(共33张PPT)
5.3.1 样本空间与事件
第五章
2021
课标阐释
1.了解随机现象、样本点和样本空间的概念.(数学抽象)
2.理解随机事件的概念,在实际问题中,能正确求出事件包含的样本点的个数,并会写出相应的样本空间.(数学运算)
3.明确随机事件发生的概率,并能直观判断两个事件概率的大小,培养学生的逻辑推理能力.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
我们都知道成语“杞人忧天”的故事,传说古代杞国有一个人总担心天会塌下来,于是整天吃不好饭,睡不好觉,后来有人用这个成语来比喻总是为没必要的事而担忧的人.你可曾想过:“明天太阳是否真的一定能够升起 ”事实上,我们没有必要为明天太阳是否升起而“杞人忧天”!那么应该如何来考虑呢
【知识点拨】
知识点一:现象的相关概念
1.随机现象(或偶然现象):一定条件下,发生的结果事先不能确定的现象.
2.必然现象(或确定性现象):一定条件下,发生的结果事先能够确定的现象.
微思考
随机现象有什么特点
提示 在相同的条件下多次观察同一现象,每次观察到的结果不一定相同,事先很难预料哪一种结果出现,但随机现象不是一种杂乱无章的现象,是有一定规律可循的.
知识点二:样本点和样本空间
1.随机试验(试验):在相同条件下,对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验).
2.样本点:随机试验中每一种可能出现的结果,都称为样本点.
3.样本空间:由所有样本点组成的集合称为样本空间.
名师点析 1.随机试验的三个特点
(1)可重复性:试验在相同条件下可重复进行;
(2)可知性:每次试验的可能结果不止一个,并且事先能明确试验所有可能的结果;
(3)不确定性:进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现,但必然会出现结果中的一个.
2.随机现象与随机试验的区别与联系
区别:随机现象与随机试验是两个不同的概念,随机现象属于现象,而随机试验是对随机现象进行的观察或实验.
联系:随机试验中包括观察随机现象的实验,两者的特征是相同的:(1)可以重复进行;(2)结果明确,且不止一种;(3)事先无法预料结果.
微练习
抛掷两枚骰子,点数之和为8所含的样本点有 个.
答案 5
解析 所含的样本点有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2).
微拓展
列举样本点及样本空间的基本方法
(1)列举法(枚举法、穷举法)
对于一些情境比较简单,样本点个数不是很多的试验,可以用列举法把样本空间写出来,只需一一列举即可得出随机事件所含的样本点.列举法适合比较简单的试验.注意列举时必须按一定顺序,做到不重不漏.
(2)列表法
列表法就是利用表格的形式列出所有可能的结果,通常用来解决试验中包含两个或两个以上的元素,且所有可能结果的数量不是很多的求解问题.表格的行与列分别代表不同的元素,根据试验的要求,直接在表格中标出相应的结果,这种方法直观、简捷、不易出错.常用的列表法是坐标系法.
(3)树形图法
树形图法是一种常用方法,适合用于较为复杂的问题中样本点数目的探求.
知识点三:随机事件
1.不可能事件、必然事件、随机事件
随机 事件 如果随机试验的样本空间为Ω,则随机事件A是Ω的一个非空真子集.若试验的结果是A中的元素,则称A发生(或出现等);否则,称A不发生(或不出现等).
必然 事件 每次试验中Ω一定发生,从而称Ω为必然事件.
不可能 事件 空集 不包含任何样本点,因此可以认为每次试验中 一定不发生,从而称 为不可能事件.
2.事件:一般地,不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件,通常用大写英文字母A,B,C,…来表示事件.特别地,只含有一个样本点的事件称为基本事件.
名师点析 对基本事件的理解
1.基本事件具有如下性质:①不能再分解的最简单的随机事件;②不同的基本事件不可能同时发生.
2.事件与基本事件的区别:基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件,而事件可以由若干个基本事件组成.
微思考
从集合的角度,你是如何理解随机事件的 举例说明.
提示 我们可以把随机事件理解为样本空间的子集.
如掷一枚骰子观察掷出点数的试验中,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}.若设A={2,4,6},则A Ω,A是Ω的一个子集,事件A表示“掷出偶数点”这一结果.若设B={5,6},则B Ω,B也是Ω的一个子集,事件B表示“掷出点数大于4”.
微判断
判断下列事件是不是随机事件.
(1)长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形.( )
(2)长度为2,3,4的三条线段可以构成一直角三角形.( )
(3)方程x2+2x+3=0有两个不相等的实根.( )
(4)函数 y=logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数.( )
解析 (1)为必然事件,(2)(3)为不可能事件,(4)为随机事件.
×
×
×
√
知识点四:随机事件发生的概率
事件A发生的概率通常用P(A)表示.
我们将不可能事件 发生的概率规定为0,将必然事件Ω发生的概率规定为1,即P( )= 0 ,P(Ω)= 1 .
对于任意事件A来说,显然应该有P( )≤P(A)≤P(Ω),即 0 ≤P(A)≤ 1 .
名师点析 事件发生的可能性越大,它的概率越接近1;反之,事件发生的可能性越小,它的概率越接近0,如图所示.
微练习
下列说法正确的是( )
A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为0.6,则比赛5场,甲一定胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈
C.小概率事件不可能发生,大概率事件必然要发生
D.气象台预报明天降水概率为90%,是指明天降水的可能性是90%
答案 D
课堂篇 探究学习
探究一
样本点与样本空间
例1(1)一个家庭有两个小孩,则样本空间Ω是( )
A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}
C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)} D.{(男,男),(女,女)}
(2)同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y,结果记为(x,y).
①写出这个试验的样本空间;
②求这个试验的样本点的总数;
③“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点
“x<3,且y>1”呢
④“xy=4”这一事件包含哪几个样本点 “x=y”呢
分析解答本题要根据日常生活的经验,逐个列出所要求的结果.
(1)答案 C
解析 两个小孩有男、女之分,所以(男,女)与(女,男)是不同的基本事件.故选C.
(2)解 ①Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3),(4,4)}.
②样本点的总数为16.
③“x+y=5”包含以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).
“x<3,且y>1”包含以下6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
④“xy=4”包含以下3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1).
“x=y”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
反思感悟 随机事件的结果是相对于条件而言的,要确定样本空间,(1)必须明确事件发生的条件;(2)根据题意,按一定的次序列出所有样本点.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
延伸探究 1将例1(2)中条件不变,改为求“x+y是偶数”这一事件包含哪些样本点
解 “x+y是偶数”包括两种情况,①x,y都是奇数;②x,y都是偶数,故“x+y是偶数”这一事件包含以下8个样本点:(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4).
延伸探究 2在例1(2)的条件下,“xy是偶数”这一事件是必然事件吗
解 当x,y均是奇数时,xy是奇数;当x,y中至少有一个是偶数时,xy是偶数,故“xy是偶数”这一事件是随机事件,而不是必然事件.
