变化率问题 导数的概念
学 习 目 标 核 心 素 养
1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点) 1.通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、导数的概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.通过求平均变化率、瞬时变化率及导数的学习，培养逻辑推理及数学运算的核心素养.
1．函数的平均变化率
(1)函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率为＝，其中Δx＝x2－x1是相对于x1的一个“增量”，Δy＝f (x2)－f (x1)＝f (x1＋Δx)－f (x1)是相对于f (x1)的一个“增量”．
(2)平均变化率的几何意义
设A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))是曲线y＝f (x)上任意不同的两点，函数y＝f (x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示．
思考：Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？
[提示] Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率可正、可负、可为零．
2．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，
即 ＝ .
3．导数的概念
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f ′(x0)或y′|，即f ′(x0)＝ .
1．函数y＝f (x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
A．f (x0＋Δx) B．f (x0)＋Δx
C．f (x0)·Δx D．f (x0＋Δx)－f (x0)
D [Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)，故选D.]
2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．－1.1
B [＝＝＝＝4.1，故选B.]
3．函数f (x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．
2 [∵f (x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是
＝ ＝
＝ (2＋Δx)＝2.]
4．函数f (x)＝2在x＝6处的导数等于________．
0 [f ′(6)＝ ＝ ＝0.]
求函数的平均变化率
【例1】 已知函数f (x)＝3x2＋5，求f (x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
[解] (1)因为f (x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9.
(2)f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx.
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量Δy＝f (x2)－f (x1)；
第三步，求平均变化率＝.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
[跟进训练]
1．如图所示，函数y＝f (x)在A，B两点间的平均变化率等于( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
B [平均变化率为＝－1.故选B.]
2．已知函数y＝f (x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx
D [＝＝4＋2Δx.故选D.]
求瞬时速度
[探究问题]
1．物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，如何计算物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度？
[提示] Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt.
2．当Δt趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
[提示] 当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．
【例2】 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
思路探究：
―→
[解] ∵＝
＝＝3＋Δt，
∴ ＝ (3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
[解] 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝＝1＋Δt，
∴ (1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.
2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
[解] 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝＝(2t0＋1)＋Δt.
＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，
∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
求函数在某一点处的导数
【例3】 (1)设函数y＝f (x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f ′(x0)等于( )
A．1 B．－1 C．－ D．
(2)求函数f (x)＝x－在x＝1处的导数．
思路探究：(1)类比f ′(x0)＝ 求解．
(2)―→―→
(1)C [∵
＝ ＝－3f ′(x0)＝1，
∴f ′(x0)＝－，故选C.]
(2)[解] ∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴f ′(1)＝ ＝ ＝2.
求函数y＝f (x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差、二比、三极限．
[跟进训练]
3．已知f ′(1)＝－2，则 ＝________.
4 [∵f ′(1)＝－2，
∴ ＝
＝－2 ＝－2f ′(1)＝－2×(－2)＝4.]
4．求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
[解] ∵Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴＝6＋3Δx，
∴f ′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6.
1．极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限．
2．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：f ′(x0)＝ ＝ ＝ ，且y＝f (x)在x0处的导数是一个局部概念．
特别提醒：①取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.
②函数在x0处的导数f ′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )
A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2
B [＝＝＝2.]
2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是( )
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率
B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率
C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]
3．设函数f (x)＝ax＋3，若f ′(1)＝3，则a等于( )
A．2 B．－2 C．－3 D．3
D [因为f ′(1)＝
＝ ＝a.
因为f ′(1)＝3，
所以a＝3.]
4．设f (x)在x0处可导，若 ＝A，则f ′(x0)＝________.
[
＝3 ＝3f ′(x0)＝A.
故f ′(x0)＝A.]
5．在曲线y＝f (x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)；(2)f ′(1)．
[解] (1)＝
＝
＝2＋Δx.
(2)f ′(1)＝
＝ (2＋Δx)＝2.
导数的几何意义
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求导函数．(重点、难点)3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点) 1.通过导数几何意义的学习，培养学生数学抽象及直观想象的核心素养.2.借助切线方程的求解，提升学生的数学运算核心素养.
1．导数的几何意义
(1)切线的定义
如图所示，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义
导数的几何意义：函数f (x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝ ＝f ′(x0)．
(3)切线方程：曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
2．导函数
对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f ′(x)便是x的一个函数，我们称它为f (x)的导函数(简称为导数)，即f ′(x)＝y′＝ .
思考： f ′(x0)与f ′(x)有什么区别？
[提示] f ′(x0)是一个确定的数，而f ′(x)是一个函数．
1．若曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．f ′(x0) ＝－2 B．f ′(x0) ＝2
C．f ′(x0) ＝－1 D．f ′(x0) ＝1
A [因为直线2x＋y＋1＝0的斜率为－2，由f ′(x0)的几何意义可知f ′(x0) ＝－2.]
2．已知函数f (x)在x0处的导数为f ′(x0)＝1，则函数f (x)在x0处切线的倾斜角为________．
45° [设切线的倾斜角为α，则
tan α＝f ′(x0) ＝1，又α∈[0°，180°)，
∴α＝45°.]
3．若函数f (x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．
x＋y－3＝0 [切线的斜率为k＝－1.
∴点 A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.]
导数几何意义的应用
【例1】 (1)已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( )
A．f ′(xA)＞f ′(xB)
B．f ′(xA)＜f ′(xB)
C．f ′(xA)＝f ′(xB)
D．不能确定
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义，f ′(xA)，f ′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f ′(xA)＜f ′(xB)．
(2)由题意，知k＝y′|x＝0
＝ ＝1，
∴a＝1.
又(0，b)在切线上，
∴b＝1，故选A.]
1．本例(2)中主要涉及了两点：①f ′(0)＝1，②f (0)＝b.
2．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．
3．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
[跟进训练]
1．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B． C．－ D．－1
A [由题意可知，f ′(1)＝2.
又 ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a.故由2a＝2得a＝1.]
2．如图，函数y＝f (x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f (2)＋f ′(2)等于( )
A．－4 B．3 C．－2 D．1
D [直线l的方程为＋＝1，
即x＋y－4＝0.
又由题意可知f (2)＝2，f ′(2)＝－1，
∴f (2)＋f ′(2)＝2－1＝1.]
求切点坐标
【例2】 过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1) 平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
[解] f ′(x)＝ ＝ ＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
(3)∵切线与x轴成135°的倾斜角，
∴其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f ′(x)；
(3)求切线的斜率f ′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)将x0代入f (x)求y0得切点坐标．
[跟进训练]
3．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．
[解] 设切点P(m，n)，切线斜率为k，
由y′＝ ＝
＝ (4x＋2Δx)＝4x，得k＝y′|x＝m＝4m.
由题意可知4m＝8，∴m＝2.
代入y＝2x2－7得n＝1.故所求切点P为(2,1).
求曲线的切线方程
[探究问题]
1．如何求曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程？
[提示] y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．
2．曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？
[提示] 曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线，点(x0，f (x0))一定是切点，只要求出k＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
[提示] 不一定．曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f (x)的交点个数不一定只有一个，如图所示．
【例3】 已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．
思路探究：(1)―→―→
(2)―→eq \x(求y′|)―→
eq \x(由y′|＝\f (y0－1,x0－1)求 x0，y0 ) ―→
[解] (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．
y′|x＝1＝ ＝ ＝[3＋3Δx＋Δx2]＝3.∴k＝y′|x＝1＝3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x，由题意可知kPQ＝y′|，
即＝3x，又y0＝x，所以＝3x，即2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－.
①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.
②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0.
1．(变结论)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[解] 由
解得或
从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．
2．(变条件)求曲线y＝f (x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．
[解] 设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，
当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.
