2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册8.2.2两角和与差的正弦、正切 同步训练（Word含答案解析）

课时训练　两角和与差的正弦、正切
一、选择题
1.(2021·南京高一检测)sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为(　　)
A． B．
C． D．
2．函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的单调递增区间是(　　)
A．
B．
C．
D．
3. 函数y＝sin (x＋)＋cos 的最大值为(　　)
A．2　　　B．　　　C．　　　D．1
4．(2021·叙永高一检测)化简求值＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
5．已知α为锐角，且tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝2，则角α等于(　　)
A．　 B．　 C．π　 D．
6．(2021·重庆高一检测)第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为θ，则tan ＝(　　)
A． B．
C．－7 D．－
7．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
8．函数f(x)＝sin x－cos (x＋)的值域为(　　)
A． B．
C． D．
9．(2021·南昌高一检测)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边过点(2，1)，cos (α＋β)＝且β∈则sin β＝(　　)
A． B．
C． D．
10．下面各式中，正确的是(　　)
A．sin ＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos ＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
11．已知0＜α＜β＜，且tan α，tan β是方程x2－kx＋2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是(　　)
A．tan α＋tan β＝－k B．tan (α＋β)＝－k
C．k＞2 D．k＋tan α≥4
12. 在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　)
A．A＋B＝2C
B．tan ＝－
C．tan A＝tan B
D．cos B＝sin A
13．已知f(x)＝sin －cos ，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)的值为(　　)
A．2 　 B．　 C．1 　　 D．0
二、填空题
14．已知cos ＝sin ，则tan α＝______．
15.函数f(x)＝sin ＋sin 的最小正周期为________．
16．x2＋3ax＋3a＋1＝0的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________．
17．(2021·平顶山高一检测)已知θ∈，sin θ＝－，则tan ＝________．
三、解答题
18．已知α为第三象限角，若tan ＝3，求sin α.
19．已知函数f(x)＝－cos 2x cos ＋sin 2x sin .
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若＜α＜β＜，f(α)＝，且f(β)＝，求角2β－2α的大小．
20．(2021·温州高一检测)已知f(x)＝sin 2x＋cos 2x(x∈R).
(1)求f的值；
(2)若x∈，求函数f(x)的取值范围．
21．是否存在锐角α和β，使：(1)α＋2β＝π；
(2)tan tan β＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1.(2021·南京高一检测)sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选B.sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°
＝sin 11°cos 19°＋cos 11°sin 19°
＝sin (11°＋19°)＝sin 30°＝.
2．函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的单调递增区间是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，(k∈Z)，
即函数的单调递增区间为(k∈Z).
3. 函数y＝sin (x＋)＋cos 的最大值为(　　)
A．2　　　B．　　　C．　　　D．1
【解析】选A.y＝sin ＋cos
＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x＝
＝2sin .
因为－1≤sin ≤1，
所以－2≤2sin ≤2，故函数的最大值为2.
4．(2021·叙永高一检测)化简求值＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
【解析】选A.因为tan (12°－72°)＝＝tan (－60°)＝－，
所以＝＝－＝－.
5．已知α为锐角，且tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝2，则角α等于(　　)
A．　 B．　 C．π　 D．
【解析】选C.因为tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝－1，
所以2α＝－＋kπ(k∈Z)，
所以α＝－＋(k∈Z).
又因为α为锐角，所以α＝－＝.
6．(2021·重庆高一检测)第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为θ，则tan ＝(　　)
A． B．
C．－7 D．－
【解析】选B.根据题意，每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，
故设直角三角形较大直角边为a，则另一直角边为a－2，所以a2＋(a－2)2＝100，解方程得a＝8，所以sin θ＝，cos θ＝，则tan θ＝，
所以tan ＝＝.
7．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
【解析】选B.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)＝1＋
tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°，①
又tan 45°＝tan (17°＋28°)＝，
所以①式＝1＋(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°
tan 28°＝2.
同理(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝2.所以原式＝4.
8．函数f(x)＝sin x－cos (x＋)的值域为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选B.因为f(x)＝sin x－cos
＝sin x－
＝sin x－cos x
＝＝sin ，
所以－≤f(x)≤，即函数f(x)＝sin x－
cos 的值域为.
9．(2021·南昌高一检测)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边过点(2，1)，cos (α＋β)＝且β∈则sin β＝(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选C.因为角α的终边过点(2，1)，所以α是第一象限角，所以sin α＝＝，cos α＝＝，因为β∈，cos (α＋β)＝，所以α＋β为第一象限角，
所以sin (α＋β)＝＝，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α
＝×－×＝.