探究二
事件类型的判断
例2判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
(1)“在地球上抛一石块,下落”;
(2)“在标准大气压下,温度低于0 ℃时,冰融化”;
(3)“某人射击一次,中靶”;
(4)“如果a>b,那么a-b>0”;
(5)“掷一枚硬币,出现正面”;
(6)“导体通电后,发热”;
(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”;
(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”;
(9)“没有水分,种子能发芽”;
(10)“在常温下,焊锡熔化”.
分析根据在一定条件下必然事件必然发生,不可能事件不可能发生,随机事件可能发生也可能不发生判断.
解 事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可能事件;事件(3)(5)(7)(8)是随机事件.
反思感悟 事件类型的判断方法
要判定某事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的.其次再看它是一定发生,是不一定发生,还是一定不发生.一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
变式训练1下列事件中的随机事件为( )
A.若a,b,c都是实数,则a(bc)=(ab)c
B.没有水和空气,人也可以生存下去
C.抛掷一枚硬币,反面向上
D.在标准大气压下,温度达到60 ℃时水沸腾
答案 C
探究三
随机事件的概率
例3袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球.
(1)写出该试验的样本空间;
(2)用集合表示事件A:恰好摸出1个黑球和1个红球;事件B:至少摸出1个黑球;
(3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小.
分析(1)可以利用树形图写出;(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的样本空间和至少摸出1个黑球的样本空间;(3)根据两个集合包含样本点的个数直观判断两个事件概率的大小.
解 (1)用树形图表示所有的结果为:
所以该试验的样本空间为Ω={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de}.
(2)A={ac,ad,ae,bc,bd,be};
B={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be}.
(3)因为A事件发生时,B事件一定发生,也就是说B事件发生的可能性不会比A事件发生的可能性小,因此直观上可知P(A)≤P(B).
反思感悟 概率意义的理解
概率是事件固有的属性,可以通过大量重复的试验得到其近似值.但在一次试验中事件发生与否都是有可能的.
延伸探究 将该例中的第(2)小题改为用集合表示事件C:一定抽到c小球,则集合C怎么表示呢 并判断P(A)和P(C)的大小.
解 C={ac,bc,cd,ce},
所以从直观上看,P(A)> P(C).
变式训练2从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为 .
答案 4
解析 从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,则样本空间={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},其中(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)中三个数字之和为奇数.
当堂检测
1.下列现象是必然现象的是( )
A.某路口单位时间内通过的车辆数
B.n边形的内角和为(n-2)·180°
C.某同学在期末考试中数学成绩高于60分
D.一名篮球运动员每场比赛所得的分数
答案 B
2.先后抛掷2枚质地均匀的面值分别为五角、一元的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列试验包含3个样本点的是( )
A.“至少一枚硬币正面向上”
B.“只有一枚硬币正面向上”
C.“两枚硬币都是正面向上”
D.“两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上”
答案 A
解析 “至少一枚硬币正面向上”包括“五角正面向上,一元正面向上”,“五角正面向上,一元正面向下”,“五角正面向下,一元正面向上”,共3个样本点.
3.现有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1,2和3,现任取3面,事件“三面旗帜的颜色与号码均不相同”所包含的样本点的个数是 .
答案 6
解析 “三面旗帜的颜色与号码均不相同”的样本点有(1红,2黄,3蓝),(1红,2蓝,3黄),(1黄,2红,3蓝),(1黄,2蓝,3红),(1蓝,2黄,3红) ,(1蓝,2红,3黄),共6个.
4.写出下列试验的样本空间:
(1)甲、乙两队进行一场足球赛,观察甲队比赛结果(包括平局) ;
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件,观察其中次品数 .
答案 (1)Ω={胜,平,负} (2)Ω={0,1,2,3,4}(共34张PPT)
5.3.2 事件之间的关系与运算
第五章
2021
课标阐释
1.理解事件之间的关系与运算.(数学抽象)
2.了解互斥事件的概率加法公式.(数学抽象)
3.会用对立事件的特征求概率.(数学运算)
4.利用事件的关系将复杂事件转化为简单事件,提升转化与化归能力,培养逻辑推理、数学运算和数据分析的能力.(逻辑推理、数学运算、数据分析)
思维脉络
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
相传古代有一位国王,由于崇尚迷信,执行着一条奇特的法规:凡是死囚,在临刑前都要抽一次“生死签”,即在两张小纸条上分别写着“生”“死”的字样,由执法官监督,让囚犯当众抽签,如果抽到“死”签,则立即斩首;如果抽到“生”签,就认为这是神的旨意,应当场释放.有一次,国王决定处死一
个敢于“犯上”的大臣.他与几个心腹密谋,想出狠毒的计策,暗中嘱咐执法官,把“生死签”的两张都写成“死”字.这样,不管犯人抽到的是哪一张签,都是必死无疑.当执法官宣布抽签办法后,只见囚臣以极快的速度抽出一张签,并迅速塞进嘴里,等执法官反应过来,嚼烂的纸早已咽下去.执法官赶紧追问:“你抽的是‘生’字签还是‘死’字签 ”囚臣故作叹息说:“我听从神的安排,如果上天认为我有罪,那么这是咎由自取的苦果,我已咽下,只要看剩下的签是什么字就清楚了.”请问,囚臣为什么镇定自若
【知识点拨】
知识点一:事件之间的关系
事件之间 的关系 定义 表示法 图示
包含关系 一般地,如果事件A发生时,事件B一定发生,则称“A包含于B”(或“B包含A”) A B (或B A)
相等关系 如果事件A发生时,事件B一定发生;而且事件B发生时,事件A也一定发生,则称“A与B相等” A=B
名师点析 1.对包含关系的理解
(1)不可能事件记作 ,任一事件都包含不可能事件,即C (C为任一事件).
(2)事件A也包含于事件A,即A A.
(3)A B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充分条件,B 发生是A发生的必要条件.如果A B,则P(A)≤P(B).
2.对相等关系的理解
(1)两个相等事件总是同时发生或同时不发生.
(2)A=B A B且B A.A=B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充要条件.如果A=B,则P(A)=P(B).
微思考
集合间的关系与运算有哪些
提示 集合间的关系:包含A B,相等A=B;集合的基本运算:并集A∪B,交集A∩B,补集 UA.
微练习
掷一枚硬币三次,得到如下三个事件:事件A为3次正面向上,事件B为只有1次正面向上,事件C为至少有1次正面向上.试判断A,B,C之间的包含关系.
解 当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此A C,B C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此事件A与事件B之间不存在包含关系.综上所述,事件A,B,C之间的包含关系为A C,B C.
知识点二:事件的运算
1.和事件与积事件
事件 定义 表示法 图示
事件的 和(并) 给定事件A,B,由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) A+B (或A∪B)
事件的 积(交) 给定事件A,B,由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) AB (或A∩B)
名师点析 1.对事件的和(并)的理解
(1)按照定义可知,事件A+B发生时,当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生.
