2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册5.3 诱导公式（教案）

基于核心素养的单元教学设计
以“诱导公式(第一课时)”为例
单元教学设计之“ADDIE”模型
数学单元教学设计操作流程图：
一、选定内容，对应核心素养
内容 核心素养
诱导公式（二）~（四）的推导 数学抽象:诱导公式的推导逻辑推理：运用三角函数定义推导公式直观想象：单位圆中运用对称性推出公式。
诱导公式的应用 逻辑推理：运用公式化简、转化数学运算：运用公式进行化简、求值或者进行给值求值。
二、教材分析
1．内容
“三角函数的诱导公式”是普通高中教科书人教版必修1第五章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六，是三角函数的主要性质.本单元的知知识结构如下图所示：
本单元分为两课时完成，本节课为第一课时，主要探究诱导公式二、三、四，并围绕圆的对称性提出要研究的相关问题，形成研究的思路．
2．内容解析
我们知道，任意角的三角函数的定义是借助于单位圆得出的，之后又借助于圆的几何性质得出了三角函数的部分性质，即同角三角函数的基本关系.圆有丰富的性质，对称性是圆的重要性质，如果用三角函数表示单位圆上点的坐标，就可将这些对称性表示为三角函数之间的关系，从而得到三角函数的诱导公式。
角的基本构成元素就是顶点、始边、终边，在三角函数这一章的研究中，为了方便，使角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，因此变化的只有角的终边．首先从形的角度，研究圆的对称性，假设任意角的终边与单位圆的交点为，点关于圆心或特殊直线的对称点为，根据单位圆上这两个点的对称性，可以写出以为终边的角与角的关系．接下来从数的角度，利用三角函数的定义，建立对称点坐标之间的关系，得到三角函数之间的关系即诱导公式．
由此可见诱导公式的本质就是圆的对称性的代数表示．对于，还可以从旋转对称的角度认知它们，与从轴对称认知的本质一致，而这样认知与诱导公式一，及后续的两角差的余弦公式的研究就一致了.因此这种变式为后续利用旋转对称性探究两角差的余弦作了铺垫.可见，本单元又是培养学生发现和提出问题、分析和解決问题，发展学生直观想象核心素养的很好的载体．
三、学情分析
学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一，这些内容是学生理解、归纳公式二至公式四的基础，因此教学时应充分注意利用这一有利条件，引导学生多进行归纳与概括。另外，信息技术的使用也为突破教学难点、启发学生思维、增加课堂容量提供了有力的支持.但是，他们在学习的过程中会遇到如下三个难点.
1．在利用多媒体引导学生从特殊到一般的学习过程中，部分学生认为只要记住公式，会做题就可以，对公式的推导重视不够。为了尽量避免这种情况的出现，我采用小组讨论制。
2．角的任意性，怎样向学生交代清楚是这节课我一直思考的问题.为了解决这个问题我去亲自板书，通过用角终边的在不同象限，显示三角函数值在各个象限的变化，让学生明白角不局限为第一象限的角，它具有任意性，试图突破这一难点.
3．公式的记忆也是个难点.特别是十字口诀更是理解不深。为破解这一难点，本节课的教学过程中充分发挥单位圆的直观作用，提高学生的直观想象核心素养，理解诱导公式的本质：圆的对称性的代数化，三角函数的性质。学生能主动地依托单位圆，想象着它的对称性，就可以准确的记忆诱导公式.对于公式的应用，要提高学生分析问题的能力，即要形成一定的求解程序，提升学生的数学运算素养．
四、教学目标
根据课程标准以及我校高一学生认知水平和心理规律，制定本节课的教学目标如下 1. 知识目标：（1）识记诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。
2.能力目标：1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。
（3）通过强化练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．
3.素养目标：1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的思想。
目标解析
根据教学内容的结构特征及教学目标，本节课采用了“问题——发现——归纳——类比”的教学方法和“自主探究——小组合作”的学习方式.由问题驱动，通过诱导公式二至四的探究，概括得到诱导公式的特点，提高对数学内部关联的认识，理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想，培养学生的探究能力。
目标实现过程：
1．利用已有知识导出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.
2．利用定义进行推导得到公式二，再利用板书展示，使学生对“为任意角”的认识自然合理。之后如法炮制公式三、四，通过联想，类比、方法迁移，学生很轻松的发现公式，每小组积极发言并且通过实物展台展示交流，发现任意角与，，三角函数值的关系，体会了从特殊到一般的归纳推理过程，使学生的思维得到科学训练，有助于培养学生的概括能力和创新能力.
