雪枫中学2012-2013学年高一第一次数学竞赛试题

雪枫中学2012-2013学年高一第一次数学竞赛试题
一．选择题（每一题只有一个正确的结果，每小题5分，共60分）
1. 下列各题中的与表示同一集合的是（Ｃ ）
Ａ．，
Ｂ．，
Ｃ．，
Ｄ．，
2. 数集中的不能取哪些数值（ Ｄ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3. ，下列不属于的是（Ａ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4. 设集合，与是的子集，若，就称集对为“好集”，那么所有“好集”的个数（　C　）
Ａ．7 Ｂ．8 Ｃ．9 Ｄ．10
5. 设，，，则等于（　Ｂ　）
Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．
6. 一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有（　Ｂ　）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
7. 若函数在第一象限是增函数，则（　Ｂ　）
Ａ．或 Ｂ． Ｃ．可以取任意实数 Ｄ．的值不存在
8. 函数的图象是（　Ｂ　）

9. 已知且，那么（　Ｄ　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10. 下列四个函数中，在上为增函数的是（　Ｃ　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11. 在区间上是递减，则的取值范围是（Ｂ　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ．　 Ｄ．
12. 设，则的值为（　Ｂ　）．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 给定映射，在映射下，若对应，则函数的顶点坐标是　　　　　　．
14. 设，，若，
则　　　　　　．
15. 设全集，，，则_____．
16. 函数的定义域是，则函数的定义域是　　．
.三、解答题（10+12+12+12+12+12，共70分）
17. 已知，求（1）的值；（2）函数的解析式．
解：
18. 设全集，，，求实数的值．
解：由题：，，即．解得或．
又，有．解得或．．
19. 已知函数．
⑴当满足什么条件时，是奇函数？
⑵当满足什么条件时，是偶函数？
解：⑴的定义域为，要使是奇函数，必须有，即
恒成立，
所以解得．
⑵仿⑴的方法，得．
20. 已知由实数组成的集合满足：若，则．（1）设中含有3个元素，且，求；（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由．
解：（１）即，即，；
（２）假设中仅含一个元素，不妨设为，则，有，又中只有一个元素，，即，此方程即方程无实根；不存在这样．
21.用单调性定义证明：函数在上为增函数．
证明：在上任取、，且<，
而
因为，可知，， ， ，
则 所以
所以函数在上为增函数．
22．当时，求函数的最小值。
解：对称轴
当，即时，是的递增区间，；
当，即时，是的递减区间，；
当，即时，。
综上所述: