2021-2022北师大版九上图形的相似选择与填空培优精选（word版含解析）

2021-2022北师大版九上图形的相似选择与填空培优精选
一、单选题
1.（2021九上·宝安期中）如图，在 ABCD中，点E在线段AB上，点F、G分别为对角线AC与DE、DB的交点．若AB：AE=3：2，则四边形BGFE与 ABCD的面积之比为( )
A. 7：60 B. 8：70 C. 5：43 D. 3：26
2.（2021九上·牡丹期中）如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E ， 对角线BD交AG于点F ， 已知FG＝2，则线段AE的长是（　　）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
3.（2021九上·卢龙期中）如图，△ABC∽△ACD ， 相似比为2，则S△BDC：S△DAC为（ ）
A. 4:1 B. 3:1 C. 2:1 D. 1:1
4.（2021九上·包河期中）如图，在 中，D、E分别是边 、 上的点， 与 相交于点F ， 若E为 的中点， ，则 的值是（ ）
A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 2
5.（2021九上·章丘期中）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E ， 当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 以上都有可能
6.（2021九上·宿松期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 是线段 上的一个动点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，若点 在直线 上，则 的最大值是（ ）
A. B. C. -1 D. 0
7.（2021九上·包头月考）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若 PAE与 PBC是相似三角形，则满足条件的点P的数量为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.（2021九上·瓦房店月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ADC的值为（ ）
A. 1：16 B. 1：18 C. 1：20 D. 1：24
9.（2021九上·济南月考）如图， 相交于点 ，且 ，点 在同一条直线上．已知 ，则 之间满足的数量关系式是（ ）
A. B. C. D.
10.（2021八下·周村期末）如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（ ）
A. 7 : 12 B. 7 : 24 C. 13 : 36 D. 13 : 72
11.（2021·玉林模拟）如图，在菱形 中， ，点E，F分别在 ， 上，沿 折叠菱形，使点A落在 边上的点G处，且 于点M，若 （取 ， ），则 等于（ ）
A. B. C. D.
12.（2021·合肥模拟）如图， 中， ， ，点 在 的延长线上，且 连接 并延长，过 作 于点 ，若 ，则 的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
13.（2021九上·平阳月考）如图，在矩形 中， ， ， 平分 ，与对角线 相交于点N，F是线段 的中点，则 为（ ）
A. B. C. D.
14.（2021九上·宁波期中）如图坐标系中，O（0，0），A（3，3 ），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则AC：AD的值是（ ）
A. 1：2 B. 2：3 C. 6：7 D. 7：8
15.（2021九上·深圳期中）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①tan∠GFB＝ ；②NM＝NC；③ ；④S四边形GBEM＝ ．正确的个数是（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题
16.（2021九上·城阳期中）如图，四边形ABCD和四边形ABEC均为平行四边形，点H为BE的中点，连接DH ， 分别交AC ， BC于点F ， G ， 已知平行四边形ABCD的面积为8cm2 ， 则△ADF的面积为 cm2 ．
17.（2021九上·玉屏侗族自治期中）如图， 是 的中位线， 是 的中点，那么 = ．
18.（2021九上·西湖月考）如图是一张矩形纸片，E是AB的中点，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，AB＝2，则CB＝ ．
19.（2021九上·深圳期中）如图所示，已知AB∥EF∥CD ， AC ， BD相交于点E ， AB=3cm ， CD=6cm ， 则EF= ．
20.（2021九上·滨湖期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝4，则平行四边形ABCD的面积为AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DE＝3DF，以EC、EF为邻边作平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为 .
21.（2021九上·隆昌期中）如图所示，已知AM∶MD=4∶1，BD∶DC=2∶3，则AE∶EC= .

22.（2021八上·鄞州期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，点D在AB边上，BD=4，∠EAC=∠EDC=∠B=90°，则△EAD的面积为 ．
23.（2021九上·济南月考）如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°，若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，则BG的长为 ．
24.（2021九上·普陀月考）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，联结EG交AC于点H，如果H是AC的中点，那么 的值等于 ．
25.（2021九上·罗湖期中）如图，在正方形 中，以 为腰向正方形内部作等腰 （ ），点 在 上，且 ．连接 并延长，与 交于点 ，与 延长线交于点 ．连接 交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 .
