x＋1＝0的解集．
【答案】0或4．
能力型 师生共研
7．设a，b∈R，集合{1，a}＝{0，a＋b}，则b－a＝（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【知识点】集合的含义、元素与集合的关系．
【数学思想】
【解题过程】由{1，a}＝{0，a＋b}，则所以故b－a＝1．
【思路点拨】两个集合相等，则两个集合的元素对应相等．
【答案】A．
8．设集合A＝{2，3，a2＋2a－3}，B＝{a＋3，2}．若已知5∈A，且5B，求实数a的值．
【知识点】元素与集合的关系．
【数学思想】
【解题过程】由5∈A，且5B，则解得a＝－4．
【思路点拨】利用元素与集合关系构造方程组或数量关系求解．
【答案】－4．
探究型 多维突破
9．设集合A＝{2，3，a2＋4a＋2}，B＝{0，7，a2＋4a－2，2－a}，且7∈A，求集合B．
【知识点】集合的含义、集合之间的关系．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】由7∈A，则a2＋4a＋2＝7，得a＝－5或a＝1．
当a＝－5时，B中元素2－a＝7，与互异性不符，舍去；
当a＝1时，经检验成立；所以B＝{0，7，3，1}．
【思路点拨】利用元素与集合关系构造方程，并用元素特性检验．
【答案】B＝{0，7，3，1}．
10．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”．
（1）判断集合A＝{－1，1，2，3}是否为“可倒数集”；
（2）试写出一个含3个元素的“可倒数集”．
【知识点】集合的含义、元素与集合的关系、集合的表示法．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】（1）由于2的倒数，3的倒数均不在集合A中，故A不是“可倒数集”．
（2）可以取集合A＝{1，2，}或{－1，2，}等．
【思路点拨】把握集合元素特征，着力区分一个数与其倒数相等或不相等的情况．
【答案】（1）不是；（2）A＝{1，2，}等．
自助餐
1．若2∈{1，x2＋x，x}，则x的值为（ ）
A．－2或1 B．2 C．2或－2 D．－2或2或1
【知识点】元素与集合的关系、集合的含义．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】若x2＋x＝2，解得x＝－2或x＝1，经检验x＝1应舍去．若x＝2，成立．综合得x＝－2或x＝2．
【思路点拨】利用元素与集合的关系分类讨论．
【答案】C．
2．下面有五个命题：
①a∈N，b∈N，则a＋b∈N；
②a∈N，b∈N，则a－b∈N；
③a∈Z，b∈Z，则a·b∈Z；
④a∈Z，b∈Z，则∈Z；；
⑤集合{0}中没有元素．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【知识点】集合的含义、元素与集合的关系．
【数学思想】
【解题过程】易知②④⑤是错误的．
【思路点拨】正确区分常用数集的符号．
【答案】C．
3．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是________．
【知识点】元素与集合的关系．
【数学思想】
【解题过程】a＝2时，4－a＝4∈A，成立；同理可以验证a＝4时也成立，a＝6时不成立．
【思路点拨】逐一通过元素与集合的关系进行检验．
【答案】2或4．
4．设集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，M＝{x︱x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为________ ．
【知识点】集合的表示法．以及集合元素的特征.
【数学思想】
【解题过程】由集合中元素的互异性，可知集合M＝{4，5，6，7，8}，共有5个元素．
【思路点拨】认清集合列举法与描述法，用元素特性进行检验．
【答案】5．
5．用描述法表示下列集合．
（1）正偶数集；
（2）被3除余2的正整数集合；
（3）坐标平面内在第四象限的点组成的集合．
【知识点】集合的表示法．
【数学思想】
【解题过程】（1）偶数用2n表示，正偶数时限定n∈N*；再用描述法写出集合．同理可以（2）、（3）两个集合．
【思路点拨】描述法的关键在于寻找元素的共同特征，并用描述法正确表达．
【答案】（1）{x︱x＝2n，n∈N*}；（2）{x︱x＝3n＋2，}；（3）．
6．已知集合A＝{x︱x2＋(a＋1)x＋a＋b＝0}，B＝{2，3}，C＝{4}．
（1）若A＝B，求a，b的值；
（2）若A＝C，求a，b的值．
【知识点】集合的含义、元素与集合的关系、集合的表示法．
【数学思想】转化与化归思想．
【解题过程】（1）2，3为方程的两个根，则－a－1＝5，a＋b＝6，解得a＝－6，b＝12．
（2）4为方程的两个相等实根，则－a－1＝8，a＋b＝16，解得a＝－9，b＝25．
【思路点拨】根据元素个数判断方程的实根情况．
【答案】（1）a＝－6，b＝12；（2）a＝－9，b＝25．
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本章学情分析与教材分析
（1）学情分析：
本章是高中数学学习的开篇，学生应通过本章学习，完成从初中数学学习高中数学学习的顺利过渡，在适应高中教育环境的同时，初步体会高中课堂特点，感悟高中数学知识的基本结构与数学研究方法的基本特征．
集合是现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容．本章将学习集合的一些基本知识，用集合语言表示有关数学对象，并运用集合和对应的语言进一步描述函数概念，感受建立函数模型的过程和方法，初步运用函数思想理解和处理生活、社会中的简单问题．
本章的内容注重反应数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、从一般到特殊的一般原则．
（二）教材分析：
1．核心素养
集合论是德国数学家康托（Cantor）在19世纪末创立的，高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生通过学习学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力．
集合是函数研究的基础，在学习集合时要关注集合的特点及基本运算；函数的概念是难点，也是高中数学的重要内容之一．函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学和各个领域，是进一步学习数学的重要基础；函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终．
通过本章学习，让学生在集合、函数、单调性等概念的抽象中感受高中数学的逻辑推理过程，结合图象对集合运算、函数对应关系、函数性质产生直观想象，并通过函数实际模型的建立体会数学的应用价值．
2．本章目标
（1）集合的含义与表示
①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
②能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
（2）集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
②在具体情境中，了解全集与空集的含义．
（3）集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
（4）函数
①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．
③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义．
⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
3．课时安排
本章教学时间约需12课时，具体分配如下：
1.1 集合 4课时
1.2 函数及其表示 4课时
1.3 函数的基本性质 3课时
小结 1课时
4．本章重点
集合的运算、函数的概念（三要素）、函数的性质（单调性、奇偶性）．
5．本章难点
函数的概念（三要素）、函数的性质（单调性、奇偶性）．
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示 (范美卿)
一、教学目标
（一）核心素养
通过这节课学习，了解集合的概念、体会元素与集合的“属于”关系，会选择适当的方法表示集合，在直观想象、数学抽象中感受集合语言的特点．
（二）学习目标
1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
2．初步了解有限集、无限集的意义．
3．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
（三）学习重点
1．元素与集合的概念．
2．集合的表示法：列举法、描述法．
3．常用数集的表示符号．
（四）学习难点
1．选择适当的方法（列举法、描述法）正确表示一些简单的集合．
2．对新学的数学符号的正确使用．
3．对空集和无限集概念的理解．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
