(共33张PPT)
6.2.1 向量基本定理
第六章
2021
课标阐释
思维脉络
1.掌握共线向量基本定理,并会简单应用.(数学抽象)
2.理解平面向量基本定理,会用基底表示平面内任一向量.(数学运算)
3.能够灵活应用向量基本定理解决平面几何问题.(逻辑推理)
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
如图所示是一个放在斜面上的物体,它所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面压紧斜面的力F2,或者说重力G可以用物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面压紧斜面的力F2来表示.把一个向量在两个不同的方向,特别是两个互相垂直的方向上进行分解,是解决向量问题的一种十分重要的手段.你知道数学中是怎样解决此类问题的吗
【知识点拨】
知识点一:共线向量基本定理
1.共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得 b=λa .
在共线向量基本定理中:
(1)b=λa时,通常称为b能用a表示.
(2)其中的“唯一”指的是,如果还有b=μa,则有λ=μ.这是因为:由λa=μa可知(λ-μ)a=0,如果λ-μ≠0,则a=0,与已知矛盾,所以λ-μ=0,即λ=μ.
名师点析 对共线向量基本定理的理解
1.共线向量基本定理中条件“a≠0”必不可少,这是因为如果a=0,则一定有b与a共线(零向量与任意向量共线),此时b有两种情况:①b=0;②b≠0.若b=0,此时b=λa中的λ有无数个;若b≠0,此时不存在λ使得b=λa成立.这两种情况违背λ“存在且唯一”的特点.
2.由共线向量基本定理还能得到一个重要的结论:若两个向量a,b不共线,而λa=μb,则说明λ=μ=0.
2.三点共线的充要条件
如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数λ,使得
微判断
(1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ使b=λa.( )
(2)若b=λa,则a与b共线(其中λ为实数).( )
×
√
微练习
若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a= b.
微拓展
对于任意两个向量a,b,若存在不全为0的实数对(λ,μ)使λa+μb=0,则a与b共线.
知识点二:平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.
名师点析 对平面向量基本定理的理解
1.由共线向量基本定理可知,任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示,而且这种表示是唯一的.因此,平面向量基本定理是共线向量基本定理从一维到二维的推广.
2.平面向量基本定理包括两个方面的内容,一是存在性,二是唯一性.唯一性是指如果c=xa+yb=μa+vb,那么x=μ且y=v.
3.当a与b不共线时,xa+yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0.
2.基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a,b},常称为该平面上向量的一组基底,此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的分解式.
名师点析 对基底的理解
1.由平面向量基本定理知,平面内的任一向量都可用基底表示出来.因而可以“统一”各向量,便于研究向量问题.
2.基底不唯一,同一平面可以有不同的基底,且组成基底的向量不能共线(零向量不可以作为基底中的向量).同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.
微思考
(1)平面向量基本定理中的“不共线”能否去掉
提示 不能,两个共线向量不能表示平面内的任意向量,不能做基底.
(2)平面内的每一个向量都能用不共线的两个向量唯一表示吗
提示 是的,在平面内任一向量都可以用两个确定的不共线的向量线性表示,且这样的表示是唯一的.
微练习
若{e1,e2}是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A.{e1-e2,e2-e1}
C.{2e2-3e1,6e1-4e2}
D.{e1+e2,e1-e2}
答案 D
解析 e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基底,另外三组向量都共线,不能作为基底.
课堂篇 探究学习
探究一
向量共线问题
反思感悟 利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.
探究二
用基底表示向量
反思感悟 用基底来表示向量主要有以下两种类型
(1)直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解.
(2)若直接利用基底表示比较困难,可采用方程思想求解.
探究三
平面向量基本定理的应用
例3如图所示,在平行四边形ABCD中,F是CD的中点,AF与BD交于点E.求证:E为线段BD的一个三等分点.
分析
反思感悟 用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量作为基底;
(2)将相关的向量用基底表示,将几何问题转化为向量问题;
(3)利用向量知识进行向量运算,得到向量问题的解;
(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
当堂检测
答案 C
答案 ABD
答案 ①②③(共19张PPT)
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
第六章
2021
课标阐释
思维脉络
1.理解直线上向量的坐标的概念.(数学抽象)
2.掌握直线上向量的坐标运算及数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式.(数学运算)
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
首都北京的中轴线是世界上现存最长的城市中轴线,在北京700余年的建筑格局上,中轴线起着相当重要的作用,但是科学家们发现“中轴线”并不是“正南正北”的朝向,即它并没有和子午线重合.你知道科学家们是如何判断的吗
【知识点拨】
知识点一:直线上向量的坐标
给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得a=xe,此时,x称为向量a的坐标.