3．采用问题设疑，观察演示，步步深入，逐层引导，探究合作的教学方法，旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律（公式），培养学生的创新意识和创新精神.通过引导学生探索并发现公式，将发现与证明合为一体，体现了“数形结合”的思想方法.
4．通过例1和变式，把诱导公式（一）、（二）、（三）、（四）的应用进一步拓广，发展学生的思维能力和计算能力.例2,例3的扩展让学生认识到公式的实用性和学习的必要性.
本节课的教学设计力求体现 “问题性”、“科学性”与“思想性”，以多媒体为辅助手段，采用教师为主导学生为主体的启发式与探究式相结合的方法，使学生快乐地学习.
教学重难点
教学重点：诱导公式的探究与运用.
教学难点： π ± α 的诱导公式的推导；诱导公式的记忆与运用
五、教学过程设计
5 创设问题情境
导入语：前面我们学习了三角函数，是借助于单位圆给出的，并根据定义得出了公式一，刻画“周而复始”这种変化规律及其几何意义．之后借助于单位圆的几何特征，获得了同一个角的三个三角函数之间的关系．我们知道，对称性是圆的重要性质，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的性质．
师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示．
问题1：
（1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只讨论正弦、余弦、正切）
（2）任意角的三角函数的定义是什么？
（3）公式一的内容与作用是什么？
问题2:已知如何求的值。能否再把间的角的三角函数，化为我们熟悉的间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的问题.
【设计意图】通过复习旧知，为新知识的学习打下基础.特别是各象限三角函数的符号，对于诱导公式记忆起关键作用.提出的新问题，引导学生进一步思考，激起学生们的兴趣.
5.2 探索新知
教师引导：为了解决以上问题，我们采用各个击破的方法.首先看，如果我们知道一个任意角与三角函数值的关系，问题就解决了.
探究一：任意角与三角函数值的关系.
问题3：
①与 角的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）
②设与角的终边分别交单位圆于点P，，则点P与位置关系如何？（关于原点对称）
③设点P（x,y），那么点的坐标怎样表示？
④与，与，与的关系如何？
经过探索，归纳成公式
------公式 二
.
【设计意图】：公式二的三个式子中，是第一个解决的问题，由于方法及思路都是未知的，所以采取教师引导，师生合作共同完成办法．通过脚手架式的层层提问，引导学生自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜想的乐趣，凸显学生学习的主体地位.同时，试图通过环环相扣的问题给学生传递“由宏观到微观考虑问题”的思维习惯，从而达到“授人以渔”的目的。
追问1：如果点P在第二象限，那么点的坐标与点P的坐标之间有什么关系？如果点P在轴负半轴上呢？在其他位置呢？据此，公式二中的角的终边可以在什么位置？
师生活动：学生思考后给出解答：不论点在哪里，点的坐标与点的坐标之间的关系都不変，即公式二对任意角都成立．
追问2：探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想是什么？
师生活动：学生思考后给出回答，教师进行归纳：
第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系，从形的角度入手研究．
第二步，建立坐标之间的关系．将形的关系代数化，并从不同的角度进行表示，体现了数形结合的思想方法．
第三步，根据等量代换，得到三角函数之间的关系，即公式二，体现了联系性．
追问3：角还可以看作是角的终边经过怎样的变换得到的？
师生活动：学生思考后给出回答：按逆时针方向旋转角得到的．
追问4：探究一研究基本步骤有哪些？
师生活动：
第一步：建立角之间的关系。从形入手
第二步：建立坐标之间的关系。将形的关系代数化
第三步：根据等量代换，得到三角函数之间的关系。体现联系性
圆的对称性---角与角的关系---坐标间的关系—三角函数的关系
【设计意图】追问1旨在帮助学生理解角的任意性，追问2旨在提炼方法，追问3渗透圆的旋转对称性，为后面几个公式的探索在方法上做好铺垫。追问4则承载着建立研究方法，为后面的探究做准备。
类比第一个问题的解决方法，我们再来解决后面的两个问题，后两个均由学生类比讨论完成。
【学生活动：小组讨论，代表发言交流】。
观察，由公式一知的终边与的终边相同，所以我们必须知道一个任意角与()三角函数值的关系.
