沪科版数学九年级上册 22.2 相似三角形的判定 课件（共66张）

(共66张PPT)
相似三角形的判定
学习目标
1.理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应角和对应边；
2.会用三角形一边的平行线的判定定理进行计算和作比较简单的证明；
3.通过复习前面所学过的有关知识，加深对定理的理解，提高利用已学知识证明新命题的能力，并在探索相似三角形条件的过程中，培养有条理的分析和推理能力。
复习回顾
1.四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？
2.四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？
3.什么样的两个多边形是相似多边形？
4.什么是相似比（相似系数）？
1.不一定，如正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形；
2.不一定，如正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形；
3.两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。
4.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
引入新知
如图，△ABC与△A′B′C′相似。则图中的两个三角形记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”，“∽”叫相似符号。
C
A
B
B′
C′
A′
即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对应关系是唯一确定的，即A与A′、B与B′、C与C′分别对应。如果仅说“这两个三角形相似”，没有用“∽”表示的，则没有说明对应关系。
两个三角形相似，用相似符号表示时，与全等一样，应把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。
对于△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的定义，应有∠A= ∠A′，∠B= ∠B′，∠C=∠C′，
(三边对应成比例也可写成AB:BC:CA=A′B′:B′C′:C′A′）
相似三角形的对应关系
练习
1.已知△ABC∽△DEF，请指出所有的对应边和对应角，并分别指出它们的关系。
2.如果将上题中“△ABC∽△DEF”改为“△ABC与△DEF相似”，你还能指出它们的对应关系吗？
相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为k1，
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为k2，
练习
已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3，则△ABC与△DEF的相似比k1和△DEF与△ABC的相似比k2是否相等？如果不相等，k1和k2满足什么关系？如果AB=2，DE=2呢？
归纳
若将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为k1，
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为k2，一般
当且仅当这两个三角形全等时，才有k1=k2=1。
因此，三角形全等是三角形相似的特例。
类比猜想
1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？
2.是不是需要所有的对应边和对应角都相等？
3.猜想：两个三角形相似是不是也有简便的方法？
简析：1.两个三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS，直角三角形还有HL。
2.不需要所有的对应边和对应角都相等。
3.猜想：两个三角形相似也不需要所有的对应角和对应边长度的比相等。
探究论证
在△ABC中，D为AB上任意一点，如图所示。过点D作BC的平行线交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？
D
B
A
E
C
已知：在△ABC中，DE∥BC，
DE分别交AB，AC于D，E。
求证：△ADE∽△ABC。
1.根据相似多边形的定义，△ADE与△ABC相似必须满足哪些条件？
分析
由已知和上图可知，△ADE与△ABC相似必须有：∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C。
A
D
B
C
E
分析
A
D
B
C
E
2.已经具备哪些条件？为什么？还需要什么条件？
已有条件：∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ，还需要条件：
分析
A
D
B
C
E
3.解决这个问题的关键在哪里？怎么解决？
转化：将DE平移到BC上（可过点D作AC的平行线，交BC于F，则CF=DE）。运用定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例。即可得到 。
证明：
过点D作AC的平行线，交BC于F。
∵DE∥BC，DF∥AC，
因为四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC，
又∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC。
A
B
C
D
E
F
定理归纳
由以上探究过程你能得出什么结论？如果这条直线与三角形两边的延长线相交呢？如左图所示。
A
B
C
D
E
B
C
D
E
A
E
D
C
A
B
定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。
定理归纳
A
B
C
D
E
B
C
D
E
A
E
D
C
A
B
符号语言
在△ABC中，
若DE∥BC，（如图所示）
则△ADE∽△ABC。
巩固练习
如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于点E。
（1）请写出图中相似的三角形；
（2）请由其中的一对相似三角形写出相应的比例式；
（3）请说明AE·BF与AD·BE是否相等？
F
A
B
C
D
E
简析
（1）△EBF∽△EAD，△CDF∽△BEF，△EAD∽△DCF；也可写成