微思考
怎样理解a=xe
提示 x既能刻画a的模,也能刻画向量a的方向.
(1)|a|=|xe|=|x|;
(2)当x>0时,a的方向与e的方向相同;当x=0时,a=0;当x<0时,a的方向与e的方向相反.
知识点二:直线上向量的运算与坐标的关系
1.假设直线上两个向量a,b的坐标分别为x1,x2,且u,v是两个实数,则
(1)a+b的坐标为 x1+x2 ;
(2)ua+vb的坐标为 ux1+vx2 ;
(3)ua-vb的坐标为ux1-vx2.
2.数轴上两点之间的距离公式
设A(x1),B(x2)是数轴上两点,则AB= = |x2-x1| .
3.数轴上的中点坐标公式
设A(x1),B(x2)是数轴上两点,假设M(x)是线段AB的中点,则 .
名师点析 因为数轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去向量始点的坐标,所以对于任意两个相等向量,它们的方向相同且长度相等,因此终点坐标与始点坐标的差也一定相同,故它们的坐标相同.
微判断
×
√
√
微练习
已知数轴上两点A,B的坐标分别为4,-4,求:
(1)向量 的坐标,A,B之间的距离;
(2)线段AB的中点坐标.
课堂篇 探究学习
探究一
直线上向量的坐标运算
例1已知直线上向量a,b的坐标分别为3,-4,求下列向量的坐标.
(1)2a+b;(2)5a- b.
分析利用直线上向量坐标运算的法则解决.
解 (1)2a+b的坐标为2×3+(-4)=2.
反思感悟 直线上向量的坐标运算类似于初中数学上的代入求值问题,解题时要特别注意符号,以防出错.
探究二
数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式
例2已知A,B是数轴上的点,B(-2),且 的坐标为4.求:
(1)点A的坐标;
(2)线段AB的中点C的坐标.
分析利用数轴上两点之间的关系与中点坐标公式求解.
反思感悟 要熟记数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式,并清楚它们之间的区别.
延伸探究 若把本例条件改为“已知A,B是数轴上的点,A(2),B(-3)”,求A与B的距离及线段AB的中点坐标.
当堂检测
1.已知数轴上A,B两点的坐标分别为3,-6,则AB=( )
A.3 B.6 C.9 D.4
答案 C
解析 AB=|-6-3|=9.
2.已知直线上向量a,b的坐标分别为-1,3,则下列向量与a同向的是( )
A.a+b B.a-b C.a+2b D.3b
答案 B
解析 由题意,a+b的坐标为2,a+2b的坐标为5,3b的坐标为9,都与a反向,a-b的坐标为-4,与a同向.
3.在数轴上,与点M(-1)的距离是4的点的坐标为 .
答案 3或-5
4.设数轴上A,B的坐标分别是2,6,则AB的中点C的坐标是 .
答案 4(共31张PPT)
6.2.3 平面向量的坐标及其运算
第六章
2021
课标阐释
1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.(数学抽象)
2.理解向量坐标的概念,掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.(数学运算)
3.了解用坐标表示平面向量共线条件的推导过程,理解坐标表示的平面向量的共线条件.会用坐标表示的平面向量的共线条件解决问题. (数学抽象、数学运算)
思维脉络
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
在物理的学习中我们知道:飞机沿仰角为α的方向起飞的速度v,可分解为水平方向的速度vcos α和竖直方向的速度vsin α.
把一个向量分解到两个不同的方向,特别是两个互相垂直的方向,可使许多度量问题变得较为简单,这就是向量的正交分解.
有了向量的正交分解,向量就可用平面直角坐标表示,从此向量的计算就转化为坐标的代数运算.本节我们就学习向量的正交分解和向量的坐标表示.
【知识点拨】
知识点一:平面向量的坐标
1.向量垂直:平面上的两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互相垂直,我们就称向量a与b垂直,记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直.
