等差数列及其性质
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课件14张PPT。第一节 等差数列观察下列数列，指出它们的共同特征：
(1)2，5，8，11，…
(2)63，58，53，48，…
(3) 3，3，3，3，…
(4)活期存入10000元，年利率是0.72%，按照单利，5年内各年末本利和分别是10072，10144，10216，10288， 10360．
共同特征：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（一）等差数列的定义：1.等差数列：一般地，如果一数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列;这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。2.等差数列定义的符号语言：
an-an-1=d， ( n≥2 )，其中d为常数
（ an+1-an = d n∈N* ）练习：
(1)等差数列8，5，2，…，的第5项是_____;
(2)已知等差数列-5，-9，-13，… ,则d=____;
递推公式是 ; 通项公式是______.(3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，
递推公式是 ;-4-4an= -4n-1(3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;∵由等差数列的定义可得：a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
…
…
an-an-1=d (n>1)上述各式两边同时相加，得又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)dan-a1=(n-1)d叠加法（二）等差数列的通项公式：若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则
an=a1+(n-1)d注: 等差数列的通项公式中 ，an , a1 , n, d 这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个量 。 知三求一例题展示：例1. 在等差数列{an}中，
（1）已知a1=2，d=3，n=10，求an解：a10=a1+9d=2+9×3=29（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n解：∵21=3+(n-1)×2
∴n=10（3）已知a1=12，a6=27，求d解： ∵a6=a1+5d，即27=12+5d
∴ d=3（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1解：∵a7=a1+6d 8=a1+6×(-1/3)
∴a1=10例2.(1).求等差数列8，5，2，…，的第20项。解:(2). -401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？解：解得所以，这个数列的第100项是-401.已知数列 是等差数列，d是公差，则：
当d>0时， 为递增数列；
当d<0时， 为递减数列；
当d=0时， 为常数数列；（三）等差数列的增减性：例3. 已知数列 的通项公式为 ，其中p,q为常数，且 ，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判断 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看 是不是一个与n无关的常数它是一个与n无关的数，所以 是等差数列 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。（四）等差中项： 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后,这三个数就会成为一个等差数列：（1）2 ， ， 4 （2）-1， ，5
（3）-12， ，0 （4）0， ，032-60(4) 在等差数列{an}中a1-a5+a9-a13+a17=20,
则a3+a15=（ ）(3) 在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=100,
则a2+a8 =（ ）(2) 在等差数列{an}中，a2+a3+a10+a11=48,
则a6+a7 =（ ）例4.(1) 在等差数列{an}中，a2+a5+a8=18,
则a5 =（ ） 2440406 (重要性质) :
设 {an} 是等差数列,
若m+n=p+q 则 am+an=ap+aq 若m+n=2p 则am+an=2ap小结：（一）等差数列的定义；（二）等差数列的通项公式：（三）等差中项：（四）等差数列的增减性： (重要性质) : 设 {an} 是等差数列,
若m+n=p+q 则 am+an=ap+aq 若m+n=2p 则am+an=2ap
(1)2，5，8，11，…
(2)63，58，53，48，…
(3) 3，3，3，3，…
(4)活期存入10000元，年利率是0.72%，按照单利，5年内各年末本利和分别是10072，10144，10216，10288， 10360．
共同特征：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（一）等差数列的定义：1.等差数列：一般地，如果一数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列;这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。2.等差数列定义的符号语言：
an-an-1=d， ( n≥2 )，其中d为常数
（ an+1-an = d n∈N* ）练习：
(1)等差数列8，5，2，…，的第5项是_____;
(2)已知等差数列-5，-9，-13，… ,则d=____;
递推公式是 ; 通项公式是______.(3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，
递推公式是 ;-4-4an= -4n-1(3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;∵由等差数列的定义可得：a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
…
…
an-an-1=d (n>1)上述各式两边同时相加，得又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)dan-a1=(n-1)d叠加法（二）等差数列的通项公式：若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则
an=a1+(n-1)d注: 等差数列的通项公式中 ，an , a1 , n, d 这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个量 。 知三求一例题展示：例1. 在等差数列{an}中，
（1）已知a1=2，d=3，n=10，求an解：a10=a1+9d=2+9×3=29（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n解：∵21=3+(n-1)×2
∴n=10（3）已知a1=12，a6=27，求d解： ∵a6=a1+5d，即27=12+5d
∴ d=3（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1解：∵a7=a1+6d 8=a1+6×(-1/3)
∴a1=10例2.(1).求等差数列8，5，2，…，的第20项。解:(2). -401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？解：解得所以，这个数列的第100项是-401.已知数列 是等差数列，d是公差，则：
当d>0时， 为递增数列；
当d<0时， 为递减数列；
当d=0时， 为常数数列；（三）等差数列的增减性：例3. 已知数列 的通项公式为 ，其中p,q为常数，且 ，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判断 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看 是不是一个与n无关的常数它是一个与n无关的数，所以 是等差数列 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。（四）等差中项： 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后,这三个数就会成为一个等差数列：（1）2 ， ， 4 （2）-1， ，5
（3）-12， ，0 （4）0， ，032-60(4) 在等差数列{an}中a1-a5+a9-a13+a17=20,
则a3+a15=（ ）(3) 在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=100,
则a2+a8 =（ ）(2) 在等差数列{an}中，a2+a3+a10+a11=48,
则a6+a7 =（ ）例4.(1) 在等差数列{an}中，a2+a5+a8=18,
则a5 =（ ） 2440406 (重要性质) :
设 {an} 是等差数列,
若m+n=p+q 则 am+an=ap+aq 若m+n=2p 则am+an=2ap小结：（一）等差数列的定义；（二）等差数列的通项公式：（三）等差中项：（四）等差数列的增减性： (重要性质) : 设 {an} 是等差数列,
若m+n=p+q 则 am+an=ap+aq 若m+n=2p 则am+an=2ap