-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册7.3.2正弦型函数的性质与图像同步训练（Word含答案解析）

九　正弦型函数的性质与图像
一、选择题
1．(2021·新高考I卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B．
C． D．
2. 已知曲线C1：y＝sin x，C2：y＝sin ，则下面结论中正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 　
B．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍．纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标伸长到原米的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
3．函数y＝3－2sin 取得最大值时x的取值可能为(　　)
A． B．
C．－ D．－
4．(2021·抚顺高一检测)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)图像相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位后，得到的图像关于y轴对称，那么函数y＝f(x)的图像(　　)
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝－对称
5．如果两个函数的图像经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin 能构成“和谐”函数的是(　　)
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin ＋2
6．有下列四种变换方式，其中能将正弦曲线y＝sin x的图像变为y＝sin 的图像的是(　　)
A．横坐标变为原来的，再向左平移
B．横坐标变为原来的，再向左平移
C．向左平移，再将横坐标变为原来的
D．向左平移，再将横坐标变为原来的
7．(2021·襄阳高一检测)已知函数f(x)＝2sin 的图像的一个对称中心为，其中ω∈(0，1)，则以下结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为3π
B．将函数f(x)的图像向左平移所得图像关于原点对称
C．函数f(x)在区间上单调递增
D．函数f(x)在区间(0，10π)上有6个零点
8．关于x的方程sin ＝2m在[0，π]内有相异两实根，则实数m的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
9．(2020·天津高考)已知函数f(x)＝sin .给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin x的图像上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图像．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．① B．①③
C．②③ D．①②③
10．(2021·天津高一检测)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图像上相邻的一个最大值点与对称中心分别为，，则函数f(x)的单调增区间为(　　)
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
11．如图为函数y＝f的图像，则该函数可能为(　　)
A.y＝　　　　　　B．y＝
C．y＝ D．y＝
二、非选择题
12．函数y＝的最小正周期为________.
13．若函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f＝f，且f＝－3，则函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋m的最大值为______，实数m＝________．
14. 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(x).若g＝，则f＝________．
15．关于函数f＝sin ＋有如下结论：
①f是偶函数；
②f在区间上单调递增；
③f最大值为2；④f在上有四个零点，其中正确命题的序号是________．
三、解答题
16．(2021·辽源高一检测)函数f(x)＝A sin ＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(x)的对称轴，对称中心及单调递增区间．
17．如图为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在y轴上的截距为－1.
(1)求函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的解析式．
(2)若x∈时，函数y＝[f(x)]2－2f(x)－m有零点，求实数m的取值范围．
18．已知函数f(x)＝sin ＋，x∈R.
(1)写出函数f(x)的最小正周期；
(2)请在下面给定的坐标系中用“五点法”画出函数f(x)在区间的简图；
(3)指出该函数的图像可由y＝sin x(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到．
19．已知函数f＝2sin ＋1(ω＞0，＜)，f图像上两相邻对称轴之间的距离为；________；
在①f的一条对称轴为x＝－；②f的一个对称中心为；③f的图像经过点，从这三个条件中任选一个补充在上面空
白横线中，然后确定函数的解析式．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
一、选择题
1．(2021·新高考I卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B．
C． D．
【解析】选A.当x－∈时，函数单调递增，即x∈，k∈Z，故A正确．
2. 已知曲线C1：y＝sin x，C2：y＝sin ，则下面结论中正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 　
B．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍．纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标伸长到原米的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【解析】选B.因为已知曲线C1：y＝sin x，C2：y＝sin ，故把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得y＝sin 2x的图象；再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2.
3．函数y＝3－2sin 取得最大值时x的取值可能为(　　)
A． B．
C．－ D．－
【解析】选C.当sin ＝－1，
即2x－＝－＋2kπ，k∈Z时函数取得最大值，解得x＝－＋kπ，k∈Z，故可能取－.
4．(2021·抚顺高一检测)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)图像相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位后，得到的图像关于y轴对称，那么函数y＝f(x)的图像(　　)
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝－对称
【解析】选B.因为相邻两条对称轴的距离为，故＝，T＝π，从而ω＝2.