因此，＝2a，
解得a＝1±，
所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
1．曲线f (x)在x0附近的变化情况可通过在x0处的切线刻画：f ′(x0)>0说明曲线在x0处的切线斜率为正值，在x0附近曲线是上升的；f ′(x0)<0说明曲线在x0处的切线斜率为负值，在x0附近曲线是下降的．
2．曲线在某点处切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
3．在求曲线上某点处的切线方程时，要注意区分切线、切线的斜率和该点处的导数这三者之间的关系，函数在某点处可导是曲线在该点处存在切线的充分不必要条件．因此，在求曲线上某点处的切线方程时，如果导数不存在，可由切线的定义来求切线方程．
1．已知曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f ′(1)＝( )
A．4 B．－4 C．－2 D．2
D [由导数的几何意义知f ′(1)＝2，故选D.]
2．下面说法正确的是( )
A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线
B．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处有切线，则f ′(x0)必存在
C．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在
C [根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．]
3.已知二次函数y＝f (x)的图象如图所示，则y＝f (x)在A，B两点处的导数f ′(a)与f ′(b)的大小关系为：f ′(a)________f ′(b)(填“＜”或“＞”)．
＞ [f ′(a)与f ′(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，
由图象可得f ′(a)＞f ′(b)．]
4．已知曲线y＝f (x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为________．
8 [f ′(2)＝
＝ ＝ (8＋2Δx)＝8，
即k＝8.]
5．已知曲线y＝f (x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.求P点坐标．
[解] 设点P(x0,2x＋4x0)，
则f ′(x0)＝
＝ ＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16得x0＝3，
∴P(3,30)．
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7基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解复合函数的概念(易混点)．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点). 1.通过复合函数求导公式的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养．2．借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升学生的数学运算的核心素养.
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．
思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
[提示] 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
1．已知函数f (x)＝cos x＋ln x，则f ′(1)的值为( )
A．1－sin 1 B．1＋sin 1
C．sin 1－1 D．－sin 1
A [因为f ′(x)＝－sin x＋，
所以f ′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.故选A.]
2．函数y＝的导数是( )
A．y′＝ B．y′＝
C．y′＝－ D．y′＝－
C [∵y＝，
∴y′＝－2××(3x－1)′
＝－.]
3．函数y＝ln(x－2)的导数是________．
[答案] y′＝
4．函数y＝是由________三个函数复合而成的．
[答案] y＝，u＝v2＋1，v＝sin x
复合函数的导数
【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.
[解] (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′
＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
1．解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
[跟进训练]
1．求下列函数的导数．
(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；
(3)y＝2sin；(4)y＝.
[解] (1)令u＝3x－2，
则y＝10u，
所以y′x＝y′u·ux′＝10uln 10·(3x－2)′
＝3×103x－2ln 10.
(2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u，
所以y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(3)设y＝2sin u，u＝3x－，
则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos.
(4)设y＝u－，u＝1－2x，
则y′x＝y′u·u′x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u))′·(1－2x)′
＝－ueq \s\up12(－)×(－2)＝(1－2x)eq \s\up12(－).
复合函数与导数的运算法则的综合应用
【例2】 求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝x；
(3)y＝xcossin.
[解] (1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝，
∴y′＝
＝＝.
(2)y′＝(x)′＝x′＋x()′
＝＋
＝.
(3)∵y＝xcossin
＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，
∴y′＝＝－sin 4x－cos 4x·4
＝－sin 4x－2xcos 4x.
应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：
(1)中间变量的选取应是基本函数结构．
(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．
(4)善于把一部分表达式作为一个整体．
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．
[跟进训练]
2．求下列函数的导数．
(1)y＝sin2；(2)y＝sin3x＋sin x3；
(3)y＝；(4)y＝xln(1＋x)．
[解] (1)∵y＝，
∴y′＝＝sin x.
(2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
(3)y′＝＝eq \f (－\f (1,2) 1－x 1－x ′,1－x)
＝.
(4)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′
＝ln(1＋x)＋.
导数运算法则的综合应用
[探究问题]
1．若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？
[提示] 设P(x0，y0)，由题意可知y′|＝e，
所以e＝1，即x0＝0，∴点P(0,1)．
由点P(0,1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.
2．若点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离？
[提示] 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
∴e＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
【例3】 (1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A． B．2
C．3 D．0
(2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
思路探究：(1)―→eq \x(\a\al(由y′|＝2,求P x0，y0 ))―→
(2)―→
(1)A (2)2 [(1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，∴y′|＝＝2，
解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，
即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
(2)令y＝f (x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2.]
1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值．
[解] 由题意可知，设切点P(x0，y0)，则
y′|＝＝2，∴x0＝1，即切点P(1,0)，
∴＝2，解得m＝8或－12.
即实数m的值为8或－12.
2．(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积．
[解] 由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.
令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－.∴SΔ＝××1＝.
本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
1．导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．
2．求简单复合函数f (ax＋b)的导数
实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f (u)，u＝ax＋b的形式，然后再对y＝f (u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f (u)，u＝ax＋b的形式是关键．
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
[答案] A
2．函数y＝(2 019－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2 019－8x)2 B．－24x
C．－24(2 019－8x)2 D．24(2 019－8x)2
C [y′＝3(2 019－8x)2×(2 019－8x)′
＝3(2 019－8x)2×(－8)＝－24(2 019－8x)2.]
3．函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
B [y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′
＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcos 2x－2x2sin 2x.]
4．已知f (x)＝ln(3x－1)，则f ′(1)＝________.
[∵f ′(x)＝，
∴f ′(1)＝＝.]
5．求曲线y＝eeq \s\up12()在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积．
[解] y′＝eeq \s\up12()，切线的斜率k＝e2，
则切线方程为y－e2＝(x－4)，
令x＝0，得y＝－e2，
令y＝0，得x＝2，
∴切线与坐标轴围成的面积为×2×|－e2|＝e2.
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8基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
学 习 目 标 核 心 素 养
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)3.能利用导数的运算法则求函数的导数．(重点、易混点) 1.通过基本初等函数的导数公式、导数运算法则的学习，体现数学运算的核心素养.2.借助导数运算法则的应用，提升学生的逻辑推理核心素养.
1．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈Q*) f ′(x)＝αxα－1
f (x)＝sin x f ′(x)＝cos x
f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin x
f (x)＝ax f ′(x)＝axln a(a＞0)
f (x)＝ex f ′(x)＝ex
f (x)＝logax f ′(x)＝(a＞0，且a≠1)
f (x)＝ln x f ′(x)＝
2.导数的运算法则
(1)和差的导数
[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)．
(2)积的导数
①[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；
②[cf (x)]′＝cf ′(x)．
(3)商的导数
＝(g(x)≠0)．
1.等于( )
A． B．1
C．0 D．
C [因常数的导数等于0，故选C.]
2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于( )
A． B．10
C．10ln 10 D．
C [∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.]
3．(1)＝________；(2)(xex)′＝________.
(1) (2)(1＋x)ex [(1)＝＝；
(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.]
4．函数f (x)＝sin x，则f ′(6π)＝________.
1 [f ′(x)＝cos x，所以f ′(6π)＝1.]
利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos.
[解] (1)∵y＝cos ＝，∴y′＝0.
(2)∵y＝＝x－5，∴y′＝－5x－6.
(3)∵y＝＝eq \f (x2,x)＝xeq \s\up12()，∴y′＝xeq \s\up12().
(4)∵y＝lg x，∴y′＝.
(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln 5.
(6)y＝cos＝sin x，∴y′＝cos x.
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．
[跟进训练]
1．下列结论，
①(sin x)′＝cos x；②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝xeq \s\up12()；
③ (log3x)′＝；④(ln x)′＝.
