2021-2022学年北师大版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》期末复习训练（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》
期末综合复习训练（附答案）
1．关于x的方程（x+1）2﹣3（x+1）＝2的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
2．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0没有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜5 B．m＞﹣5 C．m＞5 D．m＜﹣5
3．若关于x的方程4x2+（m﹣3）x+1＝0有两个相等的实数根，则m值为（　　）
A．7 B．7或﹣1 C．﹣1 D．﹣7或1
4．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
5．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
6．设m、n是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
7．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 　 　．
8．若关于x的方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 　 　．
9．如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝　 　．
10．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2＝0的一个根是﹣2，则另一个根是 　 　．
11．若1和2是方程x2+mx+n＝0的两根，则m n＝　 　．
12．不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+x﹣1＝0； （2）x2+4＝4x；
（3）2x2+6＝3x．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为2，求它的另一个根及m的值．
14．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4（mx﹣1）+m2＝0的一个根为1，求它的另一个根及m的值．
15．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4＝0有两个相等的实数根，求m的值．
16．关于x的一元二次方程x2﹣x+2﹣k＝0有两个不相等的实数根，求k的最小整数值．
17．已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．
18．已知关于x的方程：x2﹣（m﹣1）x+m﹣3＝0．
（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）若这个方程的两个实数根为x1、x2，且x12+x1（x22﹣2）＝0，则求m的值．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+2＝0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且+＝3，求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+k2＝17，求k的值．
21．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0，若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
22．已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，求：
（1）+的值；
（2）m2﹣mn+n2的值．
23．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）当k＝1时，求相应的x的值；
（2）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根．
24．已知关于x的一元二次方程：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0．
（1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根．
（2）当m＝﹣9时，此方程的两个根分别是菱形ABCD的两条对角线长，求菱形ABCD的面积．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB＝3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
参考答案
1．解：方程（x+1）2﹣3（x+1）＝2化为一般形式为：x2﹣x﹣4＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：C．
2．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0没有实数根．
∴Δ＜0，即（﹣4）2﹣4×1×（m﹣1）＜0，
解得，m＞5，
故选：C．
3．解：根据题意得Δ＝（m﹣3）2﹣4×4＝0，
解得m＝7或﹣1．
故选：B．
4．解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4 k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
5．解：∵a是方程x2+x﹣2021＝0的实数根，
∴a2+a﹣2021＝0，
∴a2＝﹣a+2021，
∴a2+2a+b＝﹣a+2021+2a+b＝a+b+2021，
∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝﹣1+2021＝2020．
故选：B．
6．解：∵m、n是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，m2+m﹣2021＝0，
∴m2+m＝2021，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021﹣1＝2020．
故选：C．
7．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0总有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m﹣1≠0，
∴9﹣4×（m﹣1）×2＞0且m﹣1≠0，
∴m＜且m≠1，
故答案为：m＜且m≠1．
8．解：∵关于x的方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，
∴22﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0且k﹣1≠0，