(2)不难看出,A (A+B)且B (A+B),因此P(A)≤P(A+B)且P(B)≤P(A+B),而且,直观上可知P(A+B)与P(A)+P(B)的大小关系为P(A+B)≤P(A)+P(B).
2.对事件的积(交)的理解
(1)按照定义可知,事件AB发生时,当且仅当事件A与事件B都发生.
(2)P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B).
2.互斥事件与对立事件
互斥 事件 定义 给定事件A,B,若事件A与B不能同时发生,则称A与B互斥
符号 AB= (或A∩B= )
图示
对立 事件 定义 给定样本空间Ω与事件A,则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件
表示法 A的对立事件一般记作
符号 B= ,A∩B= ,且A∪B=Ω
图示
3.互斥事件的概率加法公式
当A与B互斥(即AB= 时),有P(A+B)=P(A)+P(B).
推广:(1)一般地,如果A1,A2,…,An是两两互斥的事件,则
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
(2)P(A)+P( )=1.
名师点析 1.对互斥事件的理解
(1)任意两个基本事件都是互斥的, 与任意事件互斥.
(2)事件A与事件B互斥包含三种情况:①事件A发生,B不发生;②事件A不发生,B发生;③事件A不发生,B也不发生.注意与事件A+B进行区别.
2.对对立事件的理解
在一次试验中,事件A和它的对立事件只能发生一个,并且必然发生一个,不可能两个都不发生或两个都发生.
3.互斥事件与对立事件的联系
(1)如果A与B相互对立,则A与B互斥,但反之不成立,即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件.
(2)对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B是对立事件,则A+B是必然事件.
微练习1
已知事件A所含的样本点的个数为10,事件B所含的样本点的个数为8.
(1)若AB= ,则事件A +B所含的样本点的个数为 ;
(2)若事件AB含有6个样本点,则事件A+B所含的样本点的个数为 ;
(3)若A B,则A+B所含的样本点的个数为 ;
(4)若A B,则AB所含的样本点的个数为 .
答案 (1)18 (2)12 (3)10 (4)8
微练习2
某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4人或5人外出家访的概率;
(2)求至少有3人外出家访的概率.
解 (1)设派出2人及以下为事件A,派出3人为事件B,派出4人为事件C,派出5人为事件D,派出6人及以上为事件E,则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D,C,D为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知,P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.
(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下外出家访,由对立事件的概率可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
微拓展
1.事件的运算律
(1)交换律:A+B= B+A,AB=BA.
(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C),
(AB)C=A(BC).
(3)分配律:A(B+C)=AB+AC.
意义: “A,B至少有一个发生”的对立事件是“A,B均不发生”,“A,B均发生”的对立事件是“A,B至少有一个不发生”.
2.求复杂事件的概率的一般方法
(1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率,运用互斥事件的概率求和公式计算.即P(A1+A2+A3+…+An)
=P(A1) +P(A2)+P(A3)+…+P(An).
(2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( ),即运用逆向思维,特别是“至少”“至多”型题目,用间接法就显得较简便,即“正难则反”.
课堂篇 探究学习
探究一
互斥事件与对立事件的判定
例1已知某医院的急诊室有3名男医生和2名女医生,从中任选2名去参加培训.判断下列各对事件是不是互斥事件,是不是对立事件.并说明理由.
(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”;
(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”;
(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”;
(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”.
解 (1)是互斥事件,但不是对立事件.
理由:所选的2名医生中,“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”,它与“恰有2名男医生”不可能同时发生,所以是互斥事件,同时,不能保证其中必有一个发生,因为还可能选出“恰有2名女医生”,因此二者不对立.
(2)不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”,它们共同含有“1名男医生和1名女医生”,能够同时发生,因此不互斥也不对立.
(3)不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,这与“全是男医生”能够同时发生,因此不互斥也不对立.
(4)是互斥事件,也是对立事件.
理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,它与“全是女医生”不可能同时发生,但其中必有一个发生,故它们是互斥事件,“2名医生”包含“至少有1名男医生”“全是女医生”,故它们也是对立事件.
反思感悟 互斥事件和对立事件的判定方法
1.利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,熟知它们对事件结果的影响.
2.利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.
(1)若事件A与B互斥,则集合A∩B= ;
(2)若事件A与B对立,则集合A∩B= 且A∪B=Ω.
变式训练1把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥但不对立事件 D.以上答案都不对
答案 C
解析 “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.故选C.
探究二
互斥事件的概率
例2在数学考试中,小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率和小明考试及格(60分及60分以上)的概率.
分析利用互斥事件的概率加法公式求解.
解 分别记小明的考试成绩在90分以上(含90分),在80~89分,在70~79分,在60~69分为事件B,C,D,E,这四个事件是彼此互斥的.根据互斥事件的概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以上(含80分)的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.
小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
反思感悟 (1)当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率加法公式计算.
(2)使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)时,必须先判定A,B是互斥事件.
延伸探究 请求出小明在数学考试中取得70分以下成绩的概率.
解 小明在数学考试中取得70分以下成绩的概率
P=1-P(B)-P(C)-P(D)=1-0.18-0.51-0.15=0.16.
探究三
对立事件的概率
例3若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
答案 B
解析 设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4.
反思感悟 求对立事件概率的关注点
当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求对立面,然后转化为所求问题.
当堂检测
1.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A:两次都击中飞机,事件B:两次都没击中飞机,事件C:恰有一枚炮弹击中飞机,事件D:至少有一枚炮弹击中飞机,下列关系不正确的是( )
A.A D B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
答案 D
解析 “恰有一枚炮弹击中飞机”指“第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中”,“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况:一种是“恰有一枚炮弹击中”,一种是“两枚炮弹都击中”,所以A∪B≠B∪D.
2.若干个人站成一排,其中一定为互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾”
D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案 A
3.从1,2,3,…,9中任取两数,给出下列各组事件:
①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”;
②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”;
③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”;
④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”.
其中是对立事件的是 .(填序号)
答案 ③
解析 从1,2,3,…,9中任取两数,有以下三种情况:(1)两个奇数;(2)两个偶数;(3)一个奇数和一个偶数.所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生.
4.在不透明的盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球,从中摸出一个球,摸出黑球的概率为0.42,摸出黄球的概率为0.18,则摸出的球是白球的概率为 ,摸出的球不是黄球的概率为 ,摸出的球是黄球或黑球的概率为 .
答案 0.4 0.82 0.6
解析 摸出白球的概率为1-0.42-0.18=0.4;摸出的球不是黄球的概率为1-0.18=0.82;摸出的球是黄球或黑球的概率为0.18+0.42=0.6.(共35张PPT)
5.3.3 古典概型
第五章
2021
课标阐释
思维脉络
1.理解古典概型及其概率计算公式.(数学抽象)
2.会计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率.(数学运算)
3.通过古典概型概率的计算培养学生的数学运算与数学建模的能力.(数学运算、数学建模)
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
基因是指携带遗传信息的DNA或RNA序列,也称为遗传因子,是控制性状的基本遗传单位.以褐色的眼睛为例,每个人都有两种基因控制眼睛颜色,一种是显性基因(记为B),另一种是隐性基因(记为b);基因总是成对出现(如BB,bB,Bb,bb),而成对的基因中,只要出现了显性基因,那么这个人的眼睛为褐色(也就是说,“眼睛不为褐色”的充要条件是“成对的基因是bb”).假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb,则孩子眼睛不为褐色的概率有多大
【知识点拨】
知识点一:古典概型
1.古典概型的定义:一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型,简称为古典概型.