△EBF∽△EAD∽△DCF。
（3）由（2）中比例式化成乘积式可得AE·BF=AD·BE。
（2）举一例：在△EBF∽△EAD中 有 。
F
A
B
C
D
E
小结
讲述了相似三角形的有关概念，然后通过探究得出“三角形一边的平行线截三角形两边或其延长线所得的三角形与原三角形相似”这一判定定理。三角形一边的平行线的判定定理不仅可以直接用来证明有关的三角形相似的问题，而且是证明其他三个判定定理的主要依据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的预备定理。熟练掌握这一定理对后面三个定理的证明至关重要。
学习了哪些思想方法？
类比和转化的思想，作辅助线的方法。
补充练习：如图，△ABC中BD是角平分线，过点D作DE∥AB交BC于E，AB=5cm，
BE=3cm，求EC的长。
A
B
C
D
E
回顾
1.根据相似多边形的定义，你知道什么样的两个三角形相似吗？
满足条件：（1）对应角相等；（2）对应边成比例。满足以上两个条件的两个三角形是相似三角形。
A
B
C
B′
C′
A′
2.请同学们画图表示相似三角形判定定理的预备定理。
DE∥BC
△ADE∽△ABC
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
课堂活动：
已知在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′。求证：△ABC∽△A′B′C′。
D
E
A′
B′
C′
A
B
C
在△ABC的边AB（或延长线）上截AD=A′B′。过点D作BC的平行线DE交AC于点E，则有：
△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B，∠B=∠B′
∴∠ADE=∠B′
又∵∠A=∠A′，AD=A′B′
∴△ADE≌△A′B′C′(ASA)
∴△A′B′C′∽△ABC
证明：
定理1：
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（可简单说成：两个角分别相等的两个三角形相似）
想一想：
1.△ABC和△A′B′C′中，∠A=80°、∠B=40°、∠A′=80°、∠C′=60°，那么这两个三角形相似吗？
2.等边三角形都相似吗？
3.一个锐角对应相等的两个直角三角形相似吗？
4.有一个内角对应相等的两个等腰三角形相似吗？
5.各有一个内角为100°的两个等腰三角形相似吗？
练一练：
写出图中的相似三角形：
（1）条件：DE∥BC
EF∥AB
（2）条件：
∠A=36°
AB＝AC
BD平分∠ABC
（3）条件
∠ACB=90°
CD⊥AB于D
△ADE∽△ABC∽△EFC
△ABC∽△BDC
△ACB∽△ADC∽△CDB
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
36°
例题欣赏：
如图C是线段BD上的一点，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥EC
求证：△ABC∽△CDE。
E
A
1
B
C
D
2
证明：
∵AB⊥BD、ED⊥BD∴∠ABC=∠CDE=90°
∴∠1+∠A=90°
∵AC⊥EC ∴∠1+∠2=90°∴∠A=∠2
∴△ABC∽△CDE
能力与提高
如图所示：已知Rt△ABC和Rt△DEF不相似，其中∠C、∠F为直角。能否将两个三角形分别分成两个三角形，使ABC所分成的两个三角形与DEF所分成的两个三角形分别对应相似？
请设计出一种分割方案。
A
B
C
D
E
F
提示1：将一个三角形分割成两部分，有几种可能形式？
①一种不经过三角形顶点的直线分割；
②一种经过其中一个顶点的直线分割。
提示2：经过一个内角的顶点的直线分割时，其他两个角有无变化？
其他内角不变，因此这两个三角形都进行直线分割时，就余下四个内角。
A
B
C
D
E
F
1
2
N
M
方法：
在△ABC中，作∠1=∠E，交AB于点N，在△DEF中，作∠2=∠B，FM交DE于点M，则△ANC∽△FME、△BCN∽△FDM。
证明：在△ACN和△FME中，
∵∠1=∠E，∠B=∠2
∴△CAN∽△EFM
∵∠ACB=∠DFE=90°∠A+∠B=90°∠D+∠E=90°
又∵∠1+∠NCB=90°∠2+∠EFM=90°
∴∠D=∠NCB ， ∠B=∠2 ∴△BCN∽△FDM
∴直线CN、FM就是所求的分割线。
小结：
两个角分别相等的两个三角形相似。
类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
问题
探究
探究1
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C'，使
∠A=∠A’， 和 都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？
另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？
等于k
∠B=∠B'
∠C=∠C'
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法：
改变k的值具有相同的结论。
A'
B'
C'
A
B
C
∠A=∠A'
△ABC∽△A'B'C'
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，请你自己证明这个结论。
已知：如图，在△A'B'C'和△ABC中，∠A'=∠A，A'B'：AB＝A'C'：AC，求证：△A'B'C'∽△ABC。
证明：在△ABC的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，连结DE，因∠A'=∠A，这样△A'B'C'≌△ADE。
∴DE//BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A'B'C'∽△ABC
A'
B'
C'
A
B
C
D
E
对于△ABC和△A'B'C'，如果∠B＝∠B'，
，这两个三角形一定相似吗？试着画画看。
？
思
考
不一定相似
探究2
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同样的结论。
如图在△ABC和△A'B'C'中，
求证：△ABC∽△A'B'C'
这两个三角形是相似的
证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D＝AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E，根据前面的结论可得△A'DE∽△A'B'C'。
