沪科版数学八年级上册 13.2 命题的证明教案
文档属性
| 名称 | 沪科版数学八年级上册 13.2 命题的证明教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 56.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-01 11:53:48 | ||
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文档简介
第3课时 命题与证明(三)
教学目标
1.掌握三角形内角和定理及其三个推论.
2.熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述.
3.探索并理解三角形的内角和定理.
4.会灵活地运用三角形内角和定理的几个推论解决实际问题.
5.通过生动的教学活动,发展学生的合情推理能力和表达能力,提高学生学习和探索数学的兴趣.
重点难点
【重点】
三角形内角和定理的证明,三角形内角和定理及其推理.
【难点】
三角形内角和定理的证明.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:在前面我们学习了三角形的内角和定理,你还记得它的内容吗
学生回答.
师:我们用什么方法证明过这个命题
生:用折叠、剪拼和度量的方法.
师:很好!在上节课我们学习了定理的概念,大家还记得吗
生:记得.它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判定其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
师:对.三角形的内角和定理是一个定理,它能够被证实,上节课我们还学习了简单命题的证明,现在我们来证明这个定理.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:
【例1】 证明三角形内角和定理:三角形的三个内角和等于180°.
师:在证明命题时,要分清命题的条件和结论,如果问题与图形有关,首先,根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号;再结合图形,写出已知、求证.这个命题的条件和结论分别是什么
生:条件是一个三角形,结论是它的内角和等于180°.
师:这个命题与图形有关吗
生:有关.
师:那我们要画出什么图形
生:一个三角形.
教师在黑板上画出一个三角形.
师:题目中没有已知、求证,我们自己要写出来.已知就是条件,求证的就是要证的结论.应该怎么写
生:已知:△ABC,如图所示.求证:∠A+∠B+∠C=180°.
教师板书.
师:以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角,这不是证明,但它却给我们以启发,现在我们通过作图来实现这种转化,给出证明.
教师边操作边讲解:
在剪拼中我们可以把∠B剪下,放在这个位置,在证明中我们可以作出一个角与∠B相等,来代替这种操作.并且为了证明的需要,在原来图形上添画的线,这种线叫做辅助线.同学们看,应该怎样添画辅助线来帮助我们证明这个问题
生:延长BC到D,以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B.
教师作图:
师:对.如果再知道什么条件就能得到结论了
学生讨论后回答.
生:因为∠1+∠2+∠ACB是一个平角,等于180°,如果∠A=∠1,那么就有∠A+∠B+∠C=∠1+∠2+∠ACB=180°,这样就证出了结论.
师:对.现在我们看怎样证∠A=∠1
学生交流讨论.
教师提示:∠A和∠1是什么角
生:内错角.
师:怎么证两个内错角相等
生:两直线平行,内错角相等.
师:在题中要证哪两条直线平行 怎么证它们平行
生:证明CE∥BA,因为∠2=∠B,由同位角相等,两直线平行,就可以证出CE∥BA了.
师:很好!我们现在来把这个推导过程具体写一下.要注意,我们刚才是分析,可以由结论推条件,但在书写过程中,要先写条件,再写结论,这个顺序要理清.
学生口述,教师板书.
师:现在大家想一想,如果一个三角形中一个角是90°,根据三角形内角和定理,另外两个角的和会是多少
生:90°.
师:对.两个角的和是90°,我们可以称它们之间是什么关系
生:互余.
师:对.由此我们得到三角形内角和定理的第一个推论.
教师板书:
推论1 直角三角形的两锐角互余.
三、边讲边练
师:三角形内角和定理的证明有多种方法,课本练习中给出了另外两种证法.大家能不能说出第一题的思路
生:过点A作DE∥BC后,由两直线平行,内错角相等来建立两个相等关系,再由平角的定义就可证出了.
师:你们已经理清了思路,现在请大家将书上的证明过程补充完整.
学生完成练习第1题.
师:第二个练习的思路大家清楚吗
学生交流讨论后回答.
生:过三角形一边上一点作两条平行线,然后根据平行线的性质使△ABC的三个内角与组成平角的三个角分别相等,再由平角的定义证明它们的和是180°.