（1）读一读：阅读教材第1页至第5页，填空：
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA．
我们除了用自然语言表示集合，还能用列举法、描述法表示集合．
（2）写一写：数学中一些常用的数集的记法是什么？
自然数集N；正整数集N*或N＋；整数集Z；有理数集Q：实数集R．
2．预习自测
（1）下列表述中不是集合元素特性的是（ ）
A．互异性 B．确定性 C．无序性 D．多样性
【解题过程】集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性
【答案】D．
（2）下列符号表示的集合为有理集的是（ ）
A．N B．Z C．Q D．R
【解题过程】自然数集N，整数集Z，实数集R
【答案】C．
（3）全体奇数构成的集合用描述法表示正确的是（ ）
A．{x︱x＝2k＋1，k∈N} B．{x︱x＝2k＋1，k∈Z}
C．{x︱x＝2k－1，k∈Q } D．{x︱x＝2k＋1，k∈R }
【解题过程】K∈Z才能表示奇数
【答案】B．
(二)课堂设计
1．知识回顾
（1）在小学和初中，接触过一些集合，集合的含义是什么？
2．问题探究
探究一 结合实例，认识集合与元素★
●活动① 归纳提炼概念
在小学和初中，我们接触过一些集合，例如自然数的集合，不等式x－7＜3的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆），等等．我们再来看下面的一些例子：
（1）地球上的四大洋；
（2）中国的所有直辖市；
（3）1~20以内的所有素数；
（4）方程x2＋x－2＝0的所有实数根．
（5）所有的正方形；
（6）到两个定点A、B距离相等的所有点；
（7）不等式x－7＜3的所有实数解．
我们可以看到，把研究对象作为元素，这些元素的全体就是一个集合．
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set），简称集．
【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．
●活动② 辨析概念、分析元素特性
分析以上研究对象，你能得出一个集合的元素有哪些特性？
确定性、互异性、无序性．
如何理解元素的三个特性？
确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合就确定了．
互异性：一个给定集合中的元素互不相同．
无序性：一个给定集合中的元素没有顺序的差异．
结合概念及以上元素特性，你能判定两个集合相等吗？
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．
【设计意图】通过概念辨析，加深对集合内涵与外延的理解，突破重点．
●活动③ 简化表示，认识元素与集合关系
我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作．
将“1~20以内的素数”组成的集合记为A，请写出元素3和4与A的关系．
3∈A；4A．
通过预习，你还知道哪些常用数集的记法？（抢答）
自然数集N；正整数集N*或N＋；整数集Z；有理数集Q：实数集R．
【设计意图】通过用字母表示集合认识数学简洁、抽象之美，通过以数集的抢答检查反馈预习，强化记忆．
探究二 探究集合分类方法
●活动① 认识差异、合理分类
结合以上7个例子，你能根据元素数目特点对集合进行分类吗？
有限集：元素个数为有限个的集合．
无限集：元素个数是无限个的集合．
【设计意图】通过分类加深对集合认识，为后面集合表示做好铺垫．
●活动② 巩固理解，加深认识
你能将活动①中的集合进行分类吗？（抢答）
（1）、（2）、（3）、（4）表示的集合为有限集，（5）、（6）、（7）表示的集合为无限集．
我还能举出哪些集合，并说明它是有限集还是无限集？
【设计意图】从给出的例子到学生自行举出例子，检查反馈学生对集合概念的理解，加深对分类的认识．
探究三 简化抽象、探究集合合理表示方法★▲
●活动① 归纳梳理、理解提升
我们除了用自然语言表示集合，你还能哪些语言表示集合？
还可用图形语言（Venn图）、集合语言表示集合．
阅读教材第3页至第5页，你能用哪些方式表示集合？各种方式有何特点？
列举法：把集合的元素一一列举出来，用逗号隔开，并用花括号“{}”括起来表示集合．一般用在元素个数较少的有限集，优点在于能直观看出集合中的所有元素．
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合，具体方法是在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．可用来表示无限集，便于看出元素的普遍特性．
以上两种表示方法都要用到“{}”，如元素不加上“{}”，则表示的是元素，而非集合．
集合A＝{x＜1}，B＝{x︱x＜1}是否相同？
不相同，A用的是列举法，表示由一个不等式“x＜1”构成的集合，只有一个元素；集合B是使不等式x＜1成立的所有实数x构成的集合，是无限集．
以后我们还要学习用区间来表示集合．
【设计意图】通过学生阅读归纳方法，培养学生数学抽象、归类整理意识．
●活动② 互动交流、初步实践
组织课堂讨论：我们能否选择适当方式表示一开始给出的7个不同集合
（1）~（4）可采用列举法，（5）~（7）可用描述法，分别表示为：
（1）A＝{太平洋，印度洋，大西洋，北冰洋}；
（2）B＝{北京市，天津市，上海市，重庆市}