A'
B'
C'
D
E
A
B
C
同理DE＝BC
∴△A'DE≌△ABC
∴△ABC∽△A'B'C'
要证明△ABC∽△A'B'C'，可以先作一个与△ABC全等的三角形，证明它与
△A'B'C'相似，这里所作的三角形是证明的中介，把△ABC与△A'B'C'联系起来。
由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法：
A'
B'
C'
A
B
C
△ABC∽△A'B'C'
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
例1 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，
∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm。
（2）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，
A'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝21cm。
又∠A=∠A'
∴△ABC∽△A'B'C'
△ABC与△A‘B’C‘的三组对应边的比不等，它们不相似。
两个三角形的相似比是多少？
要使两三角形相似，不改变AC的长，A'C'的长应当改为多少？
解：（1）∵∠A=∠A
∴当∠B=∠D时，
△ABC∽△ADE
例2 如图，BC与DE相较于点O。问：
（1）当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE？
（2）当AC∶AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE？
（2）∵∠A=∠A，
∴当AC∶AE=AB∶AD时，
△ABC∽△ADE
B
D
C
A
E
O
例3 如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，为什么？
1.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）∠A=40°，AB=8，AC=15；
∠A' =40°，A' B' =16，A' C' =30。
（2）AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm；
A' B' =16cm，B' C' =12.8cm，A' C' =25.6cm。
练习
∠A=∠A'
∴△ABC∽△A'B'C'
∴△ABC∽△A'B'C'
2.图中的两个三角形是否相似？
15
25
20
27
45
40
A
B
C
D
E
45
54
36
30
解：(1)∠ACB=∠ECD
∴△ACB∽△ECD
对应边的比不相等
∴图中两个三角形不相似
3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？
设另外两条边长分别为x，y。
3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？
设另外两条边长分别为x，y 。
3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？
设另外两条边长分别为x，y 。
相似三角形的判定方法有几种？
小结
1.定义判定法
2.定理1(AA)
3.定理2(SAS)
比较复杂，烦琐
两角对应相等的三角形相似
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
4.定理3(SSS)
三边对应成比例的两个三角形相似。
复习提问
1.到目前为止我们总共学过几种判定两个三角形相似的方法？
（1）两角对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边对应成比例的两个三角形相似。
2.判定两个直角三角形相似有几种方法？
一个锐角对应相等或两直角边对应成比例。
课堂练习
填空：（填相似或不相似）
1.一个三角形有两个角分别是60°和35°，另一个三角形的两个角分别是60°和85°，那么这两个三角形 。
2.一个三角形的三边分别是3、4、5，另一个三角形的三边分别是6、8、10，那么这两个三角形
。
相似
相似
例4 如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°， 。判断Rt△ABC和Rt△A’B’C’是否相似，为什么？
Rt△ABC∽Rt△A' B' C'
直角三角形相似的判定定理：
一直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
例5 如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=a，AC=b。问：当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ABC∽△CDB？
解：∵∠ABC=∠CDB=90°
问：若改为△ABC∽△BDC，结果如何？
∽
练习一
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠C=∠C′=90°。依据下列各组条件判定这两个三角形是不是相似，并说明为什么。
1.∠A=25°，∠B′=65°；
2.AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8；
3.AB=10，AC=8，A′B′=15，B′C′=9。
练习二
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠C=∠C′=90°。要使Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，应加什么条件？
1.∠A=35°，∠B′=________。
2.AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′= 。
3.AB=5，AC=___，A′B′=10，A′C′=6。
4.AB=10，BC=6，A′B′=5，A′C′=______。
5.AC∶AB=1∶3，A′C′=a，A′B′=_____。
55°
12
3
4
3a
反思
如何判定两个直角三角形相似呢？
一个锐角对应相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似。
谢 谢