2.正交分解:如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底为
正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.
3.向量的坐标
一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y).
名师点析 1.在平面直角坐标系中,向量和坐标是一一对应关系
由此可见,在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.
2.向量的坐标的注意点
(1)向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.如果向量是以坐标原点为始点的,则向量的坐标就与其终点的坐标相同;如果向量不以坐标原点为始点,则向量的坐标就与其终点的坐标不同.
(2)向量a的坐标(x,y)既能刻画向量a的模,同时也能刻画向量a的方向.
(3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形.
微思考1
向量的正交分解与平面向量基本定理有何联系
提示 正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时).
微思考2
点的坐标与向量的坐标有何区别与联系
提示 (1)表示形式不同,向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.
(2)意义不同,点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外,(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量a=(x,y).
(3)联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
微练习
给出下列说法:
①相等向量的坐标相同;
②平面上一个向量对应平面上唯一的坐标;
③一个坐标对应唯一的一个向量;
④平面上一个点的坐标与以原点为始点,该点为终点的向量对应.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 ①②④正确.③中一个坐标对应无数个向量.
知识点二:平面上向量的运算与坐标的关系
1.向量加法与减法运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),u,v是两个实数,则
(1)ua+vb= (ux1+vx2,uy1+vy2) ;
(2)ua-vb= (ux1-vx2,uy1-vy2) .
3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,则
4.向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b x2y1=x1y2.
名师点析 描述两向量共线的三种方法
1.几何表示法:若非零向量a与b共线,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.它体现了向量a与b的大小及方向之间的关系.
2.代数表示法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则当a与b共线时x2y1=x1y2.用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数λ,从而减少了未知数的个数,而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.
3.比例形式表示法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则当a与b共线时, (x2,y2≠0).这种形式不易出现搭配错误,但有x2,y2≠0的限制.
微判断
(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.( )
(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.( )
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( )
(4)向量(2,3)与向量(-4,-6)同向.( )
×
√
×
×
微练习
A.4 B.8 C.0 D.2
答案 A
课堂篇 探究学习
探究一
求向量的模
例1设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|2a-b|等于( )
分析综合应用向量共线的坐标表示和向量的模求解.
答案 D
解析 由a∥b,得y=-4,b=(-2,-4),
∴2a-b=(4,8),∴|2a-b|=4 .故选D.
反思感悟 求向量的模的基本策略
变式训练1若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:
(1)向量a的模;
(2)与a平行的单位向量的坐标.
探究二
平面向量的坐标运算
例2(1)已知a+b=(1,3),a-b=(5,7),则a= ,b= .
分析(1)用加减消元法求a,b的坐标.
(2)方法一:设点M,N的坐标,用向量相等的坐标表示列方程求值.
(1)答案 (3,5) (-2,-2)
解析 由a+b=(1,3),a-b=(5,7),
所以2a=(1,3)+(5,7)=(6,10),所以a=(3,5),2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4),所以b=(-2,-2).
(2)解 (方法一)待定系数法
反思感悟 平面向量坐标的线性运算的方法
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及数乘向量的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
探究三
向量坐标运算的综合应用
(1)点P在第一、三象限角平分线上时λ的值;
(2)点P在第三象限内时λ的取值范围.
分析用λ表示点P的横、纵坐标→根据条件列方程或不等式→求解
反思感悟 1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一,实质是先将未知量设出来,建立方程(组)求出未知数的值.
2.坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求参数的值.
延伸探究 若本例条件不变,试求点P在第四象限时λ的取值范围.
当堂检测
答案 C
2.已知向量a=(2,4),b=(m,-1),若a与2a+b共线,则实数m的值为( )
答案 C
解析 由a=(2,4),b=(m,-1),则2a+b=(4+m,7),又因为a与2a+b共线,则2×7=4×(4+m),解得m=- .
3.(2020山东潍坊高一月考)已知向量a=(1,x+1),b=(x,2),若满足a∥b,且方向相同,则x= .
答案 1
解析 ∵a∥b,∴x(x+1)-2=0,解得x=1或x=-2.当x=1时,a=(1,2),b=(1,2)满足题意;当x=-2时,a=(1,-1),b=(-2,2),方向相反,不合题意.∴x=1.
答案 (3,2)