师:很好!请同学们把证明过程补充完整.
学生补充练习第2题的证明,教师巡视指导,然后集体订正.
四、层层推进,深化理解
教师多媒体出示:
师:在三角形内角和定理的证明中,我们曾经如图中所示那样把△ABC的一边BC延长至点D,得到∠ACD,像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.在上图中,△ABC的外角,也就是∠ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有怎样的关系 你能给出证明吗
学生小组交流讨论后回答.
生:∠ACD与∠ACB的和是180°,所以∠ACD=180°-∠ACB;根据三角形内角和定理,∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=180°-∠C.由等式的性质,得到∠ACD=∠A+∠B.
师:很好!除了这个相等关系,还能得到什么大小关系
生:∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.
师:很好!在证明中主要应用了三角形内角和定理,我们把这两个结论称为这个定理的两个推论.
教师板书:
推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论3 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
师:像这样,由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.推论2可以用来计算角的大小,推论3可以用来比较两个角的大小.
【例2】 已知:如图所示,∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角.
求证:∠1+∠2+∠3=360°.
师:这个问题实质上是三角形外角和定理,即三角形三个外角的和是360°.请大家想一下,怎么证明这个命题
学生交流讨论后回答,然后集体订正.
证明:∵∠1=∠ABC+∠ACB,
∠2=∠BAC+∠ACB,
∠3=∠BAC+∠ABC,
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质)
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,(三角形内角和定理)
∴∠1+∠2+∠3=360°.
五、课堂小结
师:我们今天学习了哪些内容 你有什么收获
学生发言,教师点评.
教学反思
本节课我通过让学生自己思考设计证明思路,来培养学生积极思考的探索精神.在证明三角形内角和定理的第一种证法中,我带领他们回顾了以前证明此定理的操作方法,并说明这两种方法的思想是一致的.一方面可以让他们学会把实际问题用数学形式表示出来,另一方面培养了他们建立相关事物之间的联系的意识,促进知识的迁移.在证明三角形内角和定理的练习中,我让他们先理清思路,再做题,不但可以借鉴别人的思路,而且能做到整体把握,理清脉络.
教学目标
1.掌握三角形内角和定理及其三个推论.
2.熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述.
3.探索并理解三角形的内角和定理.
4.会灵活地运用三角形内角和定理的几个推论解决实际问题.
5.通过生动的教学活动,发展学生的合情推理能力和表达能力,提高学生学习和探索数学的兴趣.
重点难点
【重点】
三角形内角和定理的证明,三角形内角和定理及其推理.
【难点】
三角形内角和定理的证明.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:在前面我们学习了三角形的内角和定理,你还记得它的内容吗
学生回答.
师:我们用什么方法证明过这个命题
生:用折叠、剪拼和度量的方法.
师:很好!在上节课我们学习了定理的概念,大家还记得吗
生:记得.它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判定其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
师:对.三角形的内角和定理是一个定理,它能够被证实,上节课我们还学习了简单命题的证明,现在我们来证明这个定理.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:
【例1】 证明三角形内角和定理:三角形的三个内角和等于180°.
师:在证明命题时,要分清命题的条件和结论,如果问题与图形有关,首先,根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号;再结合图形,写出已知、求证.这个命题的条件和结论分别是什么
生:条件是一个三角形,结论是它的内角和等于180°.
师:这个命题与图形有关吗
生:有关.
师:那我们要画出什么图形
生:一个三角形.
教师在黑板上画出一个三角形.
师:题目中没有已知、求证,我们自己要写出来.已知就是条件,求证的就是要证的结论.应该怎么写
生:已知:△ABC,如图所示.求证:∠A+∠B+∠C=180°.
教师板书.
师:以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角,这不是证明,但它却给我们以启发,现在我们通过作图来实现这种转化,给出证明.
教师边操作边讲解:
在剪拼中我们可以把∠B剪下,放在这个位置,在证明中我们可以作出一个角与∠B相等,来代替这种操作.并且为了证明的需要,在原来图形上添画的线,这种线叫做辅助线.同学们看,应该怎样添画辅助线来帮助我们证明这个问题
生:延长BC到D,以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B.
