唐县第一高级中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数学答案
1C 2D 3 D 4 A 5 D 6C 7A 8B 9ACD 10CD 11AB 12BCD
13. Y=3X-3 14. 15 . 64 16.3 4
17（1）解：因为，，所以的中点坐标为，
所以边上中线的斜率为，
所以边上中线的方程为，即.
（2）解：根据题意，该直线的斜率存在且不为0，不妨设该直线方程为
所以令，则，令，则，
因为在轴上截距比在轴上截距大1，
所以，即，解得或
即或.
18（1）设数列的公差为，又，
，
；
（2）由（1）知，，当时，；当时，；
.
19（1）设，由，则，化简得：；
∴的轨迹是以为圆心，半径为2的圆.
（2）直线与圆相切或相交，即圆心到直线的距离不大于半径：，解得，
直线与圆相切或相交，即圆心到直线的距离不大于半径：，解得，
∴综上，直线分别与的轨迹和圆都有公共点时，实数.
20（1）因为平面ABC，平面ABC，
所以，又，
所以，，所以平面，平面PAC，
则，即异面直线BC与AE所成角的大小为90°.
（2）根据题意，以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴，过点C作AP的平行线为z轴建系，
在中，由于，且，则，设点E到平面ABC的距离为，
则，又，，，，
得，，设平面的一个法向量为，
得，令，可得，，即.
平面ACF的一个法向量，设的平面角为，则，
所以，得，
即点到平面的距离为1，又因为，
所以，
故三棱锥的体积为.
21（1）由题设知，，结合，
解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）由题设知，直线的方程为，代入，得
，
由已知，
设，，，
则，，
从而直线的斜率之和
.
所以直线 AP 与直线 AQ 的斜率之和为2.
22（1）函数定义域为，
因为，
所以曲线在处的切线方程为，
即.
（2）由（1）知，当时单调递增,
当时单调递减，
所以函数在时取得极大值，函数没有极小值，
所以函数的极值点只有1个，
因为, 当时,
当时，
所以 只有一个零点.
（3）要使恒成立，即恒成立，
令，则.
当时，， 单调递增，
当时，，单调递减，
所以在时取得极大值也是最大值，，
要使恒成立，则,
即实数k的取值范围是.唐县第一高级中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数学试题
一、单选题（每题5分,满分40分）
1．在轴上的截距为4且倾斜角为45°的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2.等比数列的前项和为，，，则（ ）
A．1 B．5 C．1或31 D．5或11
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列，，，则数列的前100项和（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点
B．是的极小值点
C．在区间上单调递减
D.曲线在处的切线斜率小于零
6．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，若的重心的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
7．设是曲线上的点，，，则必有（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆的左右焦点分别为，直线与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若M，，N，四点共圆，且直线倾斜角不小于，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（完全选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，满分20分）
9．等差数列中，已知，则正确的结论是（ ）
A． B． C．是中最小值 D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围为
B．“c=5”是“点(2，1)到直线距离为3”的充要条件
C．直线l：恒过定点(3，0)
D．直线与直线平行，且与圆相切
11．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．
C．三棱锥的体积为
D．直线与面所成的角为
12．已知双曲线的两个顶点分别是，，两个焦点分别是，.是双曲线上异于，的任意一点，则有（ ）
A． B．直线，的斜率之积等于
C．使得为等腰三角形的点有8个 D．若，则
三、填空题（每题5分，满分20分）
13.已知函数，则在处的切线方程为________．
14.已知圆和圆，动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M点的轨迹方程是_______．
15.若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且则___________.
16.以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设、为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；
②过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆；
③抛物线的焦点坐标是；
④曲线与曲线（且）有相同的焦点.
其中真命题的序号为______写出所有真命题的序号.
四、解答题
17.（10分）在三角形中，已知点，，.
（1）求边上中线的方程；
（2）若某一直线过点，且在轴上截距比在轴上截距大1，求该直线的一般式方程.
18.（12分）在等差数列中，，（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
19．已知两个定点，如果动点满足.
（1）求点的轨迹方程并说明该轨迹是什么图形；
（2）若直线分别与点的轨迹和圆都有公共点，
求实数的取值范围.
20．（12分）如图，平面ABC，，，F为BC的中点，E为PC边上的一点．
（1）求异面直线BC与AE所成角的大小；
（2）若二面角的余弦值为，求此时三棱锥的体积．
21（12分）如图，椭圆E： ( a > b >0)经过点 A (0，—1)，且离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）经过点(1，1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点P，Q(均异于点A)，求直线 AP 与直线 AQ 的斜率之和
22.（12分）已知函数.
（1）求函数的极值和零点个数；
（2）若恒成立，求实数的取值范围
4