设将f(x)的图像向左平移单位后，所得图像对应的解析式为g(x)，
则g(x)＝sin ，因g(x)的图像关于y轴对称，故g(0)＝±1，
所以sin ＝±1，φ＋＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z，
因|φ|<，所以φ＝.又f(x)＝sin ，令2x＋＝kπ＋，k∈Z，
故对称轴为直线x＝＋，k∈Z，所以C，D错误；令2x＋＝kπ，k∈Z，故x＝－，k∈Z，所以对称中心为，k∈Z，所以A错误，B正确．
5．如果两个函数的图像经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin 能构成“和谐”函数的是(　　)
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin ＋2
【解析】选D.将函数g(x)图像上的所有的点向上平移2个单位长度，即得到函数f(x)＝sin ＋2的图像．
6．有下列四种变换方式，其中能将正弦曲线y＝sin x的图像变为y＝sin 的图像的是(　　)
A．横坐标变为原来的，再向左平移
B．横坐标变为原来的，再向左平移
C．向左平移，再将横坐标变为原来的
D．向左平移，再将横坐标变为原来的
【解析】选BC.A.y＝sin x横坐标变为原来的，再向左平移，得y＝sin ＝sin ，故A不正确；B.y＝sin x横坐标变为原来的，再向左平移，得y＝sin ＝sin ，故B正确；
C．y＝sin x向左平移，再将横坐标变为原来的，得y＝sin ，故C正确；
D．y＝sin x向左平移，再将横坐标变为原来的，得y＝sin ，故D不正确．
7．(2021·襄阳高一检测)已知函数f(x)＝2sin 的图像的一个对称中心为，其中ω∈(0，1)，则以下结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为3π
B．将函数f(x)的图像向左平移所得图像关于原点对称
C．函数f(x)在区间上单调递增
D．函数f(x)在区间(0，10π)上有6个零点
【解析】选AC.由函数f(x)＝2sin 的图像的一个对称中心为，得ω－＝kπ(k∈Z)，因为ω∈(0，1)，所以k＝0，ω＝，则f(x)＝2sin ，所以周期T＝＝3π，故A正确；将函数f(x)的图像向左平移，得g(x)＝f＝2sin
＝2sin ，
显然g(x)的图像不关于原点对称，故B错误；当x∈时，x－∈ ，所以f(x)在区间上单调递增，故C正确，
由f(x)＝0，得x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝，由0<<10π，
得－因为k∈Z，所以k＝0，1，2，3，4，5，6，所以函数f(x)在区间(0，10π)上有7个零点，故D错误．
8．关于x的方程sin ＝2m在[0，π]内有相异两实根，则实数m的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选C.由于0≤x≤π，所以≤x＋≤，由于关于x的方程sin ＝2m在[0，π]内有相异两实根，令u＝x＋，由函数y＝sin u与y＝2m的图像可知，≤2m＜1，
解得≤m＜.
9．(2020·天津高考)已知函数f(x)＝sin .给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin x的图像上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图像．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．① B．①③
C．②③ D．①②③
【解析】选B.因为f(x)＝sin ，所以最小正周期T＝＝2π，故①正确；
f＝sin ＝sin ＝≠1，故②不正确；将函数y＝sin x的图像上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin 的图像，故③正确．
10．(2021·天津高一检测)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图像上相邻的一个最大值点与对称中心分别为，，则函数f(x)的单调增区间为(　　)
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
【解析】选A.因为图像上相邻的一个最大值点与对称中心分别为，，
所以A＝3，b＝0且T＝－，可得T＝，所以ω＝＝3，
所以y＝3sin (3x＋φ)将
代入可得y＝3sin (3x＋φ)＝3，
可得＋φ＝2kπ＋，k∈Z，且|φ|<，
所以φ＝－可得f(x)＝3sin ，
令－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z可得kπ－≤x≤kπ＋.
11．如图为函数y＝f的图像，则该函数可能为(　　)
A.y＝　　　　　　B．y＝
C．y＝ D．y＝
【解析】选B.由题图可知，x＝π时，y＜0，而A，C，D此时对应的函数值y＝0.
二、非选择题
12．函数y＝的最小正周期为________.
【解析】函数y＝的最小正周期是函数y＝sin 的周期的一半而函数y＝sin 的周期为＝4π，故函数y＝的最小正周期是2π.
答案：2π
13．若函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f＝f，且f＝－3，则函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋m的最大值为______，实数m＝________．
【解析】函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋m，
对任意实数t都有f＝f，
则函数f(x)关于x＝对称．
所以f(x)在x＝时的函数值最大值为2＋m或最小值为－2＋m，由题意知f＝－3，所以2＋m＝－3或－2＋m＝－3，解得m＝－5或m＝－1.
答案：2＋m　－5或－1
14. 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(x).若g＝，则f＝________．
【解析】因为f(x)是奇函数，所以φ＝0，因为f(x)的最小正周期为π，所以＝π，得ω＝2，则f(x)＝A sin 2x，将y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(x)，
则g(x)＝A sin x，因为g＝，
所以g＝A sin ＝，
即A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，所以f＝2sin ＝2sin ＝2×＝.