（二）类比探索，整体认知
问题4：借助于平面直角坐标系，类比问题3你能说出单位圆上点P的哪些特殊对称点？并按照如上问题3总结得到的求解步骤，尝试求出相应的关系式．
师生活动：首先由学生独立思考，尽量多地写出点P的对称点，然后展示交流，之后再将之代数化，最后得到相应的诱导公式．学生的回答可能会超越教科书中的研究内容，如果是学生自己想到的，可以顺其自然保留，但是不作进一步的要求．如果学生没有想到，教师不需要增加．学生首先想到的应该是点关于坐标轴的对称点；之后关于特殊直线的对称点，比如；教师启发之后会想到经过两次对称得到的对称点．
学生可能的答案有单位圆上P的特殊对称点：第一类，点P关于轴、轴的对称点；第二类，点P关于特殊直线的对称点，如，；第三类，点P关于轴的对称点，再关于特殊直线的对称点，或者点轴关于特殊直线的对称点，再关于坐标轴的对称点等等．
接下来，针对如上结论，从第一类到第三类依次解決，本课时可以先解決第一类．
如图5.3-3，作关于轴的对称点，以为终边的角都是与角终边相同的角，即．因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．
探究二：任意角与()三角函数值的关系.
问题5：
①与()角的终边位置关系如何？(关于轴对称)
②设与()角的终边分别交单位圆于点P，点P与位置关系如何(关于轴对称)　　
③设点P(x,y)，则点的坐标怎样表示？
④与，与 ，与关系如何？
经过探索，归纳成公式
　　 -------------公式 三
.
设计意图：通过学生自主探究与合作交流，完成由角的终边点的对称性得到公式的过程，充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，让学生参与教学活动.让学生体验数与形的关系，尝试自主探究的乐趣.
教师引导：那，我们须知与(－)的三角函数值的关系，同学们继续发挥聪明才智解决它吧！
探究三：与的三角函数值的关系．
问题6：
①与角的终边位置关系如何？(关于轴对称)
②设与角的终边分别交单位圆于点p，点p与位置关系如何？(关于轴对称)　　
③设点P(x,y)，则点的坐标怎样表示？
④与，与 ，与关系如何？
经过探索，归纳成公式
------公式 四
【设计意图】：与探究二的教法相同，学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视，及时反馈、矫正、讲评．采用合作学习有助于观察的多种方式的呈现，通过学生多角度的观察所得到结论的交流，让学生感受数学美和发现规律（公式）的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律.同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事.
追问：公式三和公式四中的角的终边可以在什么位置？
预设答案：角是任意角．
【设计意图】：进一步探索发现．这是个开放式的问题设计，给了学生自主的时空，鼓励他们多角度观察思考，提出问题，并类比进行分析，解決问题．强化将单位圆的对称性代数化这种研究思路．
（三）总结概括
师生活动：为了更好的使学生们把自己的研究成果记忆牢靠，师生共同大声朗读这四组公式.
三角函数的诱导公式
公式一：
公式二：
公式三：
公式四：
说明：公式中的指使公式两边有意义的任意一个角．
问题7：你能用一句话概括公式一、二、三、四吗？
为了让学生更好的记忆公式，通过幻灯片展示，猜想验证，如果把角看成锐角，分别位于第一、二、三、四象限，由课前提问各象限内三角函数值的符号，学生可以试着叙述.
师生活动：总结概括公式一、二、三、四：
的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.公式特点：“函数名不变，符号看象限”
【设计意图】：逐步理解十字口诀含义，并且训练学生的概括能力.
5.3 初步应用，
例1 利用公式求下列三角函数值：
（1）°； （2）；
（3）； （4）．
答案：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）
=．
追问5：题目中的角与哪个特殊角接近？拆分之后应该选择哪个诱导公式？
师生活动：学生独立完成之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．
【设计意图】：引导学生有序地思考问题，有理地解決问题．
问题3：由例1，你对公式一～四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
师生活动：学生独立思考总结，之后展示交流．
利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按如下图步骤进行：
【设计意图】例题教学中，不能仅仅满足于完成化简、求值，要引导学生总结利用诱导公式解题的基本步骤，提炼解题经验，明确从负角转化为锐角的程序，提高自觉地、理性地选择运算公式的能力，提升数学运算素养。
【强化训练】利用公式求下列三角函数值：
（1）
（2）
（3）
例2 化简：．
解：，
，
所以原式=．
追问6：本题与例1的异同是什么？由例1总结出的求解程序在此如何应用？
师生活动：学生独立完成，之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．
【设计意图】巩固习题的知识和方法，提高学生分析能力和转化能力．
【强化训练2】
化简：
(1)；
(2).
【解析】　(1)＝＝＝＝1.
(2)原式＝＝＝＝－1.
例3. 已知cos＝，求cos－sin2的值．
【解析】因为cos＝cos＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2＝，
所以cos－sin2＝－－＝－.