其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
C [①(sin x)′＝cos x，正确；
②(x)′＝xeq \s\up12()，错误；
③(log3x)′＝，错误；
④(ln x)′＝，正确；所以①④正确，故选C.]
利用导数的运算法则求导数
[探究问题]
1．如何求函数y＝tan x的导数？
[提示] y＝tan x＝，
故y′＝＝
＝.
2．如何求函数y＝2sin cos 的导数？
[提示] y＝2sin cos ＝sin x，故y′＝cos x.
【例2】 求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝；
(4)y＝x2－sin cos.
[解] (1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x，
∴y′＝2x－cos x.
1．(变条件)把例2(4)的函数换成“y＝xtan x”，求其导数．
[解] y′＝(x·tan x)′＝
＝
＝
＝.
2．(变结论)求例2(3)中的函数在点(1,0)处的切线方程．
[解] ∵y′|x＝1＝，
∴函数y＝在点(1,0)处的切线方程为y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
利用导数公式求曲线的切线方程
【例3】 求过曲线y＝sin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
[解] ∵y＝sin x，∴y′＝cos x，
曲线在点P处的切线斜率是：
y′|eq \s\do6(x＝)＝cos ＝.
∴过点P且与过这点的切线垂直的直线的斜率为－，
故所求的直线方程为y－＝－，
即2x＋y－－＝0.
导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．
[跟进训练]
2．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
e2 [∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴切线与坐标轴所围成三角形的面积为：S＝×1×|－e2|＝e2.]
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导，如求y＝1－2sin2的导数，因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
1．给出下列命题：
①y＝ln 2，则y′＝；
②y＝，则y′|x＝3＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln 2；
④y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－，故②正确；显然③，④正确，故选C.]
2．已知f (x)＝xα(α∈Q*)，若f ′(1)＝，则α等于( )
A. B． C． D．
D [∵f (x)＝xα，∴f ′(x)＝αxα－1，∴f ′(1)＝α＝.]
3．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
D [∵y＝－2exsin x，∴y′＝－2exsin x－2excos x＝－2ex(sin x＋cos x)．]
4．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．
x＋y－6＝0 [∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.]
5．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝log2x2－log2x；
(3)y＝；
(4)y＝－2sin .
[解] (1)y′＝()′＝(x)′＝xeq \s\up12(－1)＝xeq \s\up12(－)＝.
(2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝.
(3)法一：y′＝＝cos x＋(cos x)′＝(x)′cos x－sin x＝－xeq \s\up12(－)cos x－sin x＝－－sin x＝－－sin x＝－.
法二：y′＝＝
＝eq \f (－sin x·\r(x)－cos x·\f (1,2)·x,x)＝－
＝－.
(4)∵y＝－2sin
＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
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7函数的单调性与导数
学 习 目 标 核 心 素 养
1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点) 1.通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养学生的逻辑推理、直观想象的核心素养．2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
1．函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
f ′(x)的正负 f (x)的单调性
f ′(x)＞0 单调递增
f ′(x)＜0 单调递减
思考：如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f (x)有什么特性？
[提示] f (x)是常数函数．
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f (x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
1．函数f (x)＝x＋ln x在(0,6)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
A [∵x∈(0,6)时，f ′(x)＝1＋＞0，∴函数f (x)在(0,6)上单调递增．]
2．函数y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能是( )
D [∵函数f (x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f ′(x)＜0，
当x＜0时，f ′(x)＜0.]
3．函数f (x)＝ex－x的单调递增区间为________．
(0，＋∞) [∵f (x)＝ex－x，
∴f ′(x)＝ex－1.
由f ′(x)＞0得，ex－1＞0，
即x＞0.
∴f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]
函数与导函数图象间的关系
【例1】 (1)设函数f (x)在定义域内可导，y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为( )
(2)已知f ′(x)是f (x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象只可能是( )
(1)D (2)D [(1)由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
(2)从f ′(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减．即函数f (x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．]
研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
[跟进训练]
1．已知y＝xf ′(x)的图象如图所示(其中f ′(x)是函数f (x)的导函数)下面四个图象中，y＝f (x)的图象大致是( )
C [当0＜x＜1时，xf ′(x)＜0，
∴f ′(x)＜0，故f (x)在(0,1)上为减函数；
当x＞1时，xf ′(x)＞0，∴f ′(x)＞0，
故y＝f (x)在(1，＋∞)上为增函数．故选C.]
利用导数求函数的单调区间
角度1 不含参数的函数求单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间．
(1)f (x)＝3x2－2ln x；(2)f (x)＝x2·e－x；
(3)f (x)＝x＋.
[解] (1)函数的定义域为D＝(0，＋∞)．∵f ′(x)＝6x－，令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)，用x1分割定义域D，得下表：
x
f ′(x) － 0 ＋
f (x) ↘ ↗
∴函数f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f ′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) ↘ ↗ ↘
∴f (x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．
(3)函数的定义域为D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f ′(x)＝1－，令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定义域D，得下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f (x) ↗ ↘ ↘ ↗
∴函数f (x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
角度2 含参数的函数的单调区间
【例3】 讨论函数f (x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
思路探究：―→
―→
[解] 函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ax＋1－＝.
(1)当a＝0时，f ′(x)＝，由f ′(x)＞0，得x＞1，
由f ′(x)＜0，得0＜x＜1.
∴f (x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
(2)当a＞0时，
f ′(x)＝，
∵a＞0，∴－＜0.
由f ′(x)＞0，得x＞1，由f ′(x)＜0，得0＜x＜1.
∴f (x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
综上所述，当a≥0时，f (x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
利用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f (x)的定义域．
(2)求导数f ′(x)．
(3)由f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f ′(x)>0时，f (x)在相应的区间上是增函数；当f ′(x)<0时，f (x)在相应区间上是减函数．
(4)结合定义域写出单调区间．
[跟进训练]
2．设f (x)＝ex－ax－2，求f (x)的单调区间．
[解] f (x)的定义域为
(－∞，＋∞)，f ′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f ′(x)＞0，
所以f (x)在(－∞， ＋∞)上单调递增．
若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f ′(x)＜0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0.
所以f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
已知函数的单调性求参数的范围
[探究问题]
1．在区间(a，b)内，若f ′(x)＞0，则f (x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
[提示] 不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f ′(x)＞0是y＝f (x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
2．若函数f (x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f ′(x)满足什么条件？
[提示] f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)．
【例4】 已知函数f (x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．
思路探究：―→―→
[解] 由已知得f ′(x)＝3x2－a，
因为f (x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，
f (x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
1．(变条件)若函数f (x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的取值范围．
[解] 由f ′(x)＝3x2－a，①当a≤0时，f ′(x)≥0，
∴f (x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f ′(x)＜0.
∴f (x)在上为减函数，
∴f (x)的单调递减区间为，
∴＝1，即a＝3.
2．(变条件)若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的范围．
[解] 由题意可知f ′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴，即，∴a≥3.
即a的取值范围是[3，＋∞)．
3．(变条件)若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不单调，求a的范围．
[解] ∵f (x)＝x3－ax－1，∴f ′(x)＝3x2－a，
由f ′(x)＝0，得x＝±(a≥0)，
∵f (x)在区间(－1,1)上不单调，
∴0＜＜1，即0＜a＜3.
故a的取值范围为(0,3)．
1．解答本题注意：可导函数f (x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f ′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
2．已知f (x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f (x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f (x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f (x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)求导数f (x)；
(3)在函数f (x)的定义域内解不等式f ′(x)>0和f ′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f (x)的单调区间．
1.设函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为( )
C [∵f (x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上为增函数，
∴当x＜1或x＞4时，f ′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f ′(x)＞0.故选C.]
2．函数f (x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)
D [∵f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f ′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.
