等差数列的通项公式随堂检测
1．已知数列的前项和为，且满足，，若，则（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】B
【分析】
确定数列为等差数列，然后由基本量法求得公差和首项的可得结论．
【详解】
因为，所以数列是等差数列，
则，，
，，
所以．
故选：B．
2．某小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小拇指，6无名指，…，一直数到2013时，对应的指头是（ ）
A．大拇指 B．无名指 C．小拇指 D．中指
【答案】C
【分析】
由图中数字可知，食指和无名指对应的数为偶数，因此2013对应的指头只可能是大拇指或中指或小拇指. 然后分别求出大拇指、中指和小拇指对应数的通项公式，代入2013求解n的值，满足n为整数的即是2013对应的指头．
【详解】
解：由图中数字可知，食指和无名指对应的数为偶数，因此2013对应的指头只可能是大拇指或中指或小拇指.
大拇指对应的数分别为1，9，17，……
∴大拇指对应的数构成以1为首项，8为公差的等差数列，
其通项公式为：；
中指对应的数分别为3，7，11，15，19……
∴中指对应的数构成以3为首项，4为公差的等差数列，
其通项公式为：；
小拇指对应的数分别为5，13，21，……
∴小拇指对应的数构成以5为首项，8为公差的等差数列，
其通项公式为：．
由得，不是整数，不合题意；
由得，不是整数，不合题意；
由，得，符合题意．
∴一直数到2013时，对应的指头是小拇指．
故选：C.
3．自然数按照下表的规律排列，则上起第2013行，左起第2014列的数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先由表中的数据规律可知，第2013行中共有2013个数连线，则上起第2013行，左起第2014列的数是在第2014行第2014列的数的上面的一个数，结合等差数的通项可求得结果
【详解】
解：表中的每一行的第一个数构成的数列为，则
，，
以上式子叠加可得
由表中的数据规律可知，第2013行中共有2013个数连线，
因为第2014行的第一个数为，
第2014行的数是以为首项，1为公差的等差数列，且横行有2014个数，该数为，
则上起第2013行，左起第2014行的数是在第2014行第2014列的数的上面的一个数，
即，
故选：B
4．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的那个节气（小暑）晷长是（ ）
A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸
【答案】B
【分析】
由，，求出，夏至之后的那个节气（小暑）晷长为，由此能求出结果．
【详解】
解：先取上半年进行研究，设晷影长为等差数列，公差为，
则，，，
夏至之后的那个节气（小暑）晷长为：
，
夏至之后的那个节气（小暑）晷长为二尺五寸．
故选：．
5．等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则（ ）
A．10 B．20 C．40 D．2＋log25
【答案】B
【分析】
由等差数列的性质和指数运算得得，再根据对数运算可得答案.
【详解】
解：因为 ，所以原式＝log2220＝20.
故选：B.
6．已知数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
对递推公式进行取倒数运算，根据等差数列的定义进行求解即可.
【详解】
，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，因此，所以，
故选：A
二、多选题
7．数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列 B．数列有最小项
C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列
【答案】AD
【分析】
首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A，因为，，
所以，即
所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.
对选项B，由A知：
则，所以数列为递减数列，故D正确，B错误
对选项C，因为，所以，故C错误.
故选：AD
8．已知等差数列前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．数列是递减数列 D．为的最大值
【答案】BCD
【分析】
根据条件，得到公差与首项的关系，然后根据等差数列的相关运算公式进行判断即可．
【详解】
解：在等差数列中，，
设公差为，则，
即，所以数列是递减数列，正确．
，错误．
，正确．
，
对应的抛物线开口向下，对称轴为，当或，取得最大值，正确．
故选：．
三、填空题
9．已知等差数列满足，则=______．
【答案】
【分析】
根据等差数列的通项公式，求出公差d，再结合，求出.
【详解】
设等差数列的公差为，又
，解得：
故
故答案为：
10．数列的前项和为，且，，则___________.
【答案】
【分析】
由可得，转化为，从而可得数列是以为公差的等差数列，进而可求出
【详解】
由可得，
所以，即，所以，
所以数列是以为公差，1为首项的等差数列，
所以，得，
故答案为：
11．已知等差数列{an}中，a1＋a3＋a8＝，那么cos(a3＋a5)＝________.