26.（2021九上·柯桥期中）两块全等的等腰直角三角形如图放置，∠A＝90°，DE交AB于点P，E在斜边BC上移动，斜边EF交AC于点Q，BP＝3 ，BC＝10，当△BPE是等腰三角形时，则AQ的长为 ．
27.（2021九上·通川期中）如图，在矩形AOBC中，OB＝8，OA＝6，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数 （k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 .
28.（2021九上·成都开学考）如图，在矩形 中， ， ，点 是边 的中点，连接 ，将 沿 折叠得到 ， 与 交于点 ，则 的长为 .
29.（2021·牡丹江）如图，矩形ABCD中，AD AB ， 点E在BC边上，且AE=AD ， DF⊥AE于点F ， 连接DE ， BF ， BF的延长线交DE于点O ， 交CD于点G ． 以下结论：①AF=DC ， ②OF：BF=CE：CG ， ③S△BCG S△DFG ， ④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是 ．
30.（2021·曾都模拟）如图，在 中， ， ， ， 是 上方一动点，且 ， 交 于点E.当点P运动到 时， 的值为 ；随着点P的运动， 的最大值为 .
31.（2021·槐荫模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，BE平分∠ABC ， 点F在线段BE上．BF＝3 ．过点F作FG⊥DF交BC边于点G ， 交BD边于点H ， 则GH＝ ．
32.（2021·陕西模拟）已知矩形 ， 是 边上一点且 是 边的中点，连接 相交于 两点，则 的面积是 .
33.（2021·周村模拟）如图，在矩形 中， ，E为 上一点，将 沿 折叠，使点C正好落在 边上的F处，作 的平分线交 于N，交 的延长线于M，若 ，则 的长为 ．
34.（2020九上·成都月考）如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ．交 于点 ，点 在直线 上运动， ， ， ，则 的最小值是________．
35.（2020·攀枝花）如图，在边长为4的正方形 中，点E、F分别是 、 的中点， 、 交于点G， 的中点为H，连接 、 ．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有________．（请填上所有正确结论的序号）
36.（2020·中模拟）如图1，有一张矩形纸片ABCD ， 已知AB=10，AD=12，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2）；然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3），给出四个结论：
①AF的长为10；②△BGH的周长为18；③ = ；④GH的长为5，
其中正确的结论有 ． （写出所有正确结论的序号）
37.（2020·青羊模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2 ，点P为AB边上的一个动点，连接PC，过点P作PQ⊥PC交BC边于点Q，则BQ的最大值为________．
38.（2020九下·江阴期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E，F分别在BC，CD上，若BE＝ ，∠EAF＝45°，则AF＝________.
39.（2020·哈尔滨模拟）如图所示．△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点M为AB边的中点，点N为射线AC上一点，连接BN，过点C作CD⊥BN于点D。连接MD，作∠BNE=∠BNA，边EN交射线MD于点E，若AB=20 ，MD=14 ，则NE的长为________。
40.（2020九上·丽水期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是BC边上的动点（不与B，C重合），点N是AM的中点，过点N作EF⊥AM，分别交AB，BD，CD于点E，K，F，设BM＝x.
（ 1 ）AE的长为________（用含x的代数式表示）；
（ 2 ）设EK＝2KF，则 的值为________.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵ AB：AE=3：2，
∴设AB=3a，AE=2a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3a，AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴ ，
∴设△AEF的边AE上的高=2b，△CDF的边CD上的高=3b，
∴S△AEF=·2a·2b=2ab，S△AGB=·3a·b=ab，SABCD=3a·5b=15ab，
∴SBGFE=S△AGB-S△AEF=ab，
∴SBGFE：SABCD=ab：15ab=7：60.
故答案为：A.