∴f (x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]
3．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
B [函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0＜x≤1.]
4．若函数f (x)＝x3－ax2－x＋6在(0, 1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
A [∵f ′(x)＝3x2－2ax－1，
且f (x)在(0,1)内单调递减，
∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，
∴f ′(0)≤0，
且f ′(1)≤0，∴a≥1.]
5．求函数y＝x2－4x＋a的单调区间．
[解] y′＝2x－4，令y′＞0，得x＞2；令y′＜0，得x＜2，
所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2)．
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9函数的极值与导数
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解极大值、极小值的概念．(难点)2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点) 1.通过极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
思考：导数为0的点一定是极值点吗？
[提示] 不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0, 但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．
2．求可导函数y＝f (x)的极值的方法
解方程f ′(x)＝0.当f ′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值．
1．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
C [设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
2．函数f (x)＝－的极值点为( )
A．0 B．－1
C．0或1 D．1
D [∵f ′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，
由f ′(x)＝0得x＝0或x＝1.
又当x＞1时f ′(x)＞0,0＜x＜1时f ′(x)＜0，
∴1是f (x)的极小值点．
又x＜0时f ′(x)＜0，故x＝0不是函数的极值点．]
3．下列关于函数的极值的说法正确的是( )
A．导数值为0的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值
D．若f (x)在(a，b)内有极值，那么f (x)在(a，b)内不是单调函数
D [由极值的概念可知只有D正确．]
4．函数f (x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．
2 [由f ′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表如下：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝2时，f (x)取得极小值．]
求函数的极值点和极值
角度1 不含参数的函数求极值
【例1】 求下列函数的极值
(1)y＝x3－3x2－9x＋5；
(2)y＝x3(x－5)2.
[解] (1)∵y′＝3x2－6x－9，
令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
y′ ＋ 0 － 0 ＋
y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝－1时，函数y＝f (x)有极大值，且f (－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22.
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)
＝5x2(x－3)(x－5)，令y′＝0，
即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,3) 3 (3,5) 5 (5，＋∞)
y′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋
y ↗ 无极值 ↗ 极大值108 ↘ 极小值0 ↗
∴x＝0不是y的极值点；
x＝3是y的极大值点，y极大值＝f (3)＝108；
x＝5是y的极小值点，y极小值＝f (5)＝0.
[跟进训练]
1．求函数f (x)＝x3－4x＋4的极值．
[解] 由题意可知f ′(x)＝x2－4.
解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.
由f ′(x)＞0得x＜－2或x＞2；
由f ′(x)＜0得－2＜x＜2.
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ↗ ↘ － ↗
由表可知：当x＝－2时，f (x)有极大值f (－2)＝.
当x＝2时，f (x)有极小值f (2)＝－.
角度2 含参数的函数求极值
【例2】 已知函数f (x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当a∈R且a≠时，求函数的极值．
思路探究：
―→
[解] f ′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f ′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.
由a≠知，－2a≠a－2.
以下分两种情况讨论：
若a＞，则－2a＜a－2.当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴f (x)在(－∞，－2a) ，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．
∴函数f (x)在x＝－2a处取得极大值f (－2a)，且f (－2a)＝3ae－2a；
函数f (x)在x＝a－2处取得极小值f (a－2)，且f (a－2)＝(4－3a)ea－2.
若a＜，则－2a＞a－2，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴f (x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．
∴函数f (x)在x＝a－2处取得极大值f (a－2)，且f (a－2)＝(4－3a)ea－2；
函数f (x)在x＝－2a处取得极小值f (－2a)，
且f (－2a)＝3ae－2a.
求可导函数f (x)的极值的步骤
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的导数f ′(x)；
(3)令f ′(x)＝0，求出全部的根x0；
(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；
(5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．
[跟进训练]
2．若函数f (x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f (x)的极值．
[解] 函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－＝.
(1)当a≤0时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x)无极值．
(2)当a＞0时，令f ′(x)＝0，
解得x＝a.
当0＜x＜a时，f ′(x)＜0；当x＞a时，f ′(x)＞0.
∴f (x)在x＝a处取得极小值，且f (a)＝a－aln a，无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f (x)无极值；
当a＞0时，函数f (x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
由极值求参数的值或取值范围
【例3】 (1)若函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________.
(2)已知函数f (x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
思路探究： (1)由f ′(1)＝0及f (1)＝10求a，b，注意检验极值的存在条件；
(2)f (x)在(1，＋∞)内有两个极值点，等价于f ′(x)＝0在(1，＋∞)内有两个不等实根．
(1)4，－11 [f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f (x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以，不符合题意，应舍去．
而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.]
(2)[解] f ′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f (x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f ′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
[跟进训练]
3．已知f (x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值．
[解] ∵f ′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，
令f ′(x)＝0，则x＝－m或x＝m.
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (－∞，－m) －m m
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴f (x)极大值＝f (－m)＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，∴m＝1.
极值问题的综合应用
[探究问题]
1．如何画出函数f (x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象．
[提示] f ′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．
由f ′(x)＞0得x＜－2或x＞3，
∴函数f (x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．
由f ′(x)＜0得－2＜x＜3，
∴函数f (x)的递减区间是(－2,3)．
由已知得f (－2)＝60，f (3)＝－65，f (0)＝16.
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f (x)大致图象如图所示(答案不唯一)．
2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x ＋16＝a有几解？
[提示] 方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：
(1)当a＞60或a＜－65时， 方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；
(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；
(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a三解．
【例4】 已知函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f (x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
思路探究：求出函数的极值，要使f (x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．
[解] 令f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f ′(x)>0；
当－1
当x>1时，f ′(x)>0.
所以当x＝－1时，f (x)有极大值f (－1)＝2＋a；
当x＝1时，f (x)有极小值f (1)＝－2＋a.
因为方程f (x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f (x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有
解得－21．(改变条件)本例中，若方程f (x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
[解] 由例题，知函数的极大值f (－1)＝2＋a，极小值f (1)＝－2＋a，
若f (x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，
所以a＝－2或a＝2.
2．(改变条件)本例中，若方程f (x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．
[解] 由例题可知，要使方程f (x)＝0有且只有一个实根，
只需2＋a＜0或－2＋a＞0，
即a＜－2或a＞2.
利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质，可导函数f (x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0且在x＝x0两侧f ′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
1．函数f (x)的定义域为R，它的导函数y＝f ′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A．在(1,2)上函数f (x)为增函数
B．在(3,4)上函数f (x)为减函数
C．在(1,3)上函数f (x)有极大值
D．x＝3是函数f (x)在区间[1,5]上的极小值点
D [由图可知，当1＜x＜2时，f ′(x)＞0，
当2＜x＜4时，f ′(x)＜0，
当4＜x＜5时，f ′(x)＞0，
∴x＝2是函数f (x)的极大值点，x＝4是函数f (x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]
2．已知函数f (x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
B [∵f ′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
∴f ′(2)＝0,24＋4a＋36＝0，a＝－15，∴f ′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f ′(x)＞0得x＜2或x＞3.]
3．设函数f (x)＝xex，则( )
A．x＝1为f (x)的极大值点
B．x＝1为f (x)的极小值点
C．x＝－1为f (x)的极大值点
D．x＝－1为f (x)的极小值点
D [令y′＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，y′＜0；当x＞－1时，y′＞0.故当x＝－1时，y取得极小值．]
4．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f (x)既有极大值又有极小值，
∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]
5.求函数f (x)＝的极值．
[解] 函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
∵f ′(x)＝，
令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2.