（3）C＝{2，3，5，7，11，13，17，19}；
（4）D＝{1，－2}；
（5）E＝{P︱P为正方形}；
（6）F＝{P︱PA＝PB}；
（7）G＝{x∈R︱x－7＜3}或G＝{x∈R︱x＜10}．
以上这些表示方法是否是唯一的？
不唯一，同一个集合有多种不同的表示方法，只要保证元素相同就可以了．
【设计意图】通过讨论认识列举法与描述法的异同与表示集合中优劣，培养规范表达的基本功．
活动③ 巩固基础，检查反馈
例1 以下元素的全体不能构成集合的是（ ）
A．大于3小于11的偶数 B．我国的小河流
C．我校高一年级的全体学生 D．与直线AB平行的所有直线
【知识点】集合的含义、集合的确定性、互异性、无序性．
【数学思想】
【解题过程】选项B中元素不确定．
【思路点拨】通过集合中元素特性判断．
【答案】B．
同类训练 以下元素的全体不能构成集合的是（ ）
A．使1＜x≤6成立的全体实数 B．中国的唐宋八大家
C．所在班级中头发短的男生 D．与△ABC全等的所有三角形
【知识点】集合的含义、集合的确定性、互异性、无序性．
【数学思想】
【解题过程】选项C中元素不确定．
【思路点拨】通过集合中元素特性判断．
【答案】C．
例2 下列符号使用正确的是（ ）
A．∈N B．∈Z C．∈Q D．R
【知识点】元素与集合关系的判断．
【数学思想】
【解题过程】是有理数、实数，不是自然数，不是整数．
【思路点拨】正确识记数集记法，正确使用“”、“”符号．
【答案】C．
同类训练 下列符号使用正确的是（ ）
A．{1}∈{1，2，3} B．1∈{x︱x＜2}
C．0∈{x︱x2＋1＝0} D．R
【知识点】元素与集合关系的判断．
【数学思想】
【解题过程】1＜2成立，则1∈{x︱x＜2}．
【思路点拨】正确识记数集记法，正确使用“”、“”符号．
【答案】B．
【设计意图】巩固检查集合的含义、元素与集合的关系．
●活动4 强化提升、灵活应用
例3 设集合A＝{(x, y)︱x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示集合A．
【知识点】集合的表示法．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】x分别取0，1，2，3，4，5，6，罗列取值判断．
【思路点拨】关注列举法与描述法的特点，弄清元素特征．
【答案】{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．
同类训练 设集合A＝{x∈Z︱∈Z}，用列举法表示集合A．
【知识点】集合的表示法．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】6被2－x整除，罗列x取值判断．
【思路点拨】关注列举法与描述法的特点，弄清元素特征．
【答案】{－4，－1，0，1，3，4，5，8}．
【设计意图】巩固检查集合的表示法，熟练数集记法．
3. 课堂总结
知识梳理
（1）我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set），简称集．一个集合的元素有确定性、互异性、无序性三个特性．
（2）我们将一些常用的数集表示为：自然数集N；正整数集N*或N＋；整数集Z；有理数集Q：实数集R．
（3）集合可以用自然语言、图形语言、数学语言（列举法、描述法）来表示．
重难点归纳
（1）元素与集合间的关系用“∈”、“”来表示，涉及到含参数问题要注意分类讨论，并能用元素的互异性进行检验．
（2）选择合理的形式来表示集合要不断尝试、总结，特别要用好列举法和描述法，并能区分使用两种方法的优点、缺点．
（三）课后作业
基础型 自主突破
1．下列元素全体不能构成集合的是（ ）
A．一书本上的所有汉字
B．高一（1）班第一次月考数学成绩在135分以上的同学
C．方程x2＋2x＋1＝0的所有实数解
D．非常小的正数
【知识点】集合的含义．
【数学思想】
【解题过程】D选项中非常小的正数无法确定．
【思路点拨】根据集合元素的确定性进行判断．
【答案】D．
2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（ ）
A．3.14159 B．－2 C． D．
【知识点】元素与集合关系的判断，以及对实数、有理数、无理数的区分和概念认知.
【数学思想】
【解题过程】根据题意找出无理数．
【思路点拨】熟记常用数集的记法．
【答案】D．
3．设集合M＝{(2,1)，(1,2)}，则下列结论成立的是（ ）
A．1∈M B．2∈M C．(1,2)∈M D．M中仅有一个元素
【知识点】元素与集合关系的判断．
【数学思想】
【解题过程】(1,2)，(2,1)为M的两个不同的元素．
【思路点拨】正确理解一个二元数对构成集合的一个元素．
【答案】C．
4．若以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－4＝0的解为元素的集合为A，则A中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性．
【数学思想】
【解题过程】两个方程的解分别为2，3以及－2，2，则A＝{－2,2,3}．
【思路点拨】集合中元素具有互异性特点．
【答案】C．
5．下列关系中：①－∈R；②Q；③N*；④－∈Q；⑤－5Z；⑥0∈N．其正确的是________．
【知识点】元素与集合的关系．
【数学思想】
【解题过程】逐一判断．
【思路点拨】区分常用数集的记法．
【答案】①②⑥．
6．设集合A＝{x︱ax2＋4x＋1＝0，a∈R}只有一个元素，则a的值为________．
