2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册-第四章 指数函数、对数函数与幂函数 章末复习 教案（含答案）

《指数函数、对数函数与幂函数》章末复习
知识脉络
复习重点
指数与指数幂的运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，它们既是学习和研究指数函数、对数函数的基础，也是高考必考内容之一，学习中应给予足够的重视．
指数函数、对数函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图象与性质始终是高考考查的重点．特别应当提醒的是，由于指数函数y＝ax，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象与性质都与a的取值有密切的联系，因此，在a的值不确定时，一定要注意对它们进行分类讨论．
1.对数、对数函数:主要考查对数的运算法则以及利用对数函数的性质比较对数值的大小，求定义域、值域、最值，以及对数函数与相应指数函数间的关系.
对数的运算、以对数函数为载体考查函数值的大小比较及单调性的应用是高考的热点．另外，以对数函数的复合函数为载体考查不等式的求解问题也应予以关注.
2.指数、指数函数：这类题型多以指数及指数函数为载体,考查指数的运算及指数函数图象的应用. 指数、指数函数重点考查的题型仍以考查对概念的理解、指数的运算为主．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算和比较大小等问题，题目以中低档题为主.
3.幂函数：重点是考查幂函数的定义及幂函数的图象与性质.
例题演练
一、指数、对数的运算
例1.计算：(1)＋－10＋ ；
(2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋3lg22＋＋lg 0.06.
解析：(1)原式＝＋－＋1
＝＋－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3lg22＋lg 1－lg 6＋lg 6－2
＝3lg 2×lg 5＋3lg 5＋3lg22－2
＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2
＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.
点评：解答该题主要是利用指数幂的运算法则、对数的运算法则、对数恒等式即可得出.
解决这类问题首先要熟练掌握指数式、对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌
握各种变形．如＝a，ab＝N，＝(其中>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．
【 举一反三】1.如果＝1＋，＝1＋，用x表示y,则＝________.
2.(多选)下列计算正确的是　　
A．
B．，a＞0，
C．
D．已知，则
3.(1)已知＝a，计算和的值；
(2)已知＝0.3010，＝0.4771，求的值．
二、指数、对数型函数的定义域、值域
例2.已知－3≤≤－，求函数f(x)＝·的最大值和最小值．
解析：∵－3≤≤－，∴≤≤3，
∴f(x)＝·＝(－1)(－2)
＝()2－3＋2＝－.
当＝3时，＝2，当＝时，＝－.
点评：求指数型与对数型函数的定义域主要通过构建不等式(组)来求解，有时解不等式(组)时要借助于指数、对数函数的单调性．
涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型，一是形如＝和＝的函数，一般要先求的值域，然后利用指数、对数的单调性求解；二是形如＝和＝的函数，则要根据和的范围，利用函数＝f(x)的性质求解．
【 举一反三】
4.函数＝的定义域是_______.
5．函数＝在区间[－1,2]上的值域是(　　)
A．[1,4] B.
C．[1,2] D.
三、指数、对数函数的图象和性质
例3.当0＜≤时，＜，则a的取值范围是(　　)
A.(0，)　　 B.(，1) C.(1，) D.(，2)
解析：当0＜≤时，1＜≤2，要使＜，由对数函数的性质得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜，∴，即对0＜≤时恒成立，∴，解得＜a＜1，故选B项.
点评：解决此类问题要熟练掌握指数、对数、幂函数的图象和性质，方程与不等式的求解可利用函数的单调性进行转化，也可利用图象解决，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根．
对于图象的判断与选择可利用图象的变换，也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用．
例4.已知函数（其中）为奇函数，求出的值.
解题指导一：利用奇函数建立方程，从中整理出关于的方程，进而解出.
解析一：首先，因为恒成立，故该函数定义域为R.
因为函数为奇函数，故有，即
=0，可得=0
去分母得：
整理后可得：，由于，于是，解得.
因为，故.
经检验，当时，函数为奇函数，
所以.
解题指导二：利用奇函数建立恒成立方程，利用待定系数法求出的值.
解析二：因为函数为奇函数，故有方程对任意实数恒成立，即方程两端应完全相同，由此可以达到待定系数的目的.
由可得，可得，于是有，所以要使方程恒成立，则须，即，解得，
因为，故.
解题指导三：由于函数（其中）定义域为R，即定义域有“0”，且函数为奇函数，故有，从而建立关于的方程，进而解出.
解析三：因为奇函数（其中）定义域为R，故有，即
，于是，因为，故有，所以.
点评：咋一看，策略三思路简洁，又具高效性.但是，这一解题思路又有它的缺陷，那就是定义域中必须有“0”，而且函数还得是奇函数，二者缺一不可，故这一方法并不具有通性，也就是说并不是一种通用的方法.策略一、策略二尽管过程较繁琐，但是，这两类方法却代表了解答这类题型的通法.所以，以上三种解题方法并不能说哪种最好，哪种最不可行，到底用哪种方法，那就要在以上三种方法都掌握了的基础上，具体问题具体分析了.
【 举一反三】
6．函数＝的大致图象是(　　)
7.若不等式在∈(1,2)内恒成立，求实数的取值范围.