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － ＋ 0 ＋
f (x) ↗ － ↘ ↗ 3 ↗
故当x＝－1时，函数有极大值，
并且极大值为f (－1)＝－，无极小值．
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10函数的最大(小)值与导数
学 习 目 标 核 心 素 养
1.理解函数的最值的概念．(难点)2.了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)3.会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点) 1.通过函数最大(小)值存在性的学习，体现直观想象核心素养.2.借助函数最值的求解问题，提升学生的数学运算的核心素养.
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．
思考：函数的极值与最值的区别是什么？
[提示] 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
当连续函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定f (x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
2．求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
1．函数f (x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
A [f ′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]
2．函数f (x)＝－x2＋4x＋7在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )
A．f (2)，f (3) B．f (3)，f (5)
C．f (2)，f (5) D．f (5)，f (3)
B [∵f ′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f ′(x)<0，
故f (x)在[3,5]上单调递减，故f (x)的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．]
3．已知函数f (x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f (x)的最小值为1，则m＝________.
1 [f ′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f ′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，
当x∈(－2,0)时，f ′(x)＜0，
当x∈(0,2)时，f ′(x)＞0，
∴当x＝0时，f (x)有极小值，也是最小值．
∴f (0)＝m＝1.]
求函数的最值
角度1 不含参数的函数最值
【例1】 求下列各函数的最值．
(1)f (x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]；
(2)f (x)＝sin 2x－x，x∈.
[解] (1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，
令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f ′(x)，f (x)变化状态如下表：
x －2 (－2，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2) 2
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) －1 ↗ 11 ↘ －1 ↗ 11
从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f (x)取得最小值－1.
当x＝－1或x＝2时，函数f (x)取得最大值11.
(2)f ′(x)＝2cos 2x－1，令f ′(x)＝0，得cos 2x＝，
又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．
∴2x＝±.∴x＝±.
∴函数f (x)在上的两个极值分别为
f ＝－，f ＝－＋.
又f ＝－，f ＝.
比较以上函数值可得f (x)max＝，f (x)min＝－.
[跟进训练]
1．求函数f (x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]的最大值和最小值．
[解] f ′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f ′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f (x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f (x)最小值＝－12；x＝1时，f (x)最大值＝2.
即f (x)的最小值为－12，最大值为2.
角度2 含参数的函数最值
【例2】 a为常数，求函数f (x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
[解] f ′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f ′(x)≤0，函数f (x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f (0)＝0.若a＞0，则令f ′(x)＝0，解得x＝±.
∵x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．
(1)若0＜＜1，即0＜a＜1，
则当x＝时，f (x)有最大值f ()＝2a.(如下表所示)
x 0 (0，) (，1) 1
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) 0 ↗ 2a ↘ 3a－1
(2)若≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f ′(x)≥0，函数f (x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f (x)有最大值f (1)＝3a－1.
综上可知，当a≤0，x＝0时，f (x)有最大值0；
当0＜a＜1，x＝时，f (x)有最大值2a；
当a≥1，x＝1时，f (x)有最大值3a－1.
1．求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f ′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
2．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．
[跟进训练]
2．已知a是实数，函数f (x)＝x2(x－a)，求f (x)在区间[0,2]上的最大值．
[解] f ′(x)＝3x2－2ax.
令f ′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①当≤0，即a≤0时，
f (x)在[0,2]上单调递增，
从而f (x)max＝f (2)＝8－4a.
②当≥2，即a≥3时，
f (x)在[0,2]上单调递减，
从而f (x)max＝f (0)＝0.
③当0＜＜2，即0＜a＜3时，f (x)在上单调递减，
在上单调递增，
从而f (x)max＝
综上所述，f (x)max＝
已知函数的最值求参数
【例3】 已知函数f (x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
[解] 由题设知a≠0，否则f (x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f ′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0，且x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b
由表可知，当x＝0时，f (x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b＝3.
又f (－1)＝－7a＋3，f (2)＝－16a＋3∴f (2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f (x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b＝－29.
又f (－1)＝－7a－29，
f (2)＝－16a－29>f (－1)，
∴f (2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
[跟进训练]
3．若函数f (x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
－1 [f ′(x)＝＝，当x>时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，当－0，f (x)单调递增，当x＝时，f (x)＝＝，＝<1，不合题意．∴f (x)max＝f (1)＝＝，a＝－1.]
与最值有关的综合问题
[探究问题]
1．对于函数y＝f (x)，x∈[a，b]，若f (x)≥c或f (x)≤c恒成立，则c满足的条件是什么？
[提示] c≤f (x)min或c≥f (x)max.
2．对于函数y＝f (x)，x∈[a，b]，若存在x0∈[a，b]，使得f (x)≥c或f (x)≤c成立，则c满足的条件是什么？
[提示] c≤f (x)max或c≥f (x)min.
【例4】 设函数f (x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f (x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
思路探究：(1)利用配方法，即可求出二次函数f (x)的最小值h(t)；
(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．
[解] (1)∵f (x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f (x)取最小值f (－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t (0,1) 1 (1,2)
g′(t) ＋ 0 －
g(t) ↗ 极大值1－m ↘
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．
1．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？
[解] 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t 0 (0,1) 1 (1,2) 2
g′(t) ＋ 0 －
g(t) －1－m ↗ 极大值1－m ↘ －3－m
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)＝－3－m，
存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，
等价于g(t)的最小值g(2)<0.
∴－3－m<0，∴m>－3，
所以实数m的取值范围为(－3，＋∞)．
2．(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2∈(0,2)，都有h(t1)＜－2t2＋m”，求实数m的取值范围．
[解] ∵h(t)＝－t3＋t－1，t∈(0,2)
∴h′(t)＝－3t2＋1
由h′(t)＝0得t＝或t＝－(舍)
又当0＜t＜时，h′(t)＞0，
当＜t＜2时，h′(t)＜0.
∴当t＝时，h(t)max＝－＋－1＝.
令φ(t)＝－2t＋m，t∈(0,2)，
∴φ(t)min＞m－4.
由题意可知≤m－4，
即m≥＋3＝.
∴实数m的取值范围为.
分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
1．下列结论正确的是( )
A．若f (x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f (x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f (x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得
D．若f (x)在[a，b]上连续，则f (x)在[a，b]上存在最大值和最小值
D [函数f (x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．]
2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B．－1 C．π D．π＋1
C [因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.]
3．函数f (x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
D [f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f ′(x)＜0，所以f (x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.]
4．设函数f (x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]，都有f (x)＞m，则实数m的取值范围是________．
[f ′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1，－.
f (－1)＝5，f ＝5，f (1)＝3，f (2)＝7，
∴m＜3.]
5．已知函数f (x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f (x)在[－2,2]上的最大值．
[解] f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
由f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2
f ′(x) ＋ 0 － 0
f (x) －40＋a ↗ 极大值a ↘ －8＋a
所以当x＝－2时，f (x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.
所以当x＝0时，f (x)取到最大值3.
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9生活中的优化问题举例
学 习 目 标 核 心 素 养
1.体会导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点) 1.通过利用导数解决生活中的优化问题的学习，培养学生数学建模的核心素养.2.借助实际问题的求解，提升学生逻辑推理及数学运算的核心素养.
1．优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．用导数解决优化问题的基本思路
思考：解决生活中优化问题应注意什么？
[提示] (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．
(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等．
1．已知某生产厂家的年利润y(单位： 万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．7万件 B．9万件
C．11万件 D．13万件
B [设y＝f (x)，即f (x)＝－x3＋81x－234.