5.4课堂练习
1.计算下列三角函数值：
(1)sin(－660°)；(2)cos ；(3)2cos 660°＋sin 630°；(4)tan ·sin.
【解析】　(1)因为－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin 60°＝.
(2)因为＝6π＋，所以cos ＝cos ＝－.
(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)＝2cos 60°－sin 90°＝2×－1＝0.
(4)tan ·sin＝tan·sin＝tan ·sin ＝×＝.
2. 化简：（1）.
（2）
【解析】（1）原式＝＝
＝＝－.
＝＝1.
3. 已知，则 -5
【设计意图】：检测学生对基本知识和基本运算及基本技能的掌握情况．
5.5梳理小结，巩固新知
问题4：诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系？你学到了哪些基本知识，获得了怎样的研究问题的经验？
师生活动：学生自主总结，展示交流．
（1）诱导公式是圆的对称性的代数化，是三角函数的性质．
（2）学到了三组诱导公式，研究方法是数形结合，注重联系．
设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，为进一步的硏究铺路奠基．
5.6布置作业，深入研究
（1）类比第一类问题的解決，即诱导公式二、三和四的探索发现过程，完成第二类和第三类问题．写出你的研究小报告，报告中先写出问题，再写出答案，并在下节课展示交流．
（2）必做题课本习题194页习题5.3复习巩固， 选做题是195页拓广探索10.
（3）思考题(预习作业)
给定一个角，终边与角的终边关于直线对称的角与角有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？能否证明？
【设计意图】通过分层次布置作业，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力也让学有余力的同学“吃得饱”，思考题的设置为了下节课学习公式五、六做预习准备的.教会学生利用所学知识进行数学学习，这是本节内容的一个提高与拓展.
六、评价反思
1. 灵活运用单元教学模式
可以参考其基本框架，但是应该因人、因时、因课有所调整；由于单元往往含有多个知识点和多个探究问题，因此会出现小型的教学环节的循环。“ADDIE”模型的实质是为教学设计提供概念框架和操作的技术路线图. 使用时需要注意，第一，不能生搬硬套该教学设计模型，因为不存在适用于任何教学目标、教学内容的教学设计模型，况且教师的知识背景也具有很大的差异性；第二，宜以单元为单位进行学习内容分析、学生认知分析、学习环境分析、学习目标设计、学习过程设计、学习指导设计和学习评价设计，这既是突出整体性、加强联系性的需要，也是减少不必要的重复劳动的需要；第三，应在强化整体设计的基础上，做好分解工作和各课时在各方面的衔接，以提高教学整体效益.
2. 教学单元的大小应适度
单元教学的“单元”可大可小. 例如，为了强化全章的整体性，可以以“三角函数”整章为单位进行大单元教学；为了增强操作性，也可以以“三角函数的诱导公式”为单位进行小单元教学. 这里采用的是大背景、大观念、大任务引领下的小单元教学，并对教材的内容结构进行了适当调整. 具体做法是在小单元核心问题“具有特殊关系角的三角函数值有怎样的关系”的引领下，对诱导公式进行整体探究，一起得到相关公式，一起分析归纳它们的特点，一起应用这些公式. 这样做的目的既是为了增强教学设计的整体性的优势，又是为了增强研究型单元教学的操作性.高中数学单元教学是一个有待探索的课题. 期待有更多的同仁参与研讨，以使它走向成熟与完善，进而更好地促进学生数学学科核心素养的提高.
3.充分利用学生已有知识和经验进行教学
本节课把教材上的探究问题做了改编，将预授知识与学生已有的经验和认知规律相结合，从新知的引入到新知的发生发展过程，从新知的探究到新知的巩固，教者都灵活而富有创造性的设计出了在学生在已有经验的“就近发展区”上“衍生”出新的知识，帮助学生实现对已有知识和经验的重组、提升和再创造。
4.注重学生数学核心素养的培养
没有任何教学目标比“使学生成为独立地、自主地高效地学习者”更重要。本节课设计课堂上学生的活动，希望学生积极有效的参与到课堂之中，并通过课堂交流与展示，寻找学生已有知识与课堂探究的最佳契合点，在真正意义上找到了能够适合学生发展，并能够在真正意义上培养学生思维能力的一个突破口和教学的基本落脚点。
3.试图通过设问，在研究与解决问题的过程中渗透数学思想
本节课的教学活动始终围绕着探究三角函数诱导公式的角之间的关系——对称关系——坐标间的关系进行，在解决教师设计的一个个问题的过程中，展现学生的思维和探索过程，使学生从中体会学习数学的方法，学会用数学的思维、数学的思想方法分析、思考和解决问题。