【答案】
【分析】
在等差数列{an}中，设公差为d，由已知得a1＋(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝，继而有a1＋3d＝a4＝，从而a3＋a5＝2a4，代入可求得答案.
【详解】
解：在等差数列{an}中，设公差为d，由a1＋a3＋a8＝，得a1＋(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝，
∴3a1＋9d＝，即a1＋3d＝a4＝，∴a3＋a5＝2a4＝，
则cos(a3＋a5)＝cos＝－.
故答案：－.
12．各项都为正数的等差数列中，，则___________.
【答案】8.
【分析】
由等差数列的性质及条件即可解出，也就得出结论.
【详解】
∵为各项都为正数的等差数列，又
∴，即，
∴.
故答案为：8.
四、解答题
13．已知等差数列的首项为17，公差为，则此等差数列从第几项开始出现负数？
【答案】30
【分析】
由题意可得等差数列的通项公式为，令不等式，解得即可；
【详解】
解：等差数列的首项，公差，
数列的通项公式为，
令可解得，
等差数列从第30项开始出现负数；
14．已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这个4个数．
【答案】2，4，6，8或8，6，4，2．
【分析】
根据题意设四个数分别为：，，，，进而列式求解即可.
【详解】
解：设此四个数分别为：，，，．
由题意可得：，．
解得，．
∴这四数为2，4，6，8或8，6，4，2．
15．已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为等差数列，求证：．
【答案】（1）；（2）证明过程见解析.
【分析】
（1）根据前n项和与第n项的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；
（2）根据等差数列的性质，结合裂项相消法进行证明即可.
【详解】
（1）当时，，解得，
当时，，
所以有，
由题意可知：，化简得：，
所以，，
因此；
（2）由（1）可知：，，，因为为等差数列，
所以，因此，
因为，
因此有：
16．已知在数列中，，，求证：为等差数列；
【答案】证明见解析
【分析】
根据，得到，两式相减得到，再利用等差数列的定义和通项公式求解.
【详解】
当时，由，得，
两式相减得，
所以数列的奇数项和偶数项均为公差为的等差数列.
由，，得.
所以；.
所以，
则，
所以是首项为，公差为的等差数列.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页等差数列的通项公式
1．已知数列的前项和为，且满足，，若，则（ ）
A． B． C．10 D．
2．某小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小拇指，6无名指，…，一直数到2013时，对应的指头是（ ）
A．大拇指 B．无名指 C．小拇指 D．中指
3．自然数按照下表的规律排列，则上起第2013行，左起第2014列的数为（ ）
A． B．
C． D．
4．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的那个节气（小暑）晷长是（ ）
A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸
5．等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则（ ）
A．10 B．20 C．40 D．2＋log25
6．已知数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列 B．数列有最小项
C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列
8．已知等差数列前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．数列是递减数列 D．为的最大值
三、填空题
9．已知等差数列满足，则=______．
10．数列的前项和为，且，，则___________.
11．已知等差数列{an}中，a1＋a3＋a8＝，那么cos(a3＋a5)＝________.
12．各项都为正数的等差数列中，，则___________.
四、解答题
13．已知等差数列的首项为17，公差为，则此等差数列从第几项开始出现负数？
14．已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这个4个数．
15．已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为等差数列，求证：．
16．已知在数列中，，，求证：为等差数列；
参考答案
1．B
【分析】
确定数列为等差数列，然后由基本量法求得公差和首项的可得结论．
【详解】
因为，所以数列是等差数列，
则，，
，，
所以．
故选：B．
2．C
【分析】
由图中数字可知，食指和无名指对应的数为偶数，因此2013对应的指头只可能是大拇指或中指或小拇指. 然后分别求出大拇指、中指和小拇指对应数的通项公式，代入2013求解n的值，满足n为整数的即是2013对应的指头．
【详解】
解：由图中数字可知，食指和无名指对应的数为偶数，因此2013对应的指头只可能是大拇指或中指或小拇指.
大拇指对应的数分别为1，9，17，……
∴大拇指对应的数构成以1为首项，8为公差的等差数列，
其通项公式为：；
中指对应的数分别为3，7，11，15，19……
∴中指对应的数构成以3为首项，4为公差的等差数列，
其通项公式为：；
小拇指对应的数分别为5，13，21，……
∴小拇指对应的数构成以5为首项，8为公差的等差数列，
其通项公式为：．
由得，不是整数，不合题意；
由得，不是整数，不合题意；
由，得，符合题意．
∴一直数到2013时，对应的指头是小拇指．
故选：C.