四、比较大小问题
例5.设a＝，＝，＝，则a，，的大小关系是(　　)
A．a＜＜ B．＜a＜
C．＜a＜ D．＜＜a
解析：由于函数＝在它的定义域R上是减函数，∴a＝>＝>0.由于函数＝在它的定义域R上是增函数，且>，故有＝>＝，故a，，的大小关系是＜a＜，故选B项.
点评：比较大小的常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小，比如例4．
【 举一反三】
8.设函数f(x)＝(a＞0且a≠1), ＝4,则 ( )
A.＞ B.＞
C.＞ D. ＞
9．如图是指数函数①＝，②＝，③＝，④＝的图象，则a、、、与1的大小关系是________.
10.已知a=，=，=，则a，，的大小关系为（ ）
A. a＜＜ B. a＜＜
C.＜＜a D. ＜a＜
五、幂函数的性质
例6.函数f(x)＝是幂函数，且当∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
解：根据幂函数定义得，，解得＝2或＝1，
当＝2时，f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，
当＝1时，f(x)＝，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．
∴f(x)的解析式为f(x)＝.
点评：1.求解幂函数的解析式时，要明确幂函数的定义：形如 ，注意的系数为1，许多考查幂函数定义的题型都从“的系数为1”入手.其次，求解幂函数的解析式时往往要用到幂函数的性质，多位图像与单调性.
2.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“”这一等量关系，导致解题受阻.
【 举一反三】
11.已知幂函数f(x)＝，当＞1时，恒有f(x)＜，则a的取值范围是(　　)
A．（0,1） B．（－∞，1）
C．（0，+∞） D．（－∞，0）
12.设函数f(x)＝．
(1)画出函数＝f(x)的图象；
(2)讨论方程|f(x)|＝a的解的个数．(只写明结果，无需过程)
反思总结
1.指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
2.指数函数的性质及应用问题解题策略
(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．
3.对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
4.应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
5.对数函数性质的应用
对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如＝的复合函数的单调区间，其一般步骤为：(1)求定义域，即满足f(x)>0的的取值集合；(2)将复合函数分解成基本初等函数＝及＝f(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则＝为增函数，若一增一减，则＝为减函数，即“同增异减”.
6.解决对数函数综合问题应注意：
(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；
(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．
7.幂函数图象与性质的应用
(1)比较幂值的大小问题比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数．
若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．
(2)幂函数图象问题解题原则
解决幂函数图象问题，需把握两个原则：(1)幂指数a的正负决定函数图象在第一象限的升降；(2)依据图象确定幂指数a与0,1的大小关系，在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．
举一反三的参考答案
1.答案：
解析：由＝1＋，得＝－1，＝1＋＝1＋＝1＋＝.
2.答案：BC
解析：对于A项,，所以A项错误;
对于B项,，，所以B项正确;
对于C项,，所以C项正确;
对于D项,，，所以D项错误．
3.解：(1)∵＝a，∴＝＝－＝1－a.
＝＝＝＋
＝2＋＝2＋＝2a＋(1－a)＝.
(2) ＝lg 45＝＝(lg 9＋lg 10－lg 2)
＝(2lg 3＋1－lg 2)＝lg 3＋－lg 2
＝0.4771＋0.5－0.1505＝0.8266.
4.答案：(－∞，0]
解析：要使函数式有意义，则1－≥0，即≤1＝，因为函数＝在R上是增函数，所以≤0，故函数＝的定义域为(－∞，0]．
5.答案：B
解析：函数f(x)＝在R上是增函数，∵－1≤≤2，∴0≤||≤2，∴∈[0,2]，
∴≤f(t)≤，即≤f(t)≤2，∴函数的值域是.
6．答案：B
解析：易知函数＝是偶函数，其图象关于轴对称，在区间(0，＋∞)上是增函数，观察图象知B选项正确．
7.解：设，，要使当∈(1,2)时，不等式
恒成立，只需在(1,2)上的图像在图像的下方即可．
当0当a>1时，如图所示，
要使∈(1,2)时的图像在的图像下方，
只需，即(2－1)2≤，
所以loga2≥1.于是a≤2,
所以18.答案：A
解析：∵＝＝4,∴ ∴f(x)＝＝.又f(x)在R上是偶函数,在(0,+∞)上递增,而＝,＝, 且＞，∴＞.
9.答案：＜a＜1＜＜
解析：法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于轴，得＜a＜1＜＜.
法二：令＝1，由题图知＞＞＞，∴＜a＜1＜＜.
10.答案：A
解析：a=＜＜，=＞=2，＜＜=1，故＜＜1，所以a＜＜，故选A项.
11.答案：B
解析：当＞1时，f(x)＜恒成立，即＜1＝恒成立，因为＞1，所以－1＜0，解得a＜1.
12.解：(1)函数＝f(x)的图象如图所示：
(2)函数＝|f(x)|的图象如图所示：
①0＜a＜4时，方程有四个解；
②a＝4时，方程有三个解；
③a＝0或a＞4时，方程有二个解；
④a＜0时，方程没有实数解．