12月月考答案
CCDAA BCC AB ACD AD ACD
11.解：对A：因为平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，B1D1，
所以根据异面直线的定义可得A1D与B1D1是异面直线，故选项A正确；
对B：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，0，，，1，，，1，，
，
，
异面直线与所成的角为，故选项B错误；
对C：因为，又显然是平面的法向量，
则，
对D：由正方体性质可知，为平面的法向量，为平面的法向量，，
平面和平面夹角的余弦值为，故选项D正确；
12.C 设方程为，，
，，，
又，所以，即，所以，，
，，，所以，C正确；
D 设，
由得，所以，切线方程为，
，同理方程为，
又都过点，所以，
所以过两点的直线方程为，
代入抛物线方程得，，
，D正确．
故选：ACD．
21.（1）在直角梯形中，，且为线段的中点，则，
又，即有四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，于是有平面，
又平面，平面平面，则，
而，则有，
且平面平面，平面平面，平面，
因此平面，即平面，
又平面，所以.
（2）存在，为的靠近点的三等分点.
因，为线段的中点，则，由（1）可得，，
以为坐标原点，，，的方向为，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设，得，则，
设平面的法向量为，则有，即，
令，得，
设直线与平面所成角为，
于是有，
解得或(舍)，
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
为的靠近点的三等分点.
22.（1）依题意，，当轴时，则，，得
（2）设，，，
，
又在椭圆上，满足，即，
，解得，即．
直线，
联立，解得，；所以，，，
（3）设，，，，，，
直线，
则，．
联立，得．则，．
由直线的方程：，得纵坐标；
由直线的方程：，得的纵坐标．
若，即，
，
，，
代入根与系数的关系，得，解得．
存在直线或满足题意．银滩高级中学2021-2022学年高二12月月考
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间150分钟。考试结束后，将答卷纸和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(共60分)
注意事项
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将答题卡上的考号、科目、试卷类型涂好。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答卷纸各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上，不按以上要求作答的答案无效。
一、单选题
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．数列2，，9，，|、、、的一个通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．若三个数成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是（ ）
A． B．或
C． D．以上均不正确
6．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（ ）
A．a≠ B．a≠
C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1
8．已知点M为椭圆上任意一点，AB是圆的一条直径，则的最大值与最小值的和是（ ）
A．20 B． C．40 D．
二、多选题
9．已知直线l经过点，且点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．离心率 B．的周长为15
C．若，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值
11．已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则（ ）
A．A1D与B1D1是异面直线 B．A1D与EF所成角的大小为45°
C．A1F与平面B1EB所成角的余弦值为 D．二面角C－D1B1－B的余弦值为
12．平面内到定点的距离比到直线：的距离大1的动点的轨迹为曲线C，则（ ）
A．曲线C的方程为
B．点P是该曲线上的动点，其在x轴上的射影为点Q，点A的坐标为，则的最小值为5
C．过点F的直线交曲线C于A，B两点，若，则
D．点M为直线上的动点，过M作曲线C的两条切线，切点分别为，，则
第Ⅱ卷(共90分)
三、填空题
13．已知i为虚数单位，复数z满足，则______．
14．已知，，若，则的取值范围为______．
15．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，A是C的左顶点，点P在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为____________.
16．已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线与交于，两点，，在的准线上的投影分别为，两点，则__________
四、解答题
17、已知圆过点，，.
（1）求圆的方程；
（2）求过点的圆的切线方程.
18．已知直线：与直线：相交于点求过点且满足下列条件的直线的方程.
（1）与轴垂直；
（2）在两坐标轴上的截距相等；
（3）倾斜角为直线的倾斜角的两倍.
19．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点，且.
（1）求的长；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点C到平面的距离.
20．（1）若双曲线的一条渐近线方程为，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．
（2）一组平行直线与椭圆相交，求弦的中点的轨迹方程．
21．在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，.
（1）求证：；
（2）若，线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
22．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．
（1）若直线垂直于轴，求；
（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；
（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