2.古典概型的判断标准
一个试验是否能归结为古典概型,在于这个试验是否具备古典概型的两个特征:有限性和等可能性,并不是所有试验都能归结为古典概型.
名师点析 下列三类试验都不是古典概型
(1)样本点个数有限,但不等可能;
(2)样本点个数无限,但等可能;
(3)样本点个数无限,也不等可能.
微思考
如何理解古典概型中每个基本事件发生的可能性大小都相等
提示 就是试验的每种结果出现的可能性是均等的.例如先后抛掷两枚均匀的硬币,共出现“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”这四种等可能的结果.如果认为只有“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果,那么显然这三种结果的发生不是等可能的.
微练习
下列对古典概型的说法,正确的是( )
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;②每个事件发生的可能性相等;③每个基本事件发生的可能性相等;④求用抽签法从含有3件次品7件正品的10件产品中任取一件为正品的概率为古典概型问题.
A.②④ B.①③④ C.仅①④ D.仅③④
答案 B
解析 根据古典概型的特点,即有限性与等可能性逐个分析即可.
知识点二:古典概型的概率公式
古典概型中,事件发生的概率可以通过下述方式得到:假设样本空间含有n个样本点,由古典概型的定义可知,每个基本事件发生的可能性大小都相等,又因为必然事件发生的概率为1,因此由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为 .此时,如果事件C包含有m个样本点,则再由互斥事件的概率加法公式可知P(C)= .
名师点析 古典概型的概率求解步骤
微思考
如何从集合的角度理解古典概型的概率公式
提示 如图所示,把一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I,其中每一个结果就是I中的一个元素,把含m个结果的随机事件A看作含有m个元素的集合,则随机事件A是集合I的一个子集,则有P(A)= .
微练习
从0,1,2,3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数,则这个两位数是偶数的概率为( )
答案 D
解析 能组成的两位数有10,12,13,20,21,23,30,31,32,共9个,其中偶数有5个,故组成的两位数是偶数的概率为 .
课堂篇 探究学习
探究一
古典概型的判断
例1某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环……命中5环和不中靶.你认为这是古典概型吗 为什么
分析紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行判断.
解 不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、命中9环……命中5环和不中靶的出现没有规定等可能的,即不满足古典概型的第二个条件.
反思感悟 只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型,这两个条件只要有一个不满足就不是古典概型.
变式训练1从所有整数中任取一个数的试验是古典概型吗
解 不是,因为有无数个样本点.
探究二
古典概型的概率计算
例2将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次底面的数字为x,第二次底面的数字为y,用(x,y)表示一个基本事件.
(1)请写出对应的样本空间;
(2)求事件“ 为整数”的概率;
(3)求事件“x-y<2”的概率.
解 (1)先后抛掷两次正四面体的样本空间为: Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样本点.
反思感悟 求古典概型的概率,关键是正确列出样本点,常见方法有列举法、列表法和树形图法,具体应用时可根据需要灵活选择,在列出样本点后最好检验一下各样本点出现的概率是否相同.根据事件C包含的样本点个数m及试验的样本点总个数n,再利用公式P(C) = 求出事件C发生的概率.
变式训练2在两个袋内,分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片,从每个袋中各任取一张卡片,则两张卡片上数字之和等于7的概率为 .
解析 样本空间可记为Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,0),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,0),(4,1),(4,2),
(4,3),(4,4),(4,5),(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},共包含36个样本点,记A:两张卡片上的数字之和等于7,则A={(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)},共包含4个样本点,所以
例3袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2;现从袋中任取两张卡片.
(1)若把所取卡片的所有不同情况作为样本点,则共有多少个样本点 是古典概型吗
(2)若把所取出卡片的标号之和作为样本点,则共有多少个样本点 是古典概型吗
(3)求所取卡片标号之和小于4的概率.
分析先写出样本空间,紧扣古典概型的特点加以判断,再用古典概型概率公式求相应概率.
解 (1)样本空间为Ω1={(红1,红2),(红1,红3),(红1,蓝1),(红1,蓝2),(红2,红3),
(红2,蓝1),(红2,蓝2),(红3,蓝1),(红3,蓝2),(蓝1,蓝2)},共10个样本点,由于样本点个数有限,且每个基本事件发生的可能性相等,所以是古典概型.
(2)由(1)知,样本空间Ω2={2,3,4,5},且每个基本事件出现的频数依次为1,4,3,2;故每个基本事件发生的可能性不同,不是古典概型.
(3)设A:所取两张卡片标号之和小于4,由(1)知,A={(红1,红2),(红1,蓝1),
(红1,蓝2),(红2,蓝1),(蓝1,蓝2)},共5个样本点,由古典概型概率公式得:
反思感悟 解决古典概型综合问题的两个关键点
(1)审读题干:对于实际问题要认真读题,深入理解题意,计算样本点总数要做到不重不漏,这是解决古典概型问题的关键.
(2)编号:分析实际问题时,往往对要研究的对象进行编号或者用字母代替,使复杂的实际意义变为简单的数字和字母,方便寻找对象间的关系,这是解决古典概型的问题时主要的解题技巧.
变式训练3有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座.
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率;
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率;
(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.
解 将A,B,C,D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来:
探究三
有放回抽取和无放回抽取的概率
例4口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球,求:
(1)从中任意摸出两个小球,摸出的是红球和白球的概率;
(2)从袋中摸出一个后放回,再摸出一个,两次摸出的球是一红一白的概率.
反思感悟 “放回”与“不放回”问题的区别
对于某一次试验,若采用“放回”抽样,则同一个个体可以被重复抽取,而采用“不放回”抽样,则同一个个体不可能被重复抽取.
延伸探究 若本例条件不变,求从袋中摸出一个球后放回,再摸出一个球,第一次摸出红球,第二次摸出白球的概率.
解 样本空间为{(红,红),(红,白),(红,黄),(白,白),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,黄),(黄,白)},共包含9个样本点.记A为“第一次摸出红球,第二次摸出白球”,A={(红,白)},只包含1个样本点,所以所求概率为 .
当堂检测
1.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
答案 D
解析 用数对(x,y)来表示抽得卡片的结果,则样本空间可记为:Ω={(x,y)|x,y=1,2,3,4,5},样本空间中共包含样本点总数n=25.