故f ′(x)＝－x2＋81.令f ′(x)＝0，即－x2＋81＝0，
解得x＝9或x＝－9(舍去)．
当0＜x＜9时，f ′(x)＞0，函数y＝f (x)单调递增；
当x＞9时，f ′(x)＜0，函数y＝f (x)单调递减．
因此，当x＝9时，y＝f (x)取最大值．
故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]
2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f (x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B． C．－1 D．－8
C [由题意，f ′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∵0≤x≤5，∴x＝1时，f ′(x)的最小值为－1，
即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]
3．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m
C．4 m D．2 m
C [设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．]
4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．
115 [利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x2＋230x－6 000，S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．]
面积、体积的最值问题
【例1】 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[解] 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，
即包装盒的高与底面边长的比值为.
1．解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
2．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f (x)；④求导：求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．
[跟进训练]
1．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.
π [设矩形的长为x cm，
则宽为(10－x)cm(0＜x＜10)．
由题意可知圆柱体积为
V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3.
∴V′＝20πx－3πx2，
令V′(x)＝0，
得x＝0(舍去)或x＝，
且当x∈时，V′(x)＞0，
当x∈时，V′(x)＜0，
∴当x＝时，V(x)max＝π cm3.]
用料最省、成本(费用)最低问题
【例2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f (x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x)达到最小？并求最小值．
思路探究：(1)由C(0)＝8可求k的值从而求出f (x)的表达式．
(2)求函数式f (x)的最小值．
[解] (1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f ′(x)＝6－，
令f ′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当0当50，故x＝5是f (x)的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，
总费用达到最小值70万元．
1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
[跟进训练]
2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
[解] (1)Q＝P·
＝·
＝·400
＝－v2＋6 000(0(2)Q′＝－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，
当00，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝(元).
利润最大、效率最高问题
[探究问题]
1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？
[提示] 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．
2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？
[提示] (1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
【例3】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
思路探究：(1)根据x＝5时，y＝11求a的值．
(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f (x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，
从而，f ′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)·(x－6)，
于是，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (3,4) 4 (4,6)
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) ↗ 极大值42 ↘
由上表可得，x＝4是函数f (x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f (x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
(变条件)本例条件换为：该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足：当1＜x≤4时，y＝a(x－3)2＋，(a，b为常数)；当4＜x≤12时，y＝－100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．
(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f (x)最大，(≈2.65)
[解] (1)由题意：x＝2时y＝800，∴a＋b＝800，
又∵x＝3时y＝150，∴b＝300，可得a＝500.
∴y＝，
(2)由题意：
f (x)＝y(x－1)＝
，
当1＜x≤4时，f (x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3 500x2＋7 500x－4 200，
f ′(x)＝500(3x－5)(x－3)，
∴由f ′(x)＞0，
得＜x＜3，
∴f (x)在，(3,4)上递增，在上递减，
∵f ＝＋450＜f (4)＝1 800，
∴当x＝4时有最大值，f (4)＝1 800
当4＜x≤12时，f (x)＝(x－1)＝2 900－≤2 900－400≈1 840，
当且仅当100x＝，即x＝2≈5.3时取等号，
∴x＝5.3时有最大值1 840，
∵1 800＜1 840，
∴当x＝5.3时f (x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元的值，使店铺所获利润最大．
利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．
解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f (x)；
(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使f ′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
1．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0A．30 B．40
C．50 D．60
B [V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，
因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，
此时V(x)单调递增；
当402．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
D [设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．]
3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．
3 [设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r＞0)，则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋(r＞0)，求导数，得S′＝2πr－，令S′＝0，解得r＝3.
当0＜r＜3时，S′＜0；当r＞3时，S′＞0，所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．]
4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．
0.032 [存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x∈(0,0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0＜x＜0.048)，由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0得x＝0.032或x＝0(舍去)，又当0＜x＜0.032时，y′＞0；当0.032＜x＜0.048时，y′＜0，所以当x＝0.032时，y取得最大值．]
5．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[解] 设长方体的宽为x m，则长为2x m，
高为h＝＝(4.5－3x)m(0＜x＜)．
故长方体的体积为
V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3.
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，
因此x＝1.
当0＜x＜1时，V′(x)＞0；
当1＜x＜时，V′(x)＜0，
故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．
从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m)3，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.
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10定积分的概念
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解定积分的概念．(难点)2.理解定积分的几何意义．(重点、易错点)3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想．(难点)4.能用定积分的定义求简单的定积分．(重点) 1.通过曲边梯形面积和汽车行驶路程及定积分概念的学习，培养学生的数学抽象及数学运算的核心素养.2.借助定积分的几何意义及性质的学习，培养学生的直观想象及逻辑推理的核心素养.
1．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程
(1)曲边梯形的面积
①曲线梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f (x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．
②求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．
图① 图②
③求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限．
(2)求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
2．定积分的概念
如果函数f (x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)作和式f (ξi)Δx＝ f (ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x)在区间[a，b]上的定积分，记作f (x)dx，即f (x)dx＝.其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f (x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式．
思考：f (x)dx是一个常数还是一个变量？f (x)dx与积分变量有关系吗？
[提示] 由定义可得定积分f (x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f (x)dx＝f (t)dt＝f (u)du.
3．定积分的几何意义与性质
(1)定积分的几何意义
由直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴及一条曲线y＝f (x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有：
① ② ③
①在区间[a，b]上，若f (x)≥0，则S＝f (x)dx，如图①所示，即f (x)dx＝S.
②在区间[a，b]上，若f (x)≤0，则S＝－f (x)dx，如图②所示，即f (x)dx＝－S.
③若在区间[a，c]上，f (x)≥0，在区间[c，b]上，f (x)≤0，则S＝f (x)dx－f (x)dx，如图③所示，即(SA，SB表示所在区域的面积)．
(2)定积分的性质
①kf (x)dx＝kf (x)dx(k为常数)；
②[f 1(x)±f 2(x)]dx＝f 1(x)dx±f 2(x)dx；
③f (x)dx＝f (x)dx＋f (x)dx(其中a＜c＜b)．
1．在“近似代替”中，函数f (x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值( )
A．只能是左端点的函数值f (xi)
B．只能是右端点的函数值f (xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
C [作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f (x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f (ξi)．]
2．如图所示，图中阴影部分的面积用定积分表示为( )
A．2xdx B．(2x－1)dx
C．(2x＋1)dx D．(1－2x)dx
B [根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx－1dx＝(2x－1)dx.]
3．已知x2dx＝，x2dx＝，1dx＝2，则(x2＋1)dx＝________.
[∵x2dx＝，x2dx＝，1dx＝2，
∴(x2＋1)dx＝x2dx＋x2dx＋1dx
＝＋＋2＝＋2＝.]
求曲边梯形的面积
【例1】 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．
[解] (1)分割
将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间：
，，…，，…，，
简写作(i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为Δx＝－＝.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)近似代替
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f (ξi)的相反数－f (ξi)＝－为其一边长，以小区间长度Δx＝为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为
ΔSi≈－f (ξi)Δx＝－·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即
S＝Si≈－(ξi)Δx
＝·
＝－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝－·n(n－1)(2n－1)＋·
＝－＝－.
(4)取极限
当分割无限变细，
即Δx趋向于0时，n趋向于∞，
此时－趋向于S.从而有
S＝ ＝.
所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为.
求曲边梯形的面积
(1)思想：以直代曲．
(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．
(3)关键：近似代替．
(4)结果：分割越细，面积越精确．
(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如
1＋2＋3＋…＋n＝，
12＋22＋32＋…＋n2＝，
13＋23＋33＋…＋n3＝.
[跟进训练]
1．求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．
[解] ∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．由
得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．
(1)分割
将区间[0,2]n等分，
则Δx＝，
取ξi＝.
(2)近似代替求和
Sn＝ ·
＝[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]
＝.
(3)取极限
S＝Sn＝ ＝.
∴所求平面图形的面积为
S阴影＝2×4－＝.
∴2S阴影＝，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为.
