福建省惠安三中2013届高三10月测试数学理试卷

惠安三中2013届高三理科数学试卷
考查内容：《集合与简易逻辑》、《不等式》、《选修四系列》
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.
1. 已知全集,集合,则为（　　）
A． B． C． D．
2. 不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
3.已知命题：，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.集合P={1,4,9,16,……},若a∈P，b∈P，有a*b∈P，则运算*可能是 （ ）
A.加法 B.减法 C.除法 D.乘法
6.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）
A.　　　B.
C.　　　　 　D.
7.已知,则（　 　）
A． B． C． D．
8. 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是（　 　）
A．1800元 B．2400元 C．2800元 D．3100元
9.设平面点集,则所表示的平面图形的面积为（　 　）
A． B． C． D．
10.设非空集合满足：当时，有，给出如下三个命题：
①若则； ②若则； ③若则．
其中正确的命题的个数为（ ）
A.① B.①② C.②③ D.①②③
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 若，则函数的最小值为 .
12. 已知集合,集合,且,则__________.
13. 满足的集合A的个数是_______个.
14. 某单位共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _.
15．设k∈R，若x>0时均有 (kx-1)[x2-(k+1)x-1]≥0成立，则k=__________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．
16.已知，
（I）若，求；
（II）若R，求实数的取值范围.

17. 已知函数，且给定条件p:“”,
（1）求的最大值及最小值
（2）若又给条件且p是q的充分条件，求实数m的取值范围。
18. 已知向量，，且函数.
（Ⅰ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（II）若，记函数，试探析函数的定义域.
19. 甲、乙两地相距S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c（千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为a元．
(1) 试将全程运输成本Y(元)表示成速度V(千米/小时)的函数.
(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？
20.已知二次函数，若不等式的解集为C。
(1)求集合C；
(2)若方程在C上有解，求实数a的取值范围；
(3)已知，记，对使得成立，求实数t的取值范围。
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M=有特征值1=2及对应的一个特征向量.
（Ⅰ）求矩阵；
（II）若，求．
(2) （本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线为参数), 曲线 （为参数）.
（Ⅰ）设与相交于两点,求；
（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
(3) （本小题满分7分）选修：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）当时，求函数的定义域；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集是,求的取值范围.
参考答案：1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.D 8.C 9.D 10.D
11. 5 12.0 13.7 14.12 15.
16.解 （I）当时，..
∴
（II）. . 且
实数的取值范围是.
17.解 （1）∵f(x)= 2sin2x-2cos2x+1=4sin(2x-)+1.（3分）
又
∴f(x)max=5 f(x)min=3 （6分）
(2)
又 （13分）
18.解略：Ⅰ）； （II）讨论k与-3的大小；
19.解: (1) 依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝s(＋bv)，故所求函数及其定义域为y＝s(＋bv)v∈(0,c)
(2) ∵s、a、b、v∈R+，故s(＋bv)≥2s 当且仅当＝bv时取等号，此时v＝
若≤c即v＝时，全程运输成本最小．
若>c，则当v∈(0，c)时，y＝s(＋bv)－s(＋bc)＝(c－v)(a－bcv)
∵c－v≥0，且a>bc，故有a－bcv≥a－bc2>0
∴ s(＋bv)≥s(＋bc)，且仅当v＝c时取等号，即v＝c时全程运输成本最小．
20.解：（1）原不等式可转换为。当 ;
当 ; 所以 ……3分
（2）； . 令，因为，所以, 则问题转化为求内有解。……7分
由图象及根的存在性定理得 解得。 ……10分
（3） ,又（因为）所以在上单调递增。所以函数的值域 ……12分
因为，所以 解得 ……14分
21．（1）解 ：（Ⅰ）依题意： , .…3分
(Ⅱ)由（1）知，矩阵M的特征多项式为,
∴矩阵M的另一个特征值为 , ………………………4分
设是矩阵M属于特征值的特征向量，则
取x=1，得 ,…………………5分
, . …7分
（2）解.（I）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,,则. ……………3分
（II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是,
由此当时,取得最小值,且最小值为.………………7分
（3）（I）由题意，令
解得或，函数的定义域为……………3分
（Ⅱ）,，即.
由题意,不等式的解集是， 则在上恒成立. 而，故. ……………………7分