记A:抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数,则A={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共包含10个样本点,
2.古人认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成,如图,分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素,则2类元素相生的概率为( )
答案 A
解析 样本空间可记为Ω={(金,木),(金,水),(金,火),(金,土),(木,水),(木,火),(木,土),(水,火),(水,土),(火,土)},共10个样本点,记A:2类元素相生,则A={(木,火),(火,土),(木,水),(金,水),(金,土)},共5个样本点,所以2类元素相生的概率为 ,故选A.
3.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .
4.鞋柜内散放着两双不同的鞋,随手取出两只,恰是同一双的概率是 .
解析 设其中一双鞋分别为a,a',另一双鞋分别为b,b'.
画树形图如下.
由图可知样本空间包含12个样本点,其中事件“能配成一双”包含4个样本点,所以取出的两只鞋恰是同一双鞋的概率为(共33张PPT)
5.3.4 频率与概率
第五章
2021
课标阐释
1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.(数学抽象)
2.正确理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.(数据分析)
3.理解概率的意义以及频率与概率的区别.(逻辑推理)
4.通过该内容的学习,培养逻辑推理、数学运算和直观想象的能力.(数学运算、逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
小明设计了一个“配紫色”的游戏:右图是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形.同时转动两个转盘,如果转盘A的指针停到了红色区域,转盘B的指针停到了蓝色区域,那么就记为获胜,因为红色和蓝色混在一起就配成了紫色.怎么计算游戏者获胜的概率
【知识点拨】
知识点一:随机事件的概率
名师点析 随机事件发生的概率的求法
1.利用随机事件概率的定义,进行大量重复试验,寻找这个事件发生的频率的近似值.
2.一般是先求出频率,再根据频率的摆动情况估算出其概率.
微练习
在天气预报中,有“降水概率预报”,例如,预报“明天降水概率为78%”,这是指( )
A.明天该地区有78%的地区降水,其他22%的地区不降水
B.明天该地区降水的可能性大小为78%
C.气象台的专家中,有78%的人认为会降水,另外22%的专家认为不降水
D.明天该地区约有78%的时间降水,其他时间不降水
答案 B
解析 根据概率的意义“明天降水概率为78%”是指明天该地区降水的可能性大小为78%.故选B.
知识点二:频率与概率之间的关系
大数定律能够保证,在大量重复的试验过程中,一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率,而且,试验的次数越多,频率与概率之间差距很小的可能性越大.
名师点析 频率与概率的区别与联系
名称 区别 联系
频率 本身是随机的,在试验之前无法确定,随着试验次数的改变而改变,即使做同样次数的重复试验,得到的频率也可能会不同 在多次重复试验中,同一事件发生的频率在某一个常数附近摆动,频率会越来越接近概率,在大量重复试验的前提下,可将频率近似地作为这个事件的概率,在实际问题中,通常事件的概率是未知的,常用频率估计概率
概率 是[0,1]中的一个常数,不随试验结果的改变而改变,它是频率的科学抽象
微思考
“某彩票的中奖概率为 ”是否意味着买1 000张彩票就一定能中奖
提示 买1 000张彩票相当于做1 000次试验,结果可能是一次奖也没中,或多次中奖,所以“彩票中奖概率为 ”并不意味着买1 000张彩票就一定能中奖,这一数据只是一个理论上的可能性的大小.
微练习
一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是 .
答案 0.03
解析 这一年内汽车挡风玻璃破碎的频率为 =0.03,此频率值为概率的近似值.
课堂篇 探究学习
探究一
概率概念的理解
例1下列说法正确的是( )
A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两小孩,则一定为一男一女
B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖
C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1
答案 D
解析 一对夫妇生两小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确.
反思感悟 对概率的深入理解
1.概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件的本质属性,随机事件发生的概率是大量重复试验中事件发生的频率的近似值.
2.由概率的定义我们可以知道随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
3.正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
变式训练1某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明( )
A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B.该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C.合格率是99.99%,很高,说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
答案 D
解析 合格率是99.99%,是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小,即合格的概率.
探究二
概率与频率的关系及求法
例2下面是某批乒乓球质量检查结果表:
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品出 现的频率
(1)在上表中填上优等品出现的频率;
(2)结合表中数据估计该批乒乓球优等品的概率.
解 (1)
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品出 现的频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
(2)从表中数据估计这批乒乓球优等品的概率是0.95.
反思感悟 频率与概率的认识
1.理论依据:频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小,在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率.
3.得出概率:从频率估计出概率.
延伸探究 1例2中若抽取乒乓球的数量为1 700只,则优等品的数量大约为多少
解 由优等品的概率的估计值为0.95,可知抽取1 700只乒乓球时,优等品数量大约为1 700×0.95=1 615.
延伸探究 2例2中若检验得到优等品数量为1 700只,则抽取数量大约为多少
解 由优等品概率的估计值为0.95,可知抽取数量大约为1 700÷0.95≈1 789.
探究三
频率与概率的综合问题
例3某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等,试估计总体中男生和女生人数的比例.
分析(1)根据频率分布直方图求出样本中分数小于70的频率,然后利用频率估计概率;(2)计算出样本中分数在[40,50)内的人数,然后按比例求出总体中分数在此范围内的人数;(3)先求出样本中男女生的人数,然后利用样本比例估计总体比例.
解 (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为
100-100×0.9-5=5,所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为
400× =20.
(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为
60× =30.
所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.
所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.
反思感悟 统计知识中频率与概率的组合是近几年高考的热点,频率分布直方图、茎叶图等知识与概率知识结合在一起,成为命题的一种趋势,可用频率知识计算各小组频数.用古典概型的知识计算概率.
变式训练2对某校高一学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
[10,15) 10 0.25
[15,20) 25 n
[20,25) m p
[25,30] 2 0.05
合计 M 1
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高一学生有360人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20的学生中任选2人,请列举出所有基本事件,并求至多1人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率.
(3)由(1)知,所取样本中,参加社区服务的次数不少于20的学生共有3+2=5(人),设在区间[20,25)内的人为a1,a2,a3,在区间[25,30]内的人为b1,b2.
则任选2人,所有的基本事件为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10种情况,而两人都在[20,25)内共有(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),共3种情况, 至多1人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率为
当堂检测
1.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品,若用C表示抽到次品这一事件,则下列说法正确的是( )
答案 B
解析 由于只做了一次实验,故不能得出概率接近 或概率为 的结论,当然每抽10台电视机,必有1台次品也不一定发生.故选B.
2.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )
A.0.4,0.4 B.0.5,0.5
C.0.4,0.5 D.0.5,0.4
答案 C
解析 100次试验中有40次正面朝上,所以正面朝上的频率为 =0.4,因为硬币质地均匀,所以正面朝上和反面朝上的概率都是0.5.故选C.
3.某商品的合格率为99%,某人购买这种商品100件,他认为这100件商品中一定有1件是不合格的,这种认识是 的.(填“合理”或“不合理”)
答案 不合理
4.在一次试验中,一种血清被注射到500只豚鼠体内,最初,这些豚鼠中150只有圆形细胞,250只有椭圆形细胞,100只有不规则形状细胞,被注射这种血清之后,有圆形细胞的豚鼠都没有被感染,50只有椭圆形细胞的豚鼠被感染,有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染.根据试验结果,分别估计有圆形细胞、椭圆形细胞、不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率.