求变速直线运动的路程
【例2】 已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2t(单位：km/h)，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？
[解] 将时间区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为，
在第i个时间段的路程近似为Δsi＝vΔt＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f (i,n)))＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f (i,n)))))·，i＝1,2，…，n.
所以sn＝Δsi＝ ·
＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]
＝－＋·
＝－＋＋3＋，
s＝sn＝
＝，所以这段时间行驶的路程为 km.
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．
[跟进训练]
2．一物体自200 m高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离．(g＝9.8 m/s2)
[解] 自由落体的下落速度为v(t)＝gt.
将[3,6]等分成n个小区间，每个区间的长度为.
在第i个小区间(i＝1,2，…，n)上，以左端点函数值作为该区间的速度．
所以sn＝v＝ ·＝·＝9g＋·＝9g＋g·.
所以s＝sn＝ ＝9g＋g＝×9.8＝132.3(m)．
故该物体在下落后第3 s至第6 s之间的距离是132.3 m.
利用定积分的性质及几何意义求定积分
[探究问题]
1．在定积分的几何意义中f (x)≥0，如果f (x)＜0，f (x)dx表示什么？
[提示] 如果在区间[a，b]上，函数f (x)＜0，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图所示)，
由于Δxi＞0，f (ξi)＜0，
故f (ξi)·Δxi＜0，从而定积分f (x)dx＜0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，
即f (x)dx＝－S或S＝－f (x)dx.
2.dx的几何意义是什么？
[提示] 是由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的圆的面积即dx＝π.
3．若f (x)为[－a，a]上的偶函数，则f (x)dx与f (x)dx存在什么关系？若f (x)为[－a，a]上的奇函数，则f (x)dx等于多少？
[提示] 若f (x)为偶函数，则f (x)dx＝2f (x)dx；若f (x)为奇函数，则f (x)dx＝0.
【例3】 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值．
(1)2dx；
(2)xdx；
(3)dx.
[解] (1)2dx表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以2dx＝2.
① ② ③
(2)xdx表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为，所以xdx＝.
(3) dx表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为，
所以dx＝.
1．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求dx.
[解] dx表示的是图④中阴影部分所示半径为1的圆的的面积，其值为，
∴dx＝.
2．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求dx.
[解] dx表示的是图⑤中阴影部分所示半径为1的圆的面积，其值为，
∴dx＝.
3．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求
(x＋)dx.
[解] 由定积分的性质得，
(x＋)dx＝xdx＋dx.
∵y＝x是奇函数，∴xdx＝0.
由例3(3)知dx＝.
∴(x＋)dx＝.
1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
(3)求和：f (ξi)·；
(4)取极限：s＝f (ξi)·.
“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．
2．定积分f (x)dx是一个和式 f (ξi)的极限，是一个常数．
3．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
4．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．
1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间中每个小区间的长度为( )
A． B． C． D．
B [区间长度为2，n等分后每个小区间的长度都是，故选B.]
2．定积分f (x)dx的大小( )
A．与f (x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f (x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f (x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f (x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
A [由定积分的定义可知A正确．]
3．由y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．
sin xdx [∵0＜x＜，
∴sin x＞0.
∴y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为 sin xdx.]
4．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．
55 [∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.]
5．计算：eq \i\in(\f (π,2),π,) (2－5sin x)dx.
[解] 由定积分的几何意义得，
eq \i\in(\f (π,2),π,) 2dx＝×2＝2π.
由定积分的几何意义得，eq \i\in(\f (π,2),π,) sin xdx＝0.
所以eq \i\in(\f (π,2),π,) (2－5sin x)dx＝eq \i\in(\f (π,2),π,) 2dx－5eq \i\in(\f (π,2),π,) sin xdx＝2π.
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11微积分基本定理
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点) 1.通过微积分基本定理的学习，体现了数学抽象的核心素养.2.借助于利用定积分求曲边梯形的面积，培养学生的数学运算及直观想象的核心素养.
1．微积分基本定理
内容 如果f (x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f (x)，那么f (x)dx＝F(b)－F(a).
符号 f (x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a).
思考：满足F′(x)＝f (x)的函数F(x)唯一吗？
[提示] 不唯一，如F1(x)＝x＋1，F2(x)＝x＋5，…等其导数为1，故F(x)不唯一．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下．则
(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则f (x)dx＝S上．
(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则f (x)dx＝－S下．
(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则f (x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则f (x)dx＝0.
图① 图② 图③
1．若a＝(x－2)dx，则被积函数的原函数为( )
A．f (x)＝x－2 B．f (x)＝x－2＋C
C．f (x)＝x2－2x＋C D．f (x)＝x2－2x
[答案] C
2．cos xdx＝________.
1 [cos xdx＝sin x＝sin －sin 0＝1.]
3．如图所示，定积分f (x)dx的值用阴影面积S1，S2，S3表示为f (x)dx＝________.
S1－S2＋S3 [根据定积分的几何意义知f (x)dx＝S1－S2＋S3.]
求简单函数的定积分
【例1】 求下列定积分．
(1)(2x＋ex)dx；
(2)dx；
(3) dx；
(4)(x－3)(x－4)dx.
[解] (1)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.
(2)dx
＝(ln x－3sin x)
＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)
＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.
(3)∵＝1－2sin cos ＝1－sin x，
∴dx＝ (1－sin x)dx
＝(x＋cos x)
＝－(0＋cos 0)＝－1.
(4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，
∴(x－3)(x－4)dx＝(x2－7x＋12)dx
＝
＝9－＋36＝.
(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)．
(2)由微积分基本定理求定积分的步骤
第一步：求被积函数f (x)的一个原函数F(x)；
第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．
[跟进训练]
1．计算下列定积分．
(1) dx；
(2) dx；
(3) (1＋)dx.
[解] (1)dx＝
＝－
＝ln 2＋.
(2) dx＝ cos xdx＝sin x＝1.
(3)(1＋)dx＝(＋x)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f (2,3)x＋\f (x2,2)))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(9,4))
＝－
＝－－8＝.
求分段函数的定积分
【例2】 计算下列定积分．
(1)f (x)＝求f (x)dx；
(2)|x2－1|dx.
思路探究：(1)按f (x)的分段标准，分成，，(2,4]三段求定积分，再求和．
(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．
[解] (1)f (x)dx＝ sin xdx＋ 1dx＋(x－1)dx＝(－cos x)＋x＋＝1＋＋(4－0)＝7－.
(2)|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝＋＝2.
1．本例(2)中被积函数f (x)含有绝对值号，可先求函数f (x)的零点，结合积分区间，分段求解．
2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．
3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．
[跟进训练]
2．(1)f (x)＝求f (x)dx.
(2)求|x2－x|dx的值．
[解] (1)f (x)dx＝(1＋2x)dx＋x2dx
＝(x＋x2)＋x3＝2＋＝.
(2)∵|x2－x|＝∴|x2－x|dx
＝(x2－x)dx＋(x－x2)dx＋(x2－x)dx
＝＋＋
＝＋＋＝.
利用定积分求参数
[探究问题]
1．求f (a)＝(2ax2－a2x)dx的表达式．
[提示] f (a)＝(2ax2－a2x)dx＝＝a－a2.
2．试求f (a)取得最大时a的值．
[提示] f (a)＝a－a2＝－＋
＝－＋，
∴当a＝时，f (a)的最大值为.
【例3】 (1)已知t＞0，f (x)＝2x－1，若f (x)dx＝6，则t＝________.
(2)已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为_______.
[解] (1)f (x)dx＝(2x－1)dx＝t2－t＝6，
解得t＝3或－2，∵t＞0，∴t＝3.
(2)(kx＋1)dx＝＝k＋1.
由2≤k＋1≤4，得≤k≤2.
