6.4.2 余弦定理-2020-2021学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册） 课件 （共16张PPT）

(共16张PPT)
第6章 平面向量及其应用
6.4.2 余弦定理
余弦定理
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余弦定理的描述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的两倍.符号语言：在ΔABC中，三个角A、B、C所对的边分别是，则有
适用范围：任意的三角形
结构特征：“平方”“乘积”“夹角”“余弦”
简单应用：等式中的三个边和一个角，四个元素可以做到“知三求一”
余弦定理
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余弦定理的应用
已知三角形的三边，求三角形的三个内角
——考什么
已知三角形的两边及一个角，求其他边和角
——怎么考
作为知识形态，放在选择题，填空题中考
作为工具形态，和其他知识点比如不等式、
向量结合考
勾股定理与余弦定理的联系:
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方与其中一个角之间的关系，因此勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
余弦定理
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余弦定理的证明
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为
【1】向量法
从而
如图，因为AC=AB+AC，
所以AC2=(AB+BC)2，即
AC2=AB2+BC2+2AB · BC=AB2+BC2+2|AB||BC|(cos180°-B)
同理，根据AB=AC+CB，BC=BA+AC，可以得到
余弦定理
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余弦定理的证明
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为
【2】解析法(建系法)
如图，以A为坐标原点，边AB所在直线为轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(,0),C(
)
所以
即
同理可证，
余弦定理
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余弦定理的证明
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为
【3】几何法
①当ΔABC为锐角三角形时，如图，过顶点C作
CD⊥AB于点D，则
在RtΔBCD中，由勾股定理得BC2=CD2+BD2，
即
同理可证，
余弦定理
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余弦定理的证明
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为
【3】几何法
②当ΔABC为直角三角形时，同理可证.
③当ΔABC为钝角三角形时，如图，过顶点C作CD⊥AB，交AB的延长线与点D，
则
在RtΔBCD中，由勾股定理得BC2=CD2+BD2，即
同理可证，
余弦定理
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余弦定理的应用
用余弦定理判断三角形的类型：
①如果，那么角是直角；
由此可知，余弦定理是用准确的量化关系去解决问题，即用边长去判断三角形的形状.
②如果，那么角是钝角；
③如果，那么角是锐角.
在ΔABC中，等式AC=AB+BC两边同乘AC，可得AC2=AB·AC+BC·AC
即得，所以
同理有
可用来判断三角形形状，求长度等等
余弦定理
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余弦定理的推论
其他常用的形式还有——
解三角形
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解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
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2
【1】已知三角形的三边解三角形
余弦定理在解三角形中的应用
①连续用余弦定理求出两角
②由三角形内角和定理求出第三个角
【2】已知两边和它们的夹角解三角形
①用余弦定理求出第三边
②用余弦定理求出第二个角
③由三角形内角和定理求出第三个角
忽视三角形的构成条件——两边之和大于第三边.
忽略构成三角形的条件
坑①
已知钝角三角形ABC的三边，求实数的范围.
【错解】∵，且ΔABC为钝角三角形，∴C为钝角
由余弦定理的推论得
∴ ，解得
又 ∵ 为三角形的边长，所以
【正解】∵，且ΔABC为钝角三角形，∴C为钝角
由余弦定理的推论得
∴ ，解得
由三角形两边之和大于第三边得解得，∴
在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为，且则角B的大小是多少？
题①
【解】由已知得∴
又∵0＜B＜180°，所以B=45°
在ΔABC中，若，且，则ΔABC是什么 三角形？
题②
【解】∵ ，∴
∴∠C为锐角，∵ ，所以角C为最大的锐角
∴ΔABC为锐角三角形
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别是，且，求的大小.
题③
——已知三边解三角形
【解】因为，
由余弦定理
根据余弦定理的推论可知，只要将三角形三边的长度或者三边长度的比值求出，就可以求出三个角的余弦值，从而求出三个角的大小.
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别是，且°，求.
题④
——已知两边及一角解三角形
【解】由余弦定理可得
°
∵
∴ ∴ 或
∵ 且0＜A＜180°，∴A=30°，B=180°-(A+C)=135°
∴ A=30°，B=135°，
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别是，且判断ΔABC的形状.
题⑤
——判断三角形的形状
【解】因为，化简得
由余弦定理得，所以
又因为0＜A＜180°，所以A=60°
因为
所以所以B-C=0°，即B=C
又因为A=60°，所以ΔABC为等边三角形.
THANKS
“
”