解 记“有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A,由题意知,A为不可能事件,所以P(A)=0.记“有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B,由题意知 .记“有不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C,由题意知事件C为必然事件,所以P(C)=1.(共36张PPT)
5.3.5 随机事件的独立性
第五章
2021
课标阐释
1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念.(数学抽象)
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.(数学运算)
3.综合运用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的乘法公式解决一些问题.(逻辑推理)
4.通过实际问题的解决提高数学建模及数据处理能力.(数学建模、数据分析)
思维脉络
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
有一道关于“三个臭皮匠,顶个诸葛亮”的题目,三个“臭皮匠”能答对该题目的概率分别为50%,47%,45%,“诸葛亮”能答对该题目的概率为85%.如果将三个“臭皮匠”组成一个团队与“诸葛亮”进行比赛,各选手独立答题,不得商量,团队中只要有一人答对即为该组获胜.问:哪方获胜的可能性大 为什么
【知识点拨】
知识点一:相互独立事件的定义和性质
1.定义:一般地,当P(AB)=P(A)P(B)时,就称事件A与B相互独立(简称独立).事件A与B相互独立的直观理解是,事件A是否发生不会影响事件B发生的概率,事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.
名师点析 1.两个事件是否相互独立的判断方法
(1)直观分析法:由事件本身的性质直观分析两个事件的发生是否相互影响;
(2)定义法:若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立;
2.互斥事件与相互独立事件
事件 相互独立事件 互斥事件
条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A,B同时发生,记作AB A与B互斥记作AB= (或A∩B= )
计算 公式 P(AB)=P(A)P(B) 若A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)
微思考1
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立吗
(2)必然事件与任何一个事件相互独立吗
提示 (1)相互独立.不可能事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.
(2)相互独立.必然事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.
微思考2
“三个事件A,B,C两两独立”与“三个事件A,B,C相互独立”一样吗
提示 不一样.三个事件A,B,C两两独立,是指A与B,B与C,A与C都是相互独立的,但在此条件之下,并不能说三个事件A,B,C相互独立.A,B,C相互独立的条件更严格一些,它要求三个事件中任何一个事件发生与否不影响另外任何一个事件发生的概率,三个事件中任何两个事件同时发生与否也不影响另外一个事件发生的概率.从充分必要条件的角度来看,“两两独立”是“相互独立”的必要条件,“相互独立”是“两两独立”的充分条件.
知识点二:独立事件的概率公式
1.事件“A,B相互独立”,是“P(AB)= P(A)P(B) ”的充要条件;
2.事件“A1,A2,…,An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.
名师点析 相互独立事件概率的求法
与相互独立事件A,B有关的概率的计算公式如表:
微练习1
在某道路A,B,C三处设有相互独立工作的交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的概率分别为 .某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为 .
微练习2
甲、乙两人投篮相互独立,且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3,则甲、乙两人各投篮一次,至少有一人命中的概率为 .
答案 0.58
解析 甲乙两人投篮相互独立,且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3,则甲乙两人各投篮一次,至少有一人命中的概率为P=1-(1-0.4)(1-0.3)=0.58.
课堂篇 探究学习
探究一
相互独立事件的判断
例1判断下列各对事件是不是相互独立事件.
(1)甲组有3名男生、2名女生;乙组有2名男生、3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;
(3)掷一枚骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
分析(1)利用相互独立事件的概念的直观解释进行判断;(2)计算事件“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与事件“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”的概率,再进行判断;(3)利用相互独立事件的定义判断.
反思感悟 判断事件是否相互独立常用的两种方法
(1)定义法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)P(B).
(2)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
变式训练1(1)下列各对事件中,A,B是相互独立事件的是( )
A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”,B=“第二次为反面”
B.袋中有2白、2黑的小球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B( )
A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥
答案 (1)A (2)A
解析 (1)A中,把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A与B相互独立;B中,是不放回地摸球,显然事件A与B不相互独立;C中,事件A,B为互斥事件,不相互独立;D中,事件B发生的概率受事件A是否发生的影响.故选A.
(2)向同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;向同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.故选A.
探究二
相互独立事件同时发生的概率
例2甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位,3人能被选中的概率分别为 ,且各自能否被选中互不影响.
(1)求3人同时被选中的概率;
(2)求3人中至少有1人被选中的概率.
分析(1)3个独立事件直接利用乘法公式计算;(2)(方法一)分别求1人被选中、2人被选中、3人被选中的概率,再用概率加法公式求解;(方法二)先求三人均未被选中的概率,再利用对立事件概率公式求解.
反思感悟 求相互独立事件同时发生的概率的步骤:
(1)首先确定各事件是相互独立的;
(2)其次确定各事件会同时发生;
(3)最后求每个事件发生的概率后再求其积.
探究三
相互独立事件的实际应用
例3(2020山东聊城高一检测)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值,假设所有电影是否获得好评相互独立.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的
概率.
分析(1)根据表格,得到总的电影部数,再计算出获得好评的第四类电影部数,从而得到答案;(2)记“从第四类电影中随机选取的1部获得好评”为事件A,“从第五类电影中随机选取的1部获得好评”为事件B,则所求事件为
解 (1)由题表知,电影公司收集的电影部数为140+50+300+200+800+510=2 000,获得好评的第四类电影部数为200×0.25=50,所以所求概率为 =0.025.
反思感悟 求复杂事件的概率一般可分三步进行
(1)列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们.
(2)理清各事件之间的关系,恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件.
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.
变式训练2在一个选拔节目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
当堂检测
1.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队每局获胜的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( )
答案 A
答案 A
3.若生产某种零件需要经过两道工序,在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01,0.02,每道工序生产废品相互独立,则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是 .(结果用小数表示)
答案 0.970 2
解析 由题意知,经过两道工序后得到的零件不是废品的概率
P=(1-0.01)×(1-0.02)=0.970 2.
4.甲袋中有8个白球,4个红球;乙袋中有6个白球,6个红球.从每袋中任取一个球,则取得同色球的概率为 . (共42张PPT)
5.4 统计与概率的应用
第五章
2021
课标阐释
思维脉络
1.通过实例进一步理解统计与概率的意义及应用.(数学抽象)
2.能用统计与概率的知识解决日常生活中的相关问题.(逻辑推理)
3.通过对实际问题的解决提升数学建模与数据分析的能力.(数学建模、数据分析)
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
诗云:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同.”对同一个问题,如果从不同的角度去思考,就会得到不同的解决办法.对日常生活和工农业生产中的一些实际问题,可以通过建立数学模型,用数学知识加以解决.建立概率模型不仅是社会生活中的热点,还是高中数学的难点,我们如何建立问题的相关概率模型求其概率呢
【知识点拨】
知识点一:统计的实际应用
1.随机抽样有简单随机抽样和分层抽样两种.其共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等,当总体的个体之间差异程度较小和总体中的个体数目较少时,常采用简单随机抽样;当已知总体由差异明显的几部分组成时,常采用分层抽样.