1．(变条件)若将例3(1)中的条件改为f (x)dx＝f ，求t.
[解] 由f (x)dx＝(2x－1)dx＝t2－t，
又f ＝t－1，∴t2－t＝t－1，得t＝1.
2．(变条件)若将例3(1)中的条件改为f (x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值．
[解] F(t)＝f (x)dx＝t2－t＝－(t＞0)，
当t＝时，F(t)min＝－.
利用定积分求参数应注意的问题
利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．
1．下列值等于1的是( )
A．xdx B．(x＋1)dx C．1dx D．dx
C [选项A，因为＝x，所以xdx＝＝；
选项B，因为＝x＋1，所以(x＋1)dx＝＝；
选项C，因为x′＝1，所以1dx＝x＝1；
选项D，因为＝，所以dx＝x＝.]
2．若dx＝3＋ln 2，则a的值是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
D [dx＝
＝a2＋ln a－1，
∴a2－1＝3，
且ln a＝ln 2，
故a＝2.]
3.dx＝________.
[dx＝x2dx－xdx
＝－＝－＝.]
4．设函数f (x)＝则f (x)dx＝________.
[f (x)dx＝(x2＋1)dx＋(3－x)dx＝＋＝.]
5．已知f (x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，f (x)dx＝0，求f (x)的解析式．
[解] 设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴a＋b＋c＝0.
∵f ′(x)＝2ax＋b， ①
∴f ′(0)＝b＝2. ②
f (x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx
＝
＝a＋b＋c＝0. ③
由①②③得
∴f (x)＝－x2＋2x－.
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9定积分的简单应用
学 习 目 标 核 心 素 养
1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点) 通过利用定积分求解曲边梯形的面积、变速直线运动的路程和变力做功的学习，培养学生的数学建模及直观想象、数学运算的核心素养.
1．定积分与平面图形面积的关系
(1)已知函数f (x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f (x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：
f (x)的符号 平面图形的面积与定积分的关系
f (x)≥0 S＝f (x)dx
f (x)＜0 S＝－f (x)dx
(2)一般地，如图所示，如果在公共的积分区间[a，b]上有f (x)＞g(x)，那么直线x＝a，x＝b与曲线y＝f (x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝[f (x)－g(x)]dx.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．
2．变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.
思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？
[提示] 不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．
3．变力做功
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于( )
A．(x－x3)dx B．(x3－x)dx
C．2(x－x3)dx D．2(x－x3)dx
C [由题意知，由y＝x3及y＝x所围成的图形如图所示．
显然S＝2(x－x3)dx.]
2．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s间的运动路程为( )
A．46 m B．46.5 m
C．87 m D．47 m
B [s＝(3t＋2)dt＝
＝(54＋12)－＝46.5(m)．]
3．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F(x)相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所作的功为________J.
14 [由题意可知，力F(x)所作的功
W＝F(x)dx＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14 J．]
利用定积分求平面图形的面积问题
[探究问题]
观察图形，完成下列探究问题：
1．图中阴影部分的面积能否用定积分[－(x－4)]dx表示？为什么？
[提示] 不能．由定积分的几何意义可知，当x∈[0,8]时，被积函数y＝－(x－4)表示的图形如图所示：
2．若以x为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？
[提示] S＝2dx＋[－(x－4)]dx.
3．能否以y为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？
[提示] 能．可表示为S＝dy.
【例1】 (1)已知函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为，则k＝________.
(2)求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成的图形的面积．
(1)2 [由解得 或
故阴影部分的面积为(kx－x2)dx ＝＝k3－k3＝k3＝，解得k＝2.]
(2)[解] 画出图形，如图所示．
解方程组
及
得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以S＝dx＋dx＝dx＋dx＝＋＝＋＋＝＋6－×9－2＋＝.
1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图所示，已知点A，点P(x0，y0)(x0＞0)在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等”，则x0＝________.
[解] 由题意知
×x0×＝ x2dx，
即x0＝x，
解得x0＝或x0＝－或x0＝0.
∵x0＞0，∴x0＝.
2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y＝x2在点P(2,4)处的切线与曲线及x轴所围成的图形面积为S”，求S.
[解] ∵y′|x＝2＝4，故曲线在P点处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，故所求面积S＝x2dx＋(x2－4x＋4)dx＝x3＋＝.
3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y2＝x，y＝2－x所围成的图形的面积．”
[解] 由
得或
∴阴影部分的面积
S＝(2－y－y2)dy
＝
＝－＝.
求曲边梯形面积的一般步骤
求变速直线运动的路程
【例2】 有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
[解] (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t＞4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，
点P移动的路程s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt
＝－＝.
当t＝6时，点P的位移为
(8t－2t2)dt＝＝0.
(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－t3＝0，
解得t＝0或t＝6，t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．
做变速直线运动的物体，从时刻t＝a到时刻t＝b(a＜b)所经过的路程s和位移s′情况如下：
(1)若v(t)≥0，
则s＝v(t)dt；s′＝v(t)dt.即s＝s′.
(2)若v(t)≤0，则s＝－v(t)dt；s′＝v(t)dt.即s＝－s′.
(3)若在区间[a，c]上，v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)＜0，则s＝v(t)dt－v(t)dt，s′＝v(t)dt.
所以求路程时要事先求得速度的正负区间．
[跟进训练]
1．有一辆汽车以每小时36 km的速度沿平直的公路行驶，在B处需要减速停车．设汽车以2 m/s2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？
[解] 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.
v0＝36 km/h＝10 m/s，v(t)＝v0－at＝10－2t.
令v(t)＝0，
解得t＝5.
所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s＝(10－2t)dt＝(10t－t2)＝25(m)．
故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.
求变力做功
【例3】 设有一个长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
[解] 设x表示弹簧伸长的长度，f (x)表示加在弹簧上的力，则f (x)＝kx(其中常数k为比例系数)．
因为当f (x)＝100时，x＝5，
所以k＝20.所以f (x)＝20x.
弹簧由25 cm伸长到40 cm时，弹簧伸长的长度x从0 cm变化到15 cm，故所做的功
W＝ 20xdx＝10x2
＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．
求变力做功的方法步骤
(1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移．
(2)利用变力做功的公式W＝F(x)dx计算．
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
[跟进训练]
2．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为( )
A．10 J B．12 J C．14 J D．16 J
B [W＝2dx＋(2x－2)dx＝2x＋(x2－2x)＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．]
1．对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时：
(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．
(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．
2．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．
3．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单位：m.
1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )
S＝[f (x)－g(x)]dx S＝(2－2x＋8)dx
① ②
③ ④
A．①③ B．②③ C．①④ D．③④
D [①错误，S＝[f (x)－g(x)]dx；
②错误，S＝2dx＋(2－2x＋8)dx；
③④正确．]
2．曲线y＝cos x与坐标轴所围图形的面积是( )
A．2 B．3 C． D．4
B [S＝ cos xdx－eq \i\in(\f (π,2),π,) cos xdx＝sin xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(,,0))－sin xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(,,))＝sin －sin 0－sin ＋sin ＝1－0＋1＋1＝3.]
3.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车( )
A．405 B．540
C．810 D．945
A [停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，
∴s＝v(t)dt＝ (27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)＝405.]
4．设a＞0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
[由已知得S＝dx＝xeq \s\up12()＝aeq \s\up12()＝a2，所以aeq \s\up12()＝，所以a＝.]
5．一物体在变力F(x)＝(N)的作用下沿坐标平面内x轴的正方向由x＝8 m处运动到x＝18 m处，求力F(x)在这一过程中所做的功．
[解] 由题意得力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在[8,18]上的定积分，从而
W＝F(x)dx＝－36x－1＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－＝(J)．
从而可得力F(x)在这一过程中所做的功为 J.
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