13.3 等腰三角形 创新训练 2021-2022学年人教版数学 八年级上册（word版含答案）

人教版数学 八年级上册 13.3 等腰三角形 创新训练
一、选择题
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(　　)
A．20° B．35° C．40° D．70°
2. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是(　　)
A．70° B．55°
C．70°或55° D．70°或55°或40°
3. 如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
4. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
C．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD
5. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E.若△AED的周长为16，则边AB的长为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
6. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为(　　)
A．4 B．12 C．18 D．30
7. （2020·天门仙桃潜江）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC∠DAE90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BDCE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE45°．其中正确结论的个数有
　 A．1 B．2个 C．3个 D．4个
8. （2020·宜宾）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM＝BE，AN＝AD，则△CMN的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
二、填空题
9. 如图，∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝________．
10. （2020·齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　 　．
11. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．
12. 如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，△ABD的周长为18 cm，则△ABC的周长为　　　　　.
13. 如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长为________．
14. 如图所示，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为________．
15. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．
16. 规律探究如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3……
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝________．
三、解答题
17. 如图，已知△ABC中，D为BC边上一点，且AB＝AC＝BD，AD＝CD，求∠BAC的度数.
18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝4 cm，求BC的长．
19. 已知:如图所示，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB=OC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由.
20. 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAE∶∠EAB=4∶1. 求∠B的度数.
21. （12分）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
人教版数学 八年级上册 13.3 等腰三角形 创新训练-答案
一、选择题
1. 【答案】B　
2. 【答案】D　[解析] 由题意得，∠A＝70°，当∠B＝∠A＝70°时，△ABC为等腰三角形；
当∠B＝55°时，可得∠C＝55°，∠B＝∠C，△ABC为等腰三角形；
当∠B＝40°时，可得∠C＝70°＝∠A，△ABC为等腰三角形．
3. 【答案】C　[解析] 连接AB.根据题意得 OB＝OA＝AB，∴△AOB是等边三角形．∴∠AOB＝60°.
4. 【答案】D　[解析] 选项A由等角对等边可得△ABC是等腰三角形；选项B由所给条件可得△ADB≌△ADC，由全等三角形的性质可得AB＝AC；选项C由垂直平分线的性质可得AB＝AC；选项D不可以得到AB＝AC.
5. 【答案】C　[解析] ∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD.
∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD.
∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝DE.
∵△AED的周长为16，
∴AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD＝16.
∵AD＝6，∴AB＝10.
6. 【答案】B　[解析] ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12.
7. 【答案】C
【解析】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=90°+∠CAD，
∠CAE=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△AEC与△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB(SAS)，
∴BD=CE，故①正确；
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠DEF+∠AEC+∠EDA=90°，
∴∠DEF+∠ADB+∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90 ，
∴BD⊥CE，故②正确；
∵作AN⊥CE，AM⊥BD
∵△AEC≌△ADB(SAS)，
∴AM=AN，
∵AF是∠BFE的角平分线，
∠BFE=90°，
∴∠AFE=45°，故④正确
，故③正确；
因为QF≠PF，故③错误。
正确的有3个，
故选：C.
8. 【答案】 C
【解析】 由△ABC和△ECD都是等边三角形，可得△BCE≌△ACD（SAS），∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，∵BM＝BE，AN＝AD，∴BM＝AN，∴△MBC≌△NAC（SAS），∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，∵∠BCM+∠MCA＝60°，∴∠NCA+∠MCA＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MCN是等边三角形．
二、填空题
9. 【答案】2　[解析] 如图，连接OQ.
∵点P关于直线OB的对称点是Q，
∴OB垂直平分PQ.
∴∠POB＝∠QOB＝30°，OP＝OQ.∴∠POQ＝60°.
∴△POQ为等边三角形．∴PQ＝OP＝2.
10. 【答案】10或11．
【解析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
11. 【答案】5
12. 【答案】 28 cm　
13. 【答案】15　[解析] 由多边形的内角和定理可知，这个六边形的每个内角都是120°，因此直线AB，CD，EF围成一个等边三角形，且这个等边三角形的边长为7.因此AF＝4，EF＝2.所以这个六边形的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.
14. 【答案】20°或70°或100°　[解析] 如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∠ADC＝70°；
②当CD′＝AD′时，∠AD′C＝100°；
③当AC＝AD″时，∠AD″C＝20°.
15. 【答案】16　[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝AC＝4，∴S△ABC＝AB·DC＝×8×4＝16.
16. 【答案】9
三、解答题
17. 【答案】
解：∵AD＝CD，∴设∠DAC＝∠C＝x°.
∵AB＝AC＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝∠DAC＋∠C＝2x°，
∠B＝∠C＝x°.∴∠BAC＝3x°.
∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴5x＝180，
解得x＝36.
∴∠BAC＝3x°＝108°.
18. 【答案】
解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°.
∵AB⊥AD，AD＝4 cm，∴BD＝8 cm.
∵∠ADB＝90°－∠B＝60°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°＝∠C.
∴CD＝AD＝4 cm.
∴BC＝BD＋CD＝8＋4＝12(cm)．
19. 【答案】
解:(1)证明:∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
∵锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，
∴∠BEC=∠CDB=90°.
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，
∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠DBC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.
(2)点O在∠BAC的平分线上.
理由:连接AO并延长交BC于点F.
在△AOB和△AOC中，
∴△AOB≌△AOC(SSS)，∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的平分线上.
20. 【答案】
解:设∠B=x°.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∴∠EAB=∠B=x°.
∵∠CAE∶∠EAB=4∶1，
∴∠CAE=4∠EAB=(4x)°，
∴∠CAB=∠CAE+∠EAB=(5x)°.
∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，
即(5x)°+x°=90°，解得x=15，∴∠B=15°.
21. 【答案】
【问题解决】在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；
【类比探究】过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
A
B
C
D
E
F