【分析】设AB=3a，AE=2a，根据平行四边形的性质得出CD=AB=3a，AB∥CD，得出△AEF∽△CDF，得出 ， 设△AEF的边AE上的高=2b，△CDF的边CD上的高=3b，求出S△AEF ， S△AGB ， SABCD ， 从而求出SBGFE ， 即可得出四边形BGFE与ABCD的面积之比.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴
∴
∴ ，
∴ ，
又∵G为CD的中点
∴
∴ ，
∴
在 和 中，
∴
∴
∴
故答案为C
【分析】四边形ABCD为正方形，得出进而得出 ，根据相似三角形的旋转的出 ，结合 ， 得出 ， 即可得出结论。
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD ， 相似比为2，∴S△ABC：S△ACD=4，∴S△BDC：S△ACD=3：1．
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的性质可得S△ABC：S△ACD=4，再结合图形可得S△BDC：S△ACD=3：1．
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作 交AD于G ，
∵E是AC的中点， ，
∴EG是△ACD的中位线，△AGE∽△ADC ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可证△FGE∽△FDB ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∵∠DPC＝∠B+∠PDB ，
即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB ，
而∠DPE＝α，
∴∠EPC＝∠PDB ，
而∠ABC＝∠ACB ，
∴△PDB∽△EPC ，
∴
设PB＝x ， 则PC＝12﹣x ， 当CE＝9时，
∴
∴x2﹣12x+36＝0，
∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，
∴点P有且只有一个，
故答案为：A．
【分析】由已知得出∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB ， 则可判断△PDB∽△EPC ， 利用相似比得出 ， 设PB＝x ， 则PC＝12﹣x ， 当CE＝9时，得出 ， 根据判别式的意义得出Δ＝0，即原方程只有一个实数根，即可得出答案。
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：连接 ，则四边形 是矩形，
，
又 ，
，
，
，
，
设 ．则 ，
，
即： 当 时，
直线 与 轴交于
当 最大，此时 最小，点 越往上， 的值最大，
，
此时，
的最大值为 ．
故答案为：A．
【分析】先证明 ， 再利用相似的性质可得 ， 设 ．则 ，将数据代入计算即可。
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
设 ，则 ，
当 时，
，
即 ，
解得 ，
当 时，
，
即 ，
解得 或6，
∴ 或2或6，
∴满足条件的点 的个数有3个．
故答案为：C．
【分析】设 ，则 ，分和两种情况，再根据相似三角形的性质列出比例式计算即可。
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，
∴BE：CE＝1：4，
∴BE：BC＝1：5，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴S△BDE：S△BAC＝（ ）2＝ ．
∴S△BDE：S△ADC=1：（25-1-4）=1：20．
故答案为：C．
【分析】先求出BE：BC＝1：5，再求出△BDE∽△BAC， 最后计算求解即可。
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ；
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ， ，两式相加即可得出答案。
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∵DF=CF，BE=CE，
∴ ， ，
∴ ，
∴BG=GH=DH，
∴S△ABG=S△AGH=S△ADH ，
∴S平行四边形ABCD=6 S△AGH ，
∴S△AGH： =1：6，
∵E、F分别是边BC、CD的中点,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ =7∶24,
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例，即可得到GH=BD，进而得出 ， 根据三角形中位线定理，即可得到 ， 据此可得阴影部分图形的面积与平行四边形ABCD的面积之比。
11.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO，
∵∠A=60°，
∴∠BAO=30°，
∴AO=AB cos30°= ，
∴AC= ，
∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，
∴EG=AE，
∵EG⊥BD，AC⊥BD，
∴EG∥AC，
∴ ，
又∵EG=AE，
∴ ，
解得AE= ，
∴AE的长为 .
故答案为：D.
【分析】连接AC，交BD于点O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AC=2AO，求出∠BAO的度数，表示出AO、AC，由折叠的性质可得：EG=AE，然后根据平行线分线段成比例的性质以及EG=AE可表示出AE.
12.【答案】 C
【解析】【解答】解：取AB的中点F，连接CF，
∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，FC=FA= AB，
∴△AFC是等边三角形，
∴∠FAC=∠FCA=60°，AC=FC=FA，
∵BA=2AD，
∴AC=AD=FA，
∴△DFC是直角三角形，且∠DCF=90°，∠D=30°，
∵BE⊥DC，
∴FC∥BE，
∴△DCF △DEB，
∴ ，
∵BE=3，
∴FC=2，
∴DC= ，
∴ 的面积为 ．
故答案为：C．
【分析】先求出△AFC是等边三角形，再求出△DCF △DEB，最后利用锐角三角函数和三角形的面积公式计算求解即可。
13.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，作EG⊥AC于G，
∵CE平分∠ACB，
∴EG=EB，
∴AE=AB-BE=3-EG
由CE=CE，
∴Rt△BCE≌