数列的概念随堂检测
一、单选题
1．已知数列满足，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】
将化为，再逐一求值、总结规律，进而求解.
【详解】
由，得：，
因为，所以，，，…，
则归纳可得：，，，
则.
故选：B.
2．在数列中，，则此数列最大项的值是（ ）
A．102 B． C． D．108
【答案】D
【分析】
将将看作一个二次函数，利用二次函数的性质求解.
【详解】
将看作一个二次函数，其对称轴为，开口向下，
因为，
所以当时，取得最大值，
故选：D
3．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数n为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】A
【分析】
依题意可得，再利用累乘法求出通项公式，再解一元二次不等式即可；
【详解】
解：由，得，
所以
因为，所以，解得，所以满足条件的最大正整数n为28.
故选：A
4．已知数列满足，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
化简数列的关系式，利用累乘法求解数列的通项公式即可．
【详解】
数列满足，且，
∴，，
∴，，，，
累乘可得：，
可得：．
故选：D﹒
5．设数列中，（且），则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
根据递推关系求前4项，易知数列周期为3，进而求.
【详解】
由已知得：，可求，
∴数列周期为3，
，
故选：A．
6．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前项依次是、、、、、、、、、，则此数列的第项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由已知数列可得为偶数时，，为奇数时，，然后逐个分析判断即可.
【详解】
观察此数列可知，当为偶数时，，当为奇数时，.
所以，，所以C正确，
故选：C.
二、多选题
7．（多选）下列四个命题中，正确的有（ ）
A．数列的第项为
B．已知数列的通项公式为，则-8是该数列的第7项
C．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为
D．数列的通项公式为，则数列是递增数列
【答案】ABD
【分析】
A，由数列通项求解判断；的第出项为，B，令求解判断；C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，求解判断；D判断的符号即可.
【详解】
A，数列的第出项为，A正确；
B，令，得或（舍去），B正确；
C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为，则其通项公式为，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为C错误；
D，，则，
因此数列是递增数列，D正确，
故选：ABD．
8．(多选题)已知数列满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
列举出数列的项，判断周期，进而判断各选项正误.
【详解】
，，，，，，，，
是周期数列，周期为，且，
，A不正确；
，B正确；
，C正确；
，D正确.
故选：BCD.
三、填空题
9．已知数列的前n项和Sn＝n2－1，那么数列的通项公式为an＝__________.
【答案】
【分析】
运用数列的递推式：a1＝S1；时，an＝Sn－Sn－1，即可得到所求通项公式.
【详解】
数列的前n项和Sn＝n2－1，
可得a1＝S1＝1－1＝0；
时，，不满足，
则，
故答案为：.
10．设数列的前n项和为，且满足，，则___________.
【答案】46
【分析】
利用累加法求得数列的通项公式，将代入，即可求得.
【详解】
由，则，，，，
以上各式相加，得，故，
∴.
故答案为：46.
11．已知数列的项满足，，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】
由递推公式，用累乘法即可求解.
【详解】
因为，所以，
所以
以上式子累乘得：，
因为，所以.
故答案为：.
12．已知数列满足，且，则的通项公式为______．
【答案】
【分析】
先求得，然后利用“作差”的方法，结合累乘法求得的通项公式.
【详解】
依题意数列满足，且①.
当时，，
②，
②-①得，
则，
所以，
都符合上式.
所以的通项公式为.
故答案为：
四、解答题
13．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】答案见解析
【分析】
分别由已知数列递推式求出数列的前4项，然后归纳猜测可得所求数列的通项公式．
【详解】
（1），
归纳猜想；
（2），
归纳猜想；
（3），
归纳猜想
14．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）得到当时，，然后与原式联立，可得，然后验证是否满足即可.
（2）根据（1）中条件可得，然后使用裂项相消求和并简单判断即可.
【详解】
（1）由题意： ①
当时， ②
①－②得，即，
当时，满足上式，
所以．
（2）因为，
所以，
所以
又，所以．
15．写出下列数列的一个通项公式．
（1），，，，…；
（2）1，0，，0，，0，，…；
（3）0.8，0.88，0.888，…；
（4），，，，…．
【答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】
观察并总结各项数列的规律，直接写出对应的通项公式即可.
（1）
所给数列可写成，，，，…，
∴原数列的一个通项公式为．
（2）
由题设数列的奇偶项的规律，易知一个通项公式为．
（3）
由原数列可写成，，，…，
∴原数列的一个通项公式为．
（4）
由数列可写成，，，，…，
∴原数列的一个通项公式为．
16．已知数列的前项和，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】
根据与的关系，直接求解.
