-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册8.2.4三角恒等变换的应用同步训练（word版含解析）

二十　三角恒等变换的应用
一、选择题
1．(2021·南京高一检测)的值等于(　　)
A．sin 40° B．sin 50°
C．cos 130° D．±cos 50°
2．设5π＜θ＜6π，cos ＝a，那么sin 等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
3．(2021·马鞍山高一检测)设a＝cos 29°－sin 29°，b＝，c＝，则有(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
4.的值为(　　)
A．1　　　B．　　　C．　　　D．2
5．若sin ＝，则cos ＝(　　)
A． B．－ C． D．－
6．(2021·天津高一检测)△ABC中，sin ＝，则tan ＝(　　)
A． B． C．2－ D．－1
7．已知函数f(x)＝2cos 2x－2sin 2x＋1，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为2π，最大值为1
C．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为π，最大值为1
8．(2021·合肥高一检测)若|cos θ|＝，<θ<4π，则cos 的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
9．若cos α＝－，α是第三象限的角，则＝(　　)
A．－ 　 B． C．2 　 D．－2
10．下列选项中，值为的是(　　)
A．cos 72°cos 36° B．sin sin
C．＋ D．－cos 215°
11．已知函数f＝， 则有(　　)
A．函数f的图像关于直线x＝ 对称
B．函数f的图像关于点 对称
C．函数f的最小正周期为
D．函数f在 内单调递减
12.已知函数f(x)＝sin x·sin －的定义域为[m，n](m＜n)，值域为，则n－m的值可能是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
13．已知函数f(x)＝sin x cos x－cos 2x，下列命题正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)在区间上为增函数
C．直线x＝是函数f(x)图像的一条对称轴
D．函数f(x)的图像可由函数f(x)＝sin 2x的图像向右平移个单位长度得到
二、填空题
14．若sin ＋2cos ＝0，则tan ＝________，
tan θ＝________．
15．(2021·上海高一检测)已知sinθ＋cos θ＝且≤θ≤π，则sin ＝________．
16．(2021·北京高一检测)已知sin －cos ＝－，450°<α<540°，则tan 的值为________．
17．已知α∈，且2sin2α－sinα·cos α－3cos2α＝0，则＝________．
18．已知cos cos ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________．
三、解答题
19．已知三点A，B，C的坐标分别为A(cos α，sin α)(α≠，k∈Z)，B(3，0)，C(0，3)，若·＝－1，求的值．
20．在平面直角坐标系xOy中，设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)，c＝.
(1)若|a＋b|＝|c|，求sin (α－β)的值；
(2)设α＝，0＜β＜π，且a∥(b＋c).求β的值．
21．已知函数f(x)＝.
(1)求f的值；
(2)当x∈时，求g(x)＝f(x)＋sin2x的最大值和最小值．
参考答案
一、选择题
1．(2021·南京高一检测)的值等于(　　)
A．sin 40° B．sin 50°
C．cos 130° D．±cos 50°
【解析】选B.因为＝|sin 50°|.又因为sin 50°>0，所以原式＝sin 50°.
2．设5π＜θ＜6π，cos ＝a，那么sin 等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
【解析】选D.若5π＜θ＜6π，则＜＜，
则sin ＝－＝－.
3．(2021·马鞍山高一检测)设a＝cos 29°－sin 29°，b＝，c＝，则有(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
【解析】选C.a＝cos29°－sin 29°
＝sin 60°cos 29°－cos 60°sin 29°＝sin (60°－29°)＝sin 31°，
b＝＝sin 29°，
c＝＝＝＝sin32°，
因为y＝sin x在[0°，90°]上为增函数，
所以sin 32°>sin 31°>sin 29°，所以c>a>b.
4.的值为(　　)
A．1　　　B．　　　C．　　　D．2
【解析】选C.原式＝
＝＝＝.
5．若sin ＝，则cos ＝(　　)
A． B．－ C． D．－
【解析】选D.依题意cos ＝2cos2－1
＝2cos2－1＝2sin2－1＝－1＝－.
6．(2021·天津高一检测)△ABC中，sin ＝，则tan ＝(　　)
A． B． C．2－ D．－1
【解析】选C.因为在△ABC中，sin ＝，所以cos A＝，且A为锐角，所以tan ＝＝2－.
7．已知函数f(x)＝2cos 2x－2sin 2x＋1，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为2π，最大值为1
C．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为π，最大值为1
【解析】选C.f(x)＝2·－2·＋1＝1＋cos 2x－1＋cos 2x＋1＝2cos 2x＋1，
故T＝＝π，f(x)max＝2＋1＝3.
8．(2021·合肥高一检测)若|cos θ|＝，<θ<4π，则cos 的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
【解析】选C.因为|cos θ|＝，<θ<4π，所以cos θ＝，∈，
所以cos >0，所以cos ＝＝＝.
9．若cos α＝－，α是第三象限的角，则＝(　　)
A．－ 　 B． C．2 　 D．－2
【解析】选A.因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－.所以＝＝
＝·＝＝＝－.