解得k≥0且k≠1，
故答案为：k≥0且k≠1．
9．解：∵α为方程x2+3x﹣7＝0的根，
∴α2+3α﹣7＝0，
∴α2＝﹣3α+7，
∴α2+4α+β＝﹣3α+7+4α+β＝α+β+7，
∵方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，
∴α+β＝﹣3，
∴α2+4α+β＝﹣3+7＝4．
故答案为：4．
10．解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2＝0的两个根，
则x1 x2＝2，
∴﹣2x2＝2，
解得，x2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
11．解：∵1和2是方程x2+mx+n＝0的两根，
∴1+2＝﹣m，1×2＝n．
解得：m＝﹣3，n＝2．
所以m n＝（﹣3）×2＝﹣6．
故答案是：﹣6．
12．解：（1）∵△＝12﹣4×3×（﹣1）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）方程化为一般式为x2﹣4x+4＝0，
∵△＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，
∴方程有两个相等的实数根；
（1）方程化为一般式为2x2﹣3x+6＝0
∵△＝（﹣3）2﹣4×2×6＝﹣39＜0，
∴方程没有实数根．
13．解：设方程的另一个根为a，
则由根与系数的关系得：a+2＝3，a×2＝m，
解得：a＝1，m＝2，
另一根为1，m＝2．
14．解：将x＝1代入原方程得：（m﹣2）﹣4（m﹣1）+m2＝0，
整理得：m2﹣3m+2＝0，
解得：m1＝1，m2＝2．
又∵方程（m﹣2）x2﹣4（mx﹣1）+m2＝0为一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝1．
∴原方程为x2+4x﹣5＝0，
∴方程的另一个根＝﹣4﹣1＝﹣5．
15．解：∵x2+（2m﹣1）x+4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×4＝0，
解得m＝﹣或m＝．
16．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+2﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（2﹣k）＞0，
解得k＞，
所以k的最小整数值为2．
17．解：由已知条件Δ＝4（b﹣a）2﹣4（c﹣b）（a﹣b）＝4（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a＝b或a＝c，
∵c﹣b≠0
则c≠b，
∴这个三角形是等腰三角形（不包括等边三角形）．
18．解：（1）∵Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（m﹣3）＝m2﹣6m+13＝（m﹣3）2+4，
∵无论m为什么实数时，总有（m﹣3）2≥0，
∴（m﹣3）2+4＞0，
∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）∵x1 x2＝m﹣3，x12＝（m﹣1）x1﹣m+3，x22＝（m﹣1）x2﹣m+3，
∴x12+x1（x22﹣2）＝（m﹣1）x1﹣m+3+x1[（m﹣1）x2﹣m+3﹣2]＝x1（m﹣1+mx2﹣x2﹣m+3﹣2）﹣m+3＝x1（mx2﹣x2）﹣m+3＝mx1x2﹣x1x2﹣m+3＝m（m﹣3）﹣（m﹣3）﹣m+3＝m2﹣5m+6＝（m﹣2）（m﹣3）＝0，
∴m1＝2，m2＝3．
19．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（m+2）≥0，
解得m≤﹣1；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝m+2，
∵+＝3，
∴x1+x2＝3x1x2，
∴2＝3（m+2）
解得m＝﹣．
20．解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根
∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2﹣1）＞0，
整理，得 4k+5＞0，
解之，得 k＞﹣，
∴k的最小整数值是﹣1；
（2）由原方程，得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2﹣1；
∵（x1﹣x2）2+k2＝17；
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+k2＝17；
∴（2k+1）2﹣4（k2﹣1）+k2＝17；
∴k2+4k﹣12＝0；
∴（k﹣2）（k+6）＝0；
∴k1＝﹣6，k2＝2；
∵k＞﹣；
∴k＝2．
21．解：关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有实数根，
∴Δ≥0，且a≠3，
∴16﹣12（a﹣3）≥0，
解得a≤，
∵a是正整数，
∴a＝1或2或4．
22．解：（1）∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，
∴m+n＝，mn＝﹣，
∴+＝＝＝﹣；
（2）m2﹣mn+n2
＝（m+n）2﹣3mn
＝（）2﹣3×（﹣）
＝+
＝10．
23．（1）解：当k＝1时，原方程为x2﹣3x+2＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣1）＝0，
可得x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝2，x2＝1；
（2）证明：Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．
24．（1）证明：∵△＝（m﹣2）2﹣4×2（﹣m）
＝m2﹣4m+4+8m
＝（m+2）2≥0，
∴不论m为何实数，方程总有实数根；
（2）当m＝﹣9时，方程为2x2﹣11x+9＝0，
设方程的两根分别为x1，x2，
由根与系数关系得x1x2＝，
S菱形ABCD＝x1x2＝×＝．
所以菱形ABCD的面积是．
25．（1）证明：∵Δ＝（k+1）2﹣4（2k﹣3）
＝k2+2k+1﹣8k+12
＝k2﹣6k+13
＝（k﹣3）2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当AB＝3为腰时，则AC或BC有一条边为腰，
x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的解为3，
∴9﹣3（k+1）+2k﹣3＝0，
解得：k＝3，
当AB＝3为底时，则AC，BC为腰，
方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0有两个相等的实数根，
由（1）得无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根，故这种情况不存在；
综上所述，k＝3．