教师作图:
师:对.如果再知道什么条件就能得到结论了
学生讨论后回答.
生:因为∠1+∠2+∠ACB是一个平角,等于180°,如果∠A=∠1,那么就有∠A+∠B+∠C=∠1+∠2+∠ACB=180°,这样就证出了结论.
师:对.现在我们看怎样证∠A=∠1
学生交流讨论.
教师提示:∠A和∠1是什么角
生:内错角.
师:怎么证两个内错角相等
生:两直线平行,内错角相等.
师:在题中要证哪两条直线平行 怎么证它们平行
生:证明CE∥BA,因为∠2=∠B,由同位角相等,两直线平行,就可以证出CE∥BA了.
师:很好!我们现在来把这个推导过程具体写一下.要注意,我们刚才是分析,可以由结论推条件,但在书写过程中,要先写条件,再写结论,这个顺序要理清.
学生口述,教师板书.
师:现在大家想一想,如果一个三角形中一个角是90°,根据三角形内角和定理,另外两个角的和会是多少
生:90°.
师:对.两个角的和是90°,我们可以称它们之间是什么关系
生:互余.
师:对.由此我们得到三角形内角和定理的第一个推论.
教师板书:
推论1 直角三角形的两锐角互余.
三、边讲边练
师:三角形内角和定理的证明有多种方法,课本练习中给出了另外两种证法.大家能不能说出第一题的思路
生:过点A作DE∥BC后,由两直线平行,内错角相等来建立两个相等关系,再由平角的定义就可证出了.
师:你们已经理清了思路,现在请大家将书上的证明过程补充完整.
学生完成练习第1题.
师:第二个练习的思路大家清楚吗
学生交流讨论后回答.
生:过三角形一边上一点作两条平行线,然后根据平行线的性质使△ABC的三个内角与组成平角的三个角分别相等,再由平角的定义证明它们的和是180°.
师:很好!请同学们把证明过程补充完整.
学生补充练习第2题的证明,教师巡视指导,然后集体订正.
四、层层推进,深化理解
教师多媒体出示:
师:在三角形内角和定理的证明中,我们曾经如图中所示那样把△ABC的一边BC延长至点D,得到∠ACD,像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.在上图中,△ABC的外角,也就是∠ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有怎样的关系 你能给出证明吗
学生小组交流讨论后回答.
生:∠ACD与∠ACB的和是180°,所以∠ACD=180°-∠ACB;根据三角形内角和定理,∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=180°-∠C.由等式的性质,得到∠ACD=∠A+∠B.
师:很好!除了这个相等关系,还能得到什么大小关系
生:∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.
师:很好!在证明中主要应用了三角形内角和定理,我们把这两个结论称为这个定理的两个推论.
教师板书:
推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论3 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
师:像这样,由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.推论2可以用来计算角的大小,推论3可以用来比较两个角的大小.
【例2】 已知:如图所示,∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角.
求证:∠1+∠2+∠3=360°.
师:这个问题实质上是三角形外角和定理,即三角形三个外角的和是360°.请大家想一下,怎么证明这个命题
学生交流讨论后回答,然后集体订正.
证明:∵∠1=∠ABC+∠ACB,
∠2=∠BAC+∠ACB,
∠3=∠BAC+∠ABC,
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质)
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,(三角形内角和定理)
∴∠1+∠2+∠3=360°.
五、课堂小结
师:我们今天学习了哪些内容 你有什么收获
学生发言,教师点评.
教学反思
本节课我通过让学生自己思考设计证明思路,来培养学生积极思考的探索精神.在证明三角形内角和定理的第一种证法中,我带领他们回顾了以前证明此定理的操作方法,并说明这两种方法的思想是一致的.一方面可以让他们学会把实际问题用数学形式表示出来,另一方面培养了他们建立相关事物之间的联系的意识,促进知识的迁移.在证明三角形内角和定理的练习中,我让他们先理清思路,再做题,不但可以借鉴别人的思路,而且能做到整体把握,理清脉络.