【知识点】集合的表示法．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】当a＝0时，成立；当a≠0时，16－4a＝0，得a＝4．
【思路点拨】正确理解集合A为方程ax2＋4x＋1＝0的解集．
【答案】0或4．
能力型 师生共研
7．设a，b∈R，集合{1，a}＝{0，a＋b}，则b－a＝（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【知识点】集合的含义、元素与集合的关系．
【数学思想】
【解题过程】由{1，a}＝{0，a＋b}，则所以故b－a＝1．
【思路点拨】两个集合相等，则两个集合的元素对应相等．
【答案】A．
8．设集合A＝{2，3，a2＋2a－3}，B＝{a＋3，2}．若已知5∈A，且5B，求实数a的值．
【知识点】元素与集合的关系．
【数学思想】
【解题过程】由5∈A，且5B，则解得a＝－4．
【思路点拨】利用元素与集合关系构造方程组或数量关系求解．
【答案】－4．
探究型 多维突破
9．设集合A＝{2，3，a2＋4a＋2}，B＝{0，7，a2＋4a－2，2－a}，且7∈A，求集合B．
【知识点】集合的含义、集合之间的关系．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】由7∈A，则a2＋4a＋2＝7，得a＝－5或a＝1．
当a＝－5时，B中元素2－a＝7，与互异性不符，舍去；
当a＝1时，经检验成立；所以B＝{0，7，3，1}．
【思路点拨】利用元素与集合关系构造方程，并用元素特性检验．
【答案】B＝{0，7，3，1}．
10．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”．
（1）判断集合A＝{－1，1，2，3}是否为“可倒数集”；
（2）试写出一个含3个元素的“可倒数集”．
【知识点】集合的含义、元素与集合的关系、集合的表示法．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】（1）由于2的倒数，3的倒数均不在集合A中，故A不是“可倒数集”．
（2）可以取集合A＝{1，2，}或{－1，2，}等．
【思路点拨】把握集合元素特征，着力区分一个数与其倒数相等或不相等的情况．
【答案】（1）不是；（2）A＝{1，2，}等．
自助餐
1．若2∈{1，x2＋x，x}，则x的值为（ ）
A．－2或1 B．2 C．2或－2 D．－2或2或1
【知识点】元素与集合的关系、集合的含义．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】若x2＋x＝2，解得x＝－2或x＝1，经检验x＝1应舍去．若x＝2，成立．综合得x＝－2或x＝2．
【思路点拨】利用元素与集合的关系分类讨论．
【答案】C．
2．下面有五个命题：
①a∈N，b∈N，则a＋b∈N；
②a∈N，b∈N，则a－b∈N；
③a∈Z，b∈Z，则a·b∈Z；
④a∈Z，b∈Z，则∈Z；；
⑤集合{0}中没有元素．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【知识点】集合的含义、元素与集合的关系．
【数学思想】
【解题过程】易知②④⑤是错误的．
【思路点拨】正确区分常用数集的符号．
【答案】C．
3．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是________．
【知识点】元素与集合的关系．
【数学思想】
【解题过程】a＝2时，4－a＝4∈A，成立；同理可以验证a＝4时也成立，a＝6时不成立．
【思路点拨】逐一通过元素与集合的关系进行检验．
【答案】2或4．
4．设集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，M＝{x︱x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为________ ．
【知识点】集合的表示法．以及集合元素的特征.
【数学思想】
【解题过程】由集合中元素的互异性，可知集合M＝{4，5，6，7，8}，共有5个元素．
【思路点拨】认清集合列举法与描述法，用元素特性进行检验．
【答案】5．
5．用描述法表示下列集合．
（1）正偶数集；
（2）被3除余2的正整数集合；
（3）坐标平面内在第四象限的点组成的集合．
【知识点】集合的表示法．
【数学思想】
【解题过程】（1）偶数用2n表示，正偶数时限定n∈N*；再用描述法写出集合．同理可以（2）、（3）两个集合．
【思路点拨】描述法的关键在于寻找元素的共同特征，并用描述法正确表达．
【答案】（1）{x︱x＝2n，n∈N*}；（2）{x︱x＝3n＋2，}；（3）．
6．已知集合A＝{x︱x2＋(a＋1)x＋a＋b＝0}，B＝{2，3}，C＝{4}．
（1）若A＝B，求a，b的值；
（2）若A＝C，求a，b的值．
【知识点】集合的含义、元素与集合的关系、集合的表示法．
【数学思想】转化与化归思想．
【解题过程】（1）2，3为方程的两个根，则－a－1＝5，a＋b＝6，解得a＝－6，b＝12．
（2）4为方程的两个相等实根，则－a－1＝8，a＋b＝16，解得a＝－9，b＝25．
【思路点拨】根据元素个数判断方程的实根情况．
【答案】（1）a＝－6，b＝12；（2）a＝－9，b＝25．
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