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第一章 导数及其应用
章末综合提升
巩
固
层
知
识
整
合
提
升
层
题
型
探
究
导数的几何意义
函数的单调性与导数
函数的极值、最值与导数
生活中的优化问题
函数方程思想
瞬时变化_「平均变
化率
导数的
瞬时速度一平均速度
导数的
曲线的割
线斜率
基本初等函数求导
导数的运算]导数的四则运算法则
简单复合函数的导数
及
函数的单调性研究
导数
应用
函数的极值与最大(小)值
最优化问题
定积分「曲边梯形的面积
变速直线运动的路程
积
微积分基[定积分在几何
本定
物理中的应用
y y=f(x)
=
2第1章 导数及其应用
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
导数的几何意义
【例1】 已知函数f (x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f (x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f (x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解] (1)∵f ′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f (x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.
整理得，x＝－8，
∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f ′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1.
解得，x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，
则f ′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.
∴或
即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f (x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f (x)的切线方程”的异同点．
2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f ′(x0)，y0＝f (x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．
[跟进训练]
1．直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝________.
－15 [∵y＝x3＋ax＋1过点(2,3)，
∴a＝－3，∴y′＝3x2－3，
∴k＝y′|x＝2＝3×4－3＝9，
∴b＝y－kx＝3－9×2＝－15.]
函数的单调性与导数
【例2】 (1)f (x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x)－f (x)≤0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有( )
A．af (b)＜bf (a) B．bf (a)＜af (b)
C．af (a)＜bf (b) D．bf (b)＜af (a)
(2)设f (x)＝aln x＋，其中a为常数，讨论函数f (x)的单调性．
(1)A [令F(x)＝，则F′(x)＝.
又当x＞0时，xf ′(x)－f (x)≤0，∴F′(x)≤0，
∴F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又a＜b，
∴F(a)＞F(b)，
∴＞，
∴bf (a)＞af (b)，故选A.]
(2)[解] 函数f (x)的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，
f ′(x)＝≤0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，
f ′(x)＜0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－＜a＜0时，Δ＞0.
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，x2＝，
由x1＝＝＞0，
所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减，
综上可得：当a≥0时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－＜a＜0时，
函数f (x)在，上单调递减，
在上单调递增．
利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f (x)与其导数f ′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解．
求解参数范围的步骤为：
(1)对含参数的函数f (x)求导，得到f ′(x)；
(2)若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则f ′(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)上单调递减，则f ′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f ′(x)＝0.若f ′(x)＝0恒成立，则函数f (x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值．
[跟进训练]
2．若函数f (x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
[解] 函数f (x)的导数f ′(x)＝x2－ax＋a－1.
令f ′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f (x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
当a－1＞1，即a＞2时，函数f (x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
依题意当x∈(1,4)时，f ′(x)＜0，
当x∈(6，＋∞)时，f ′(x)＞0.
故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.因此a的取值范围是[5,7]．
函数的极值、最值与导数
【例3】 已知函数f (x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)求函数f (x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值．
[解] (1)因为f ′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f (x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f (x)＝x3－3x2＋2，
得f ′(x)＝3x2－6x.
由f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0＜t≤2时，在区间(0，t)上，f ′(x)＜0，f (x)在[0，t]上是减函数，所以f (x)max＝f (0)＝2，f (x)min＝f (t)＝t3－3t2＋2.
②当2＜t＜3时，当x变化时，f ′(x)，
f (x)的变化情况如下表：
x 0 (0,2) 2 (2，t) t
f ′(x) 0 － 0 ＋
f (x) 2 ↘ －2 ↗ t3－3t2＋2
f (x)min＝f (2)＝－2，f (x)max为f (0)与f (t)中较大的一个．
f (t)－f (0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0，
所以f (x)max＝f (0)＝2.
(变结论)在本例条件不变的情况下，若关于x的方程f (x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
[解] 令g(x)＝f (x)－c＝x3－3x2＋2－c，
则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
在x∈[1,2)上，g′(x)＜0；在x∈(2,3]上，g′(x)＞0.
要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，
则解得－2＜c≤0.
(1)求极值时一般需确定f ′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．
[跟进训练]
3．已知函数f (x)＝sin x－ln(1＋x)，f ′(x)为f (x)的导数．证明：f ′(x)在区间存在唯一极大值点．
[解] 设g(x)＝f ′(x)，则g(x)＝cos x－，g′(x)＝－sin x＋，
当x∈时，g′(x)单调递减，而g′(0)>0，g′<0，可得g′(x)在有唯一零点，设为a.
则当x∈(－1，a)时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0.
所以g(x)在(－1，a)单调递增，在单调递减，
故g(x)在存在唯一极大值点，即f ′(x)在存在唯一极大值点．
生活中的优化问题
【例4】 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．
(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
[解] 由题意可知
＋πr2l＝，∴l＝－.
又圆柱的侧面积为2πrl＝－，
两端两个半球的表面积之和为4πr2.
所以y＝×3＋4πr2×4＝＋8πr2.
又l＝－＞0 r＜2eq \s\up12()，
所以定义域为(0,2eq \s\up12())．
(2)因为y′＝－＋16πr＝，
所以令y′＞0，
得2＜r＜2eq \s\up12()；
令y′＜0，得0＜r＜2.
所以当r＝2米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l＝米．
解决优化问题的步骤
(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．
(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义．
[跟进训练]
4．现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
[解] (1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，函数的定义域为(0,35]，即y＝＋300x(0＜x≤35)．
(2)由(1)知y＝＋300x(0＜x≤35)，所以y′＝－＋300.令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值．又当0＜x≤35时，y′＜0，所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/小时的速度行驶．
函数方程思想
【例5】 设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求f (x)的极值点；
(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
[解] (1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，
得x1＝－，x2＝.
当x∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－，) 时，f ′(x)＜0，
因此x1＝－，x2＝分别为f (x)的极大值点、极小值点．
(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－4＝f ()＜a＜f (－)＝5＋4.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为(5－4，5＋4)．
(3)法一：f (x)≥k(x－1)，
即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，
因为x＞1，
所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)＞g(1)＝－3，
所以所求k的取值范围是为(－∞，－3]．
法二：直线y＝k(x－1)过定点(1,0)且f (1)＝0，
曲线f (x)在点(1,0)处切线斜率f ′(1)＝－3，
由(2)中草图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.
故实数k的取值范围为(－∞，－3]．
讨论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用．问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解．
[跟进训练]
5．已知函数f (x)＝ex＋，a∈R，试讨论函数f (x)的零点个数．
[解] 函数f (x)的定义域为{x|x≠a}．
(1)当x＞a时，ex＞0，x－a＞0，
∴f (x)＞0，
即f (x)在(a，＋∞)上无零点．
(2)当x＜a时，f (x)＝，
令g(x)＝ex(x－a)＋1，
则g′(x)＝ex(x－a＋1)．
由g′(x)＝0得x＝a－1.
当x＜a－1时，g′(x)＜0；
当x＞a－1时，g′(x)＞0，
∴g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1.
∴当a＝1时，g(a－1)＝0，∴x＝a－1是f (x)的唯一零点；
当a＜1时，g(a－1)＝1－ea－1＞0，∴f (x)没有零点；
当a＞1时，g(a－1)＝1－ea－1＜0，∴f (x)有两个零点．
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