2021-2022学年北师大版八年级数学上册1.3勾股定理的应用 期末综合复习训练 （Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》期末综合复习训练（附答案）
1．如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（　　）
A．10米 B．16米 C．15米 D．14米
2．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
3．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（　　）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
4．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（　　）
A．115cm B．125cm C．135cm D．145cm
5．如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（　　）
A．3+8 B．10 C．14 D．无法确定
6．我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）
A． B．8 C． D．
7．一根长18cm的牙刷置于底面半径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的值不可能是（　　）
A．3cm B．πcm C．6cm D．8cm
8．如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（　　）
A．10米 B．15米 C．16米 D．20米
9．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸DC的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C，D两点的距离为500m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为（　　）
A．1000m B．1200m C．1300m D．1700m
10．如图，公园里有一块草坪，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（　　）
A．24平方米 B．36平方米 C．48平方米 D．72平方米
11．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要　 　米．
12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为　 　米．
13．如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为8cm，底面半径为cm，那么最短的路线长是　 　．
14．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高BD为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为　 　cm．
15．一个底面周长为10cm，高为12cm的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是　 　cm．
16．如图，要从A点（圆柱底面一点）环绕圆柱形侧面，建梯子到A点正上方的B点，若圆柱底面周长为12m，高AB为5m，则所建梯子最短需　 　m．
17．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要　 　cm．
18．如图，有一个长方体的长，宽，高分别是 6，4，4，在底面A处有一只蚂蚁，它想吃到长方体上面B处的食物，需要爬行的最短路程是　 　．
19．如图，圆柱形玻璃杯高为13cm，底面周长为40cm，在杯内壁离底1cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁到内壁B处的最短距离为　 　．
20．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C为2cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是　 　．
21．如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
22．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
23．如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．
24．如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积．
25．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
参考答案
1．解：由题意得BC＝6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝＝10米．
所以大树的高度是10+6＝16米．
故选：B．
2．解：设水深为h，则红莲的高h+1，且水平距离为2m，
则（h+1）2＝22+h2，解得h＝1.5．
故选：B．
3．解：由题意得，
路径一：AB＝＝；
路径二：AB＝＝5；
路径三：AB＝＝；
∵＞5，
∴5为最短路径．
故选：C．
4．解：展开图为：
则AC＝100cm，BC＝15×3+10×3＝75cm，
在Rt△ABC中，AB＝＝125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故选：B．
5．解：将点A和点B所在的两个面展开，
则矩形的长和宽分别为6和8，
故矩形对角线长AB＝＝10，
即蚂蚁所行的最短路线长是10．
故选：B．
6．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则x2＝62+22＝40，
所以x＝2，
所以风车的外围周长为4（BD+AC）＝4×（2+3）＝8+12．
故选：D．
7．解：∵将一根长为18cm的牙刷，置于底面半径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，12cm，
最长时等于牙刷斜边长度是：＝2cm，
∴h的取值范围是：（18﹣2）≤h≤（18﹣12），
即2＜（18﹣2）≤h≤6．
故选：D．
8．解：如图，
建立数学模型，两棵树的高度差AC＝19﹣10＝9米，间距AB＝DE＝12米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC＝＝15米．
故选：B．
9．解：作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，连接A′B′，连接PA，过A'作A'B'⊥BD于B'，
则PB+PA＝PB+PA′＝BA′最短，故牧童应将马赶到河边的P地点．
∴B'D＝A'C＝CA＝500m，
∴BB′＝BD+BD′＝700+500＝1200（m），
∵A'B'＝CD＝500m，
∴BA'＝＝＝1300（m）．
即牧童至少要走的距离为1300m，
故选：C．
10．解：则由勾股定理得AC＝5米，因为AC2+DC2＝AD2，所以∠ACD＝90°．
这块草坪的面积＝SRt△ABC+SRt△ACD＝AB BC+AC DC＝（3×4+5×12）＝36米2．
故选：B．
11．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝4，
∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是3+4＝7米．
故答案为7．
12．解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52＝（x+1）2，解得x＝12m．
13．解：连接AB，
∵圆柱的底面半径为cm，
∴AC＝×2 π ＝6（cm），
在Rt△ACB中，AB2＝AC2+CB2＝36+64＝100，
∴AB＝10cm，即最短的路线长是10cm；
故答案为：10cm．
14．解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为10cm，
则AD＝10×＝5（cm）．
又因为BD＝AC＝12cm，
所以DC＝＝＝13（cm）．
故蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为13cm．
故答案为：13．
15．解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．
由题意，得AC＝10÷2＝5，BC＝12，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝＝13cm．
故答案为：13．
16．解：把圆柱的侧面展开得到矩形ABCD，
则AC＝12m，BC＝5m，
由勾股定理得，AB＝＝13m，
故答案为：13．
17．解：将长方体展开，连接A、B′，
∵AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，AB′＝＝10cm．
故答案为：10．
18．解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是8和6，
则所走的最短线段是＝10；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和4，
所以走的最短线段是＝2；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和4，
所以走的最短线段是 ＝2；
三种情况比较而言，第一种情况最短．
故答案为：10．
19．解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝25（cm）．
故答案为25cm．
20．解：把右侧面展开到水平面上，连接AB，如图1，AB＝＝＝2（cm）；
把右侧面展开到正面上，连接AB，如图2，AB＝＝＝4（cm）；
把向上的面展开到正面上，连接AB，如图3，AB＝＝＝2（cm）．
所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为4cm．
故答案为4cm．
21．解：设AB＝x，则AC＝x+1，
由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5，
∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
22．解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设设AE＝xkm，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）km．
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处．
23．解：Rt△ABC中，∠B＝90°，
设BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）
则10+a＝x+b＝15（m）．
∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2＝b2，
∴（10+x）2+52＝（15﹣x）2，
解得，x＝2，即AD＝2（米）
∴AB＝AD+DB＝2+10＝12（米）
答：树高AB为12米．
24．解：连接AC，
已知，在直角△ACD中，CD＝9m，AD＝12m，
根据AD2+CD2＝AC2，可以求得AC＝15m，
在△ABC中，AB＝39m，BC＝36m，AC＝15m，
∴存在AC2+CB2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可，
S＝S△ABC﹣S△ACD＝AC BC﹣CD AD，
＝×15×36﹣×9×12，
＝270﹣54，
＝216m2，
答：这块地的面积为216m2．
25．解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：＝24米；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，
根据勾股定理得：25＝，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．