2.平均数、中位数、众数、百分位数与方差、标准差都是重要的数字特征,利用它们可对总体进行一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数、百分位数可描述总体的集中趋势,方差和标准差可描述波动大小.
名师点析 在对一些数据进行统计时,要根据数据的特点和统计结果的精确度选择合适的统计图表.如果需要根据图表了解各数据在某区间所占的概率,可以使用柱形图,例如统计一批产品中的优等品所占的频率;如果要了解数据的增减情况,可以采用折线图,例如统计一个人的成绩变化情况;如果要了解数据的全部信息,可使用茎叶图,例如篮球比赛的计分.
微判断
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( )
(2)一组数据的方差越大,说明这组数据越集中.( )
(3)频率分布直方图中,小矩形的面积越大,表示样本数据落在该区间的频率越大.( )
√
×
√
微练习
(多选题)乐乐家共有七人,已知今年这七人年龄的众数为35,平均数为44,中位数为55,标准差为19,则5年后,下列说法正确的是( )
A.这七人年龄的众数变为40 B.这七人年龄的平均数变为49
C.这七人年龄的中位数变为60 D.这七人年龄的标准差变为24
答案 ABC
解析 根据众数、平均数、中位数的概念得5年后,每人的年龄相应增加5,而标准差不变,所以这七人年龄的众数变为40;平均数变为49;中位数变为60;标准差不变,为19.故选ABC.
知识点二:概率的实际应用
1.频率是随机的,随着试验的不同而变化;概率是多次试验的频率的稳定值,是一个常数,不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.
2.概率是描述随机事件发生可能性大小的度量,它已经渗透到人们的日常生活中,成为一个常用的词汇,任何事件的概率是[0,1]内的一个数,它度量该事件发生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少发生,而大概率事件(概率接近1)则经常发生.
名师点析 1.古典概型概率的计算
关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m,再利用公式P(A)= 求解.有时需要用列举法把基本事件一一列举出来,在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.
2.解决概率问题要注意关注以下几点
(1)概率与频率的关系;
(2)互斥事件与对立事件概率公式的应用;
(3)掌握古典概型的概率公式P= (n为基本事件的总数,m为所求事件包含的基本事件个数);
(4)对于较复杂的古典概型的概率可借助于互斥事件或对立事件去求.
3.利用独立性解决复杂古典概型问题
对于一些较为复杂的古典概型问题,可以直接根据古典概型的概率计算公式求解,但这时样本空间中样本点较多,计算复杂.因此也可将问题转化,将事件分解为相互独立事件,然后根据相互独立事件同时发生的概率公式求解,这样可以简化计算过程.
微思考1
乒乓球比赛前,用抽签来决定谁先发球,抽签方法是从1~10这10个数中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法公平吗
提示 公平.
微思考2
某厂家声称自己的产品合格率为99%,市场质量管理人员抽取了这个厂家的3件产品进行检验,发现3件都不合格,厂家所声称的合格率可信吗
提示 不可信.
微练习
某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.则当天商店不进货的概率为 .
日销售量/件 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
课堂篇 探究学习
探究一
用样本的分布估计总体分布
例1下表是从某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料统计表.(单位:cm)
区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142)
人数 5 8 10 22 33
区间界限 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158]
人数 20 11 6 5
(1)根据统计表画出频率分布直方图;
(2)试估计这500名12岁男孩中身高低于134 cm的人数占总人数的百分比.
分析(1)先根据表中数据求出各组的频率,再画频率分布直方图;(2)试估计500名12岁男孩中身高低于134 cm的频率.
解 (1)根据表中数据列表如下.
分组 频数 频率
[122,126) 5 0.04
[126,130) 8 0.07
[130,134) 10 0.08
[134,138) 22 0.18
[138,142) 33 0.28
[142,146) 20 0.17
[146,150) 11 0.09
[150,154) 6 0.05
[154,158] 5 0.04
合计 120 1.00
画出频率分布直方图,如图所示.
反思感悟 总体分布中相应的统计图表主要包括:频率分布直方图、频率分布折线图等.通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体的相关信息.
变式训练1我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:m3),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3 m3的人数,说明理由;
(3)估计居民月均用水量的中位数.
解 (1)由频率分布直方图可知,月均用水量(单位: m3)在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,解得a=0.30.
(2)由(1)知,该市100位居民中月均用水量不低于3 m3的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3 m3的人数为300 000×0.12=36 000.
(3)设中位数为x m3.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,所以2≤x<2.5.
由0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04 m3.
探究二
数据的数字特征及直观表示与概率的结合
例2随着互联网的发展,移动支付(又称手机支付)越来越普遍,某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度,对15~65岁的人群随机抽样调查,调查的问题是:“你会使用移动支付吗 ”其中,回答“会”的共有n人.把这n人按照年龄分成5组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65].然后绘制成如图所示的频率分布直方图.其中,第1组的频数为20.
(1)求n和x的值;
(2)从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取6人,求从第1,3,4组分别抽取的人数;
(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人,求所抽取的2人来自同一个组的概率.
分析(1)根据频率分布直方图,结合第1组的频数,可求样本容量n;(2)按照分层抽样比进行分层抽样;(3)列出样本空间,根据古典概型的概率公式计算.
由10×(0.020+0.036+x+0.010+0.004 )=1,解得x=0.030.
(2)第1,3,4组频率之比为0.020∶0.030∶0.010=2∶3∶1,
(3)设第1组抽取的2人为A1,A2,第3组抽取的3人为B1,B2,B3,第4组抽取的1人为C.则从这6人中随机抽取2人的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,B1)(A1,B2),(A1,B3)(A1,C)(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C),(B2,B3),(B2,C),(B3,C)},共有15个样本点.
记A:“抽取的2人来自同一个组”,则A={(A1,A2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)},共4个样本点.
反思感悟 古典概型的实际应用
用古典概型概率的观点求随机事件的概率时,首先认为试验中出现的结果的可能性是相等的,其次是通过一个比值的计算来确定随机事件的概率.
变式训练2交通指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值,记交通指数为T,其范围为[0,10],分别有五个级别:T∈[0,2),畅通;T∈[2,4),基本畅通;T∈[4,6),轻度拥堵;T∈[6,8),中度拥堵;T∈[8,10],严重拥堵.在晚高峰时段(T≥2),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.
(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数;
(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;
(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个,求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.
解 (1)由频率分布直方图得:这20个交通路段中,轻度拥堵的路段有(0.1+0.2)×1×20=6(个),
中度拥堵的路段有(0.25+0.2)×1×20=9(个),
严重拥堵的路段有(0.1+0.05)×1×20=3(个).
(2)由(1)知,拥堵路段共有6+9+3=18(个),按分层抽样,从18个路段抽取6个,依次抽取的三个级别路段的个数分别为 ,即从交通指数在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.