答案：
15．关于函数f＝sin ＋有如下结论：
①f是偶函数；
②f在区间上单调递增；
③f最大值为2；④f在上有四个零点，其中正确命题的序号是________．
【解析】对于命题①，函数f＝sin ＋的定义域为R，关于原点对称，且f＝sin ＋＝sin ＋＝sin ＋＝f，该函数为偶函数，命题①正确；
对于命题②，当＜x＜π时，sin x＞0，
则f＝sin x＋sin x＝2sin x，则函数y＝f在上单调递减，命题②错误；
对于命题③，因为sin ≤1，≤1，
所以f≤2，又因为f＝2，
所以，函数y＝f的最大值为2，命题③正确；
对于命题④，当0＜x＜π时，sin x＞0，f＝sin x＋sin x＝2sin x＞0，由于该函数为偶函数，当－π＜x＜0时，f＞0，又因为f＝f＝f＝0，
所以，该函数在区间上有且只有三个零点．因此正确命题的序号为①③.
答案：①③
三、解答题
16．(2021·辽源高一检测)函数f(x)＝A sin ＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(x)的对称轴，对称中心及单调递增区间．
【解析】(1)由题意A＋1＝3，A＝2，又T＝2×＝π，所以ω＝＝2，
所以f(x)＝2sin ＋1.
(2)令2x－＝kπ＋得x＝＋，所以对称轴方程为x＝＋，k∈Z，
令2x－＝kπ，得x＝＋，所以对称中心为，k∈Z，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋得kπ－≤x≤kπ＋，所以增区间是，k∈Z.
17．如图为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在y轴上的截距为－1.
(1)求函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的解析式．
(2)若x∈时，函数y＝[f(x)]2－2f(x)－m有零点，求实数m的取值范围．
【解析】(1)由图像可知＝－＝，
所以T＝π，ω＝2，因为2×＋φ＝kπ，k∈Z，
及|φ|＜，所以φ＝－，
而f(0)＝A sin ＝－1，A＞0，所以A＝，所以f(x)＝sin .
(2)因为x∈，所以2x－∈，
所以f(x)∈，又函数y＝[f(x)]2－2f(x)－m有零点，所以方程m＝[f(x)]2－2f(x)有实根，因为f(x)∈，
所以[f(x)－1]2－1∈[－1，3]，因此，实数m的取值范围为[－1，3].
18．已知函数f(x)＝sin ＋，x∈R.
(1)写出函数f(x)的最小正周期；
(2)请在下面给定的坐标系中用“五点法”画出函数f(x)在区间的简图；
(3)指出该函数的图像可由y＝sin x(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到．
【解析】(1)T＝＝π.
(2)列表如下：
x － π
2x＋ 0 π 2π
sin 0 1 0 －1 0
f(x) －
简图如下：
(3)将y＝sin x的图像向左平移得到y＝sin 的图像，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到y＝sin 的图像，最后再向上平移个单位得到y＝sin ＋的图像或将y＝sin x的图像向上平移个单位得到C1：y＝sin x＋的图像，再将所得图像C1向左平移个单位得到C2：y＝sin ＋的图像，再将所得图像C2上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)就得到y＝sin ＋的图像．
19．已知函数f＝2sin ＋1(ω＞0，＜)，f图像上两相邻对称轴之间的距离为；________；
在①f的一条对称轴为x＝－；②f的一个对称中心为；③f的图像经过点，从这三个条件中任选一个补充在上面空
白横线中，然后确定函数的解析式．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】由于函数y＝f图像上两相邻对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为T＝2×＝π，所以ω＝＝＝2，
此时f＝2sin ＋1.若选①，则函数y＝f的一条对称轴为x＝
－，
则－＋φ＝＋kπ得φ＝＋kπ，因为－＜φ＜，
当k＝－1时，φ＝，
此时f(x)＝2sin ＋1；若选②，则函数y＝f的一个对称中心为，
则＋φ＝kπ，得φ＝kπ－，
因为－＜φ＜，当k＝1时，φ＝，
此时f＝2sin ＋1；
若选③，则函数y＝f的图像过点，
则f＝2sin ＋1＝0，
得sin ＝－，因为－＜φ＜，
所以＜＋φ＜，
所以＋φ＝，解得φ＝，
此时f＝2sin ＋1.
综上所述，f＝2sin ＋1.