10．下列选项中，值为的是(　　)
A．cos 72°cos 36° B．sin sin
C．＋ D．－cos 215°
【解析】选AB.cos 72°cos 36°＝
＝＝＝＝，故A满足．
sin sin ＝sin cos ＝＝＝，故B满足．
＋＝＝＝4，故C不满足．
－cos 215°＝＝－cos 30°
＝－，故D不满足．
11．已知函数f＝， 则有(　　)
A．函数f的图像关于直线x＝ 对称
B．函数f的图像关于点 对称
C．函数f的最小正周期为
D．函数f在 内单调递减
【解析】选BD. 因为f＝＝＝－tan x，所以f的图像不是轴对称图形，关于点 对称，周期为π ，在 内单调递减．
12.已知函数f(x)＝sin x·sin －的定义域为[m，n](m＜n)，值域为，则n－m的值可能是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【解析】选AB.f(x)＝sin x·sin －
＝sin x－
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－
＝
＝sin ，值域为，
sin ∈，
所以2x－∈，
故x∈，k∈Z，
kπ＋－＝，所以n－m最大为.
13．已知函数f(x)＝sin x cos x－cos 2x，下列命题正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)在区间上为增函数
C．直线x＝是函数f(x)图像的一条对称轴
D．函数f(x)的图像可由函数f(x)＝sin 2x的图像向右平移个单位长度得到
【解析】选BC.f(x)＝sin x cos x－cos2x
＝sin2x－＝sin －，
所以f(x)最小正周期T＝＝π，A错误；
当x∈时，2x－∈，
此时f(x)＝sin 单调递增，
所以f(x)在上单调递增，B正确；
当x＝时，2x－＝，
是f(x)＝sin 的对称轴，
所以x＝是f(x)的一条对称轴，C正确；
将f(x)＝sin 2x的图像向右平移个单位得到y＝sin 2＝sin 的图像，D错误．
二、填空题
14．若sin ＋2cos ＝0，则tan ＝________，
tan θ＝________．
【解析】由sin ＋2cos ＝0，得tan ＝－2，
则tan θ＝＝.
答案：－2　
15．(2021·上海高一检测)已知sinθ＋cos θ＝且≤θ≤π，则sin ＝________．
【解析】因为≤θ≤π，所以sin θ>0，cos θ<0，且≤≤.又sin θ＋cos θ＝①
所以(sin θ＋cos θ)2＝，
所以2sin θcos θ＝－，所以(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
所以cos θ－sin θ＝－②.
联立①②得
所以sin ＝sin ＝
＝＝.
答案：
16．(2021·北京高一检测)已知sin －cos ＝－，450°<α<540°，则tan 的值为________．
【解析】由题意得＝
即1－sin α＝，所以sin α＝.
因为450°<α<540°，所以cos α＝－，
所以tan ＝＝＝2.
答案：2
17．已知α∈，且2sin2α－sinα·cos α－3cos2α＝0，则＝________．
【解析】因为α∈，且2sin2α－sinα·cos α－3cos2α＝0则(2sinα－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，
又因为α∈，sin α＋cos α＞0，
所以2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
所以cosα＝，sin α＝，
所以
＝
＝＝.
答案：
18．已知cos cos ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________．
【解析】因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ＝.
所以cos 2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝＋
＝＋＝.
答案：
三、解答题
19．已知三点A，B，C的坐标分别为A(cos α，sin α)(α≠，k∈Z)，B(3，0)，C(0，3)，若·＝－1，求的值．
【解析】＝(3－cos α，－sin α)，
＝(－cos α，3－sin α)，因为·＝－1，
所以(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，
整理得：sin α＋cos α＝　①，
＝
＝＝2sin αcos α，
由①平方得1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－，即＝－.
20．在平面直角坐标系xOy中，设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)，c＝.
(1)若|a＋b|＝|c|，求sin (α－β)的值；
(2)设α＝，0＜β＜π，且a∥(b＋c).求β的值．
【解析】(1)因为a＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)，c＝，
所以|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a·b＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin (α－β)，
因为|a＋b|＝|c|，所以|a＋b|2＝|c|2，
即a2＋2a·b＋b2＝1，所以1＋2sin (α－β)＋1＝1，即sin (α－β)＝－.
(2)因为α＝，所以a＝，
由题意：b＋c＝，
因为a∥(b＋c)，
所以－－＝0，
所以sin β－cos β＝，所以sin ＝.
又因为0＜β＜π，所以－＜β－＜π，
所以β－＝，即β＝.
21．已知函数f(x)＝.
(1)求f的值；
(2)当x∈时，求g(x)＝f(x)＋sin2x的最大值和最小值．
【解析】(1)f(x)＝＝
＝＝＝＝2cos 2x.
所以f＝2cos ＝2cos ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝2cos 2x，
g(x)＝f(x)＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝sin .
因为x∈，所以≤2x＋≤，
所以g(x)max＝，g(x)min＝－1.