【详解】
当时，；
当时，，满足，
综上所述，.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页数列的概念
随堂检测
一、单选题
1．已知数列满足，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．在数列中，，则此数列最大项的值是（ ）
A．102 B． C． D．108
3．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数n为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
4．已知数列满足，且，则( )
A． B． C． D．
5．设数列中，（且），则（ ）
A． B． C．2 D．
6．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前项依次是、、、、、、、、、，则此数列的第项是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（多选）下列四个命题中，正确的有（ ）
A．数列的第项为
B．已知数列的通项公式为，则-8是该数列的第7项
C．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为
D．数列的通项公式为，则数列是递增数列
8．(多选题)已知数列满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知数列的前n项和Sn＝n2－1，那么数列的通项公式为an＝__________.
10．设数列的前n项和为，且满足，，则___________.
11．已知数列的项满足，，则数列的通项公式为___________.
12．已知数列满足，且，则的通项公式为______．
四、解答题
13．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
（1）；
（2）；
（3）．
14．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
15．写出下列数列的一个通项公式．
（1），，，，…；
（2）1，0，，0，，0，，…；
（3）0.8，0.88，0.888，…；
（4），，，，…．
16．已知数列的前项和，求数列的通项公式.
参考答案
1．B
【分析】
将化为，再逐一求值、总结规律，进而求解.
【详解】
由，得：，
因为，所以，，，…，
则归纳可得：，，，
则.
故选：B.
2．D
【分析】
将将看作一个二次函数，利用二次函数的性质求解.
【详解】
将看作一个二次函数，其对称轴为，开口向下，
因为，
所以当时，取得最大值，
故选：D
3．A
【分析】
依题意可得，再利用累乘法求出通项公式，再解一元二次不等式即可；
【详解】
解：由，得，
所以
因为，所以，解得，所以满足条件的最大正整数n为28.
故选：A
4．D
【分析】
化简数列的关系式，利用累乘法求解数列的通项公式即可．
【详解】
数列满足，且，
∴，，
∴，，，，
累乘可得：，
可得：．
故选：D﹒
5．A
【分析】
根据递推关系求前4项，易知数列周期为3，进而求.
【详解】
由已知得：，可求，
∴数列周期为3，
，
故选：A．
6．C
【分析】
由已知数列可得为偶数时，，为奇数时，，然后逐个分析判断即可.
【详解】
观察此数列可知，当为偶数时，，当为奇数时，.
所以，，所以C正确，
故选：C.
7．ABD
【分析】
A，由数列通项求解判断；的第出项为，B，令求解判断；C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，求解判断；D判断的符号即可.
【详解】
A，数列的第出项为，A正确；
B，令，得或（舍去），B正确；
C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为，则其通项公式为，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为C错误；
D，，则，
因此数列是递增数列，D正确，
故选：ABD．
8．BCD
【分析】
列举出数列的项，判断周期，进而判断各选项正误.
【详解】
，，，，，，，，
是周期数列，周期为，且，
，A不正确；
，B正确；
，C正确；
，D正确.
故选：BCD.
9．
【分析】
运用数列的递推式：a1＝S1；时，an＝Sn－Sn－1，即可得到所求通项公式.
【详解】
数列的前n项和Sn＝n2－1，
可得a1＝S1＝1－1＝0；
时，，不满足，
则，
故答案为：.
10．46
【分析】
利用累加法求得数列的通项公式，将代入，即可求得.
【详解】
由，则，，，，
以上各式相加，得，故，
∴.
故答案为：46.
11．
【分析】
由递推公式，用累乘法即可求解.
【详解】
因为，所以，
所以
以上式子累乘得：，
因为，所以.
故答案为：.
12．
【分析】
先求得，然后利用“作差”的方法，结合累乘法求得的通项公式.
【详解】
依题意数列满足，且①.
当时，，
②，
②-①得，
则，
所以，
都符合上式.
所以的通项公式为.
故答案为：
13．答案见解析
【分析】
分别由已知数列递推式求出数列的前4项，然后归纳猜测可得所求数列的通项公式．
【详解】
（1），
归纳猜想；
（2），
归纳猜想；
（3），
归纳猜想
14．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）得到当时，，然后与原式联立，可得，然后验证是否满足即可.
（2）根据（1）中条件可得，然后使用裂项相消求和并简单判断即可.
【详解】
（1）由题意： ①
当时， ②
①－②得，即，
当时，满足上式，
所以．
（2）因为，
所以，
所以
又，所以．
15．
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】
观察并总结各项数列的规律，直接写出对应的通项公式即可.
（1）
所给数列可写成，，，，…，
∴原数列的一个通项公式为．
（2）
由题设数列的奇偶项的规律，易知一个通项公式为．
（3）
由原数列可写成，，，…，
∴原数列的一个通项公式为．
（4）
由数列可写成，，，，…，
∴原数列的一个通项公式为．
16．
【分析】
根据与的关系，直接求解.
【详解】
当时，；
当时，，满足，
综上所述，.
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