10．下面各式中，正确的是(　　)
A．sin ＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos ＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
【解析】选ABC.因为sin
＝sin cos ＋cos sin
＝sin cos ＋cos ，所以A正确；
因为cos ＝－cos ＝－cos
＝sin －cos cos ，所以B正确；
因为cos ＝cos ＝cos cos ＋，所以C正确；
因为cos ＝cos ≠cos －cos ，所以D不正确．
11．已知0＜α＜β＜，且tan α，tan β是方程x2－kx＋2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是(　　)
A．tan α＋tan β＝－k B．tan (α＋β)＝－k
C．k＞2 D．k＋tan α≥4
【解析】选BCD.由tan α，tan β是方程x2－kx＋2＝0的两不等实根，
所以tan α＋tan β＝k，tan α·tan β＝2，
tan (α＋β)＝＝＝－k，
由0＜α＜β＜，tan α，tan β均为正数，
则tan α＋tan β＝k≥2＝2，
当且仅当tan α＝tan β取等号，等号不成立．
k＋tan α＝2tan α＋tan β≥2＝4，
当且仅当2tan α＝tan β取等号．
12. 在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　)
A．A＋B＝2C
B．tan ＝－
C．tan A＝tan B
D．cos B＝sin A
【解析】选CD.因为C＝120°，所以A＋B＝60°，
所以2＝C，所以tan ＝，所以选项A，B错误；
因为tan A＋tan B＝＝，
所以tan A·tan B＝①，又tan A＋tan B＝②，所以联立①②解得tan A＝tan B＝，
所以cos B＝sin A，故选项C，D正确．
13．已知f(x)＝sin －cos ，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)的值为(　　)
A．2 　 B．　 C．1 　　 D．0
【解析】选D.f(x)＝sin －
cos ＝2sin
＝2sin x，因为周期为6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝0.
二、填空题
14．已知cos ＝sin ，则tan α＝______．
【解析】cos ＝cos αcos －sin αsin
＝cos α－sin α，sin ＝sin αcos －
cos αsin ＝sin α－cos α，
所以sin α＝cos α，故tan α＝1.
答案：1
15.函数f(x)＝sin ＋sin 的最小正周期为________．
【解析】由题意，函数f(x)＝sin ＋
sin ＝sin 2x－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＝sin 2x，
所以函数的最小正周期为＝π.
答案：π
16．x2＋3ax＋3a＋1＝0的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________．
【解析】因为方程x2＋3ax＋3a＋1＝0的两根为tan α，tan β，
所以tan α＋tanβ＝－3a，tan αtan β＝3a＋1，
所以tan ＝＝1，
又因为α，β∈，
tan α＋tanβ＝－3a＜0，tan αtan β＝3a＋1＞0，
所以tan α＜0，tan β＜0，
所以α，β∈，所以α＋β∈，
结合tan ＝1
所以α＋β＝－.
答案：－
17．(2021·平顶山高一检测)已知θ∈，sin θ＝－，则tan ＝________．
【解析】因为θ∈，sin θ＝－，所以cos θ＝－，则tan θ＝，
则tan ＝＝＝.
答案：
三、解答题
18．已知α为第三象限角，若tan ＝3，求sin α.
【解析】由两角差的正切公式得
tan α＝tan ＝＝＝，
由于α是第三象限角，则sin α＜0，由同角三角函数的基本关系得，
解得sin α＝－.
19．已知函数f(x)＝－cos 2x cos ＋sin 2x sin .
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若＜α＜β＜，f(α)＝，且f(β)＝，求角2β－2α的大小．
【解析】(1)因为f(x)＝－cos 2x cos ＋sin 2x sin
＝cos 2x cos ＋sin 2x sin ＝cos ，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(α)＝，且f(β)＝，
所以cos ＝，
cos ＝.
又＜α＜β＜，
所以2α－∈，2β－∈，
所以sin ＝＝，
sin＝＝，
所以cos(2β－2α)＝cos
＝cos cos ＋
sin sin
＝×＋×＝.
又＜α＜β＜，所以0＜2β－2α＜，
所以2β－2α＝.
20．(2021·温州高一检测)已知f(x)＝sin 2x＋cos 2x(x∈R).
(1)求f的值；
(2)若x∈，求函数f(x)的取值范围．
【解析】(1)f＝sin ＋cos ＝－＋＝0.
(2)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，当x∈时，2x＋∈，
则sin ∈，函数f(x)的取值范围为[1，2].
21．是否存在锐角α和β，使：(1)α＋2β＝π；
(2)tan tan β＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
【解析】存在．由(1)得＝－β，代入(2)中得：
tan tan β＝2－，
即×tan β＝2－ tan2β＋(－3)tanβ＋2－＝0，
由此解得，tan β＝1或tan β＝2－，当tan β＝1时，又因为β为锐角，所以β＝，并代入(1)得α＝；
当tan β＝2－时，代入(2)中得tan ＝1，
由于α为锐角，所以为锐角，故＝ α＝，这与已知矛盾，所以存在α＝，β＝满足条件．