3．B
【分析】
先由表中的数据规律可知，第2013行中共有2013个数连线，则上起第2013行，左起第2014列的数是在第2014行第2014列的数的上面的一个数，结合等差数的通项可求得结果
【详解】
解：表中的每一行的第一个数构成的数列为，则
，，
以上式子叠加可得
由表中的数据规律可知，第2013行中共有2013个数连线，
因为第2014行的第一个数为，
第2014行的数是以为首项，1为公差的等差数列，且横行有2014个数，该数为，
则上起第2013行，左起第2014行的数是在第2014行第2014列的数的上面的一个数，
即，
故选：B
4．B
【分析】
由，，求出，夏至之后的那个节气（小暑）晷长为，由此能求出结果．
【详解】
解：先取上半年进行研究，设晷影长为等差数列，公差为，
则，，，
夏至之后的那个节气（小暑）晷长为：
，
夏至之后的那个节气（小暑）晷长为二尺五寸．
故选：．
5．B
【分析】
由等差数列的性质和指数运算得得，再根据对数运算可得答案.
【详解】
解：因为 ，所以原式＝log2220＝20.
故选：B.
6．A
【分析】
对递推公式进行取倒数运算，根据等差数列的定义进行求解即可.
【详解】
，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，因此，所以，
故选：A
7．AD
【分析】
首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A，因为，，
所以，即
所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.
对选项B，由A知：
则，所以数列为递减数列，故D正确，B错误
对选项C，因为，所以，故C错误.
故选：AD
8．BCD
【分析】
根据条件，得到公差与首项的关系，然后根据等差数列的相关运算公式进行判断即可．
【详解】
解：在等差数列中，，
设公差为，则，
即，所以数列是递减数列，正确．
，错误．
，正确．
，
对应的抛物线开口向下，对称轴为，当或，取得最大值，正确．
故选：．
9．
【分析】
根据等差数列的通项公式，求出公差d，再结合，求出.
【详解】
设等差数列的公差为，又
，解得：
故
故答案为：
10．
【分析】
由可得，转化为，从而可得数列是以为公差的等差数列，进而可求出
【详解】
由可得，
所以，即，所以，
所以数列是以为公差，1为首项的等差数列，
所以，得，
故答案为：
11．
【分析】
在等差数列{an}中，设公差为d，由已知得a1＋(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝，继而有a1＋3d＝a4＝，从而a3＋a5＝2a4，代入可求得答案.
【详解】
解：在等差数列{an}中，设公差为d，由a1＋a3＋a8＝，得a1＋(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝，
∴3a1＋9d＝，即a1＋3d＝a4＝，∴a3＋a5＝2a4＝，
则cos(a3＋a5)＝cos＝－.
故答案：－.
12．8.
【分析】
由等差数列的性质及条件即可解出，也就得出结论.
【详解】
∵为各项都为正数的等差数列，又
∴，即，
∴.
故答案为：8.
13．30
【分析】
由题意可得等差数列的通项公式为，令不等式，解得即可；
【详解】
解：等差数列的首项，公差，
数列的通项公式为，
令可解得，
等差数列从第30项开始出现负数；
14．2，4，6，8或8，6，4，2．
【分析】
根据题意设四个数分别为：，，，，进而列式求解即可.
【详解】
解：设此四个数分别为：，，，．
由题意可得：，．
解得，．
∴这四数为2，4，6，8或8，6，4，2．
15．（1）；（2）证明过程见解析.
【分析】
（1）根据前n项和与第n项的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；
（2）根据等差数列的性质，结合裂项相消法进行证明即可.
【详解】
（1）当时，，解得，
当时，，
所以有，
由题意可知：，化简得：，
所以，，
因此；
（2）由（1）可知：，，，因为为等差数列，
所以，因此，
因为，
因此有：
16．证明见解析
【分析】
根据，得到，两式相减得到，再利用等差数列的定义和通项公式求解.
【详解】
当时，由，得，
两式相减得，
所以数列的奇数项和偶数项均为公差为的等差数列.
由，，得.
所以；.
所以，
则，
所以是首项为，公差为的等差数列.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