(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A1,A2,抽取的3个中度拥堵路段为B1,B2,B3,抽取的1个严重拥堵路段为C1.则从这6个路段中任取2个路段的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1)},共15个样本点,记A:至少有1个路段为轻度拥堵的情况,则A={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1)},共9个样本点.
所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为
探究三
游戏的公平性问题
例3甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各伸出1只手中的若干根手指,若和为偶数则甲赢,否则乙赢.
(1)若用A表示事件“和为6”,求P(A);
(2)若用B表示事件“和大于4而小于9”,求P(B);
(3)这种游戏公平吗 试说明理由.
分析用一个有序实数对来表示“甲伸出的手指数和乙伸出的手指数”,并确定样本空间→分析所求事件包含的样本点的个数→求概率
解 将所有可能情况列表如下:
乙 甲
1 2 3 4 5
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
反思感悟 游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平,要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同.若相同,则规则公平,否则就是不公平的.
(2)具体判断时,可以先求出按所给规则双方各自的获胜概率,再进行比较.
变式训练3甲、乙两人用4 张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.
(1)设(i,j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2,乙抽到红桃3,记为(2,3)),方片4用4'表示,写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况;
(2)若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少
(3)甲、乙约定,若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜;否则,乙胜,你认为此游戏是否公平 请说明理由.
解 (1)方片4用4'表示,则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为(2,3),(2,4),(2,4'),(3,2),(3,4),(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4',2),(4',3),(4',4),共12种不同的情况.
(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4',因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的
当堂检测
1.为了了解某校高一学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高一学生的视力情况,得到频率分布直方图如图所示,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数和为62,视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为( )
A.64
B.54
C.48
D.27
答案 B
解析 [4.7,4.8)的频率为0.32,[4.6,4.7)的频率为
1-(0.62+0.05+0.11)=1-0.78=0.22,
所以a=(0.22+0.32)×100=54.
2.如图所示,茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
答案 C
4.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获收益12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果.
试估计该公司一年后可获收益为 元.
投资成功 投资失败
192例 8例
答案 4 760
解析 设可获收益为x万元,如果成功,x的取值为5×12%,如果失败,x的取值为-5×50%.(共25张PPT)
章末整合
第五章
2021
知识网络 系统构建
题型突破 深化提升
专题一
统计图表的应用
例1中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国,下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示.
题号 分组 频数 频率
第1组 [160,165) 0.100
第2组 [165,170) ①
第3组 [170,175) 20 ②
第4组 [175,180) 20 0.200
第5组 [180,185] 10 0.100
第6组 [160,185] 100 1.00
(1)请先求出频率分布表中①②位置的相应数据,再完成如下的频率分布直方图;
(2)组委会决定在5名(其中第3组2名,第4组2名,第5组1名)选手中随机抽取2名选手接受考官A面试,求第4组至少有1名选手被考官A面试的概率.
解 (1)第1组的频数为100×0.100=10,
所以①处应填的数为100-(10+20+20+10)=40,
从而第2组的频率为 =0.400,因此②处应填的数为
1-(0.100+0.400+0.200+0.100)=0.200.
频率分布直方图如图所示.
(2)设第3组的2名选手为A1,A2,第4组的2名选手为B1,B2,第5组的1名选手为C1.从这5名选手中随机抽取2名选手的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(B1,B2),(B1,C1),
(B2,C1)},共10个样本点,记A:第4组的2名选手中至少有1名选手入选,则A={(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)},共7个样本点,所以第4组至少有1名选手被考官A面试的概率为 .
方法技巧 各种统计图表的应用
总体分布中相应的统计图表主要包括:频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图等.
变式训练1某学校为了解本校学生的上学方式,在全校范围内随机抽查部分学生,了解到上学方式主要有:A.结伴步行,B.自行乘车,C.家人接送,D.其他方式. 并将收集的数据整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.请根据图中信息,求本次抽查的学生中A.结伴步行的人数是( )
A.30
B.40
C.42
D.48
答案 A
解析 由条形图知,B.自行乘车上学的有42人,C.家人接送上学的有30人,D.其他方式上学的有18人,采用B,C,D三种方式上学的共90人,设A.结伴步行上学的有x人,由扇形图知,A.结伴步行上学与B.自行乘车上学的学生占
专题二
利用数据的数字特征解题
例2甲、乙两名同学数学成绩的茎叶图如图所示.
(1)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差;
(2)比较两名同学的成绩,谈谈你的看法.
所以乙同学的平均成绩较高且标准差较小,
说明乙同学比甲同学的成绩扎实,稳定.
方法技巧 数字特征的应用
样本的数字特征可分为两大类:一类反映样本数据的集中趋势,包括平均数、众数、百分位数、中位数;另一类反映样本数据的离散程度,包括极差、方差及标准差.通常,在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究方差,方差描述了数据相对于平均数的离散程度,在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,稳定性越差;方差越小,数据越集中,稳定性越好.
变式训练2小明是班里的优秀学生,他的历次数学成绩分别是96分、98分、95分、93分,但最近的一次考试成绩只有45分,原因是他带病参加了考试.期末评价时,按照60~79分为“合格”,80~90分为“良好”,90~100分为“优秀”的原则,这样给小明评价:这五次数学考试的平均分是 ,则按平均分给小明一个“良好”.试问这种评价是否合理 如果不合理请给出更合理的评价.
解 这种评价是不合理的.尽管平均数是反映一组数据平均水平的重要特征,但任何一个数据的改变都会引起它的变化,而中位数则不受某些极端值的影响.本题中的5个成绩从小到大排列为45,93,95,96,98,中位数是95,中位数较为合理地反映了小明的数学水平,因而应该用中位数来衡量小明的数学成绩,应评定为“优秀”.
专题三
古典概型
例3从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.
(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少
解 (1)每次取一件,取出后不放回,则连续取两次的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},共包含6个样本点,其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.可以确定这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”,则A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},共包含4个样本点.所以
(2)有放回地连续取出两件,则样本空间Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b)},共包含9个样本点.由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”,则B={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},共包含4个样本点.所以
方法技巧 古典概型的应用
古典概型是一种最基本的概率模型,也是学习其他概率模型的基础,在高考题中,经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性.在应用公式P(A)= 时,关键是正确理解基本事件与事件A的关系,求出n,m.但列举时必须按某一顺序做到不重不漏.
变式训练3从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )
答案 D
解析 ∵当b=1时,没有满足条件的a值;
当b=2时,a=1;
当b=3时,a可以是1,可以是2,∴共3种情况.
∵从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a,再从{1,2,3}中随机取一个数b,样本空间包含15个样本点.
专题四
相互独立事件的概率求法
(1)两人都能破译的概率;
(2)两人都不能破译的概率;
(3)恰有一人能破译的概率;
(4)至多有一人能够破译的概率.
方法技巧 公式P(AB)=P(A)P(B)可推广到一般情形,即如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
变式训练4从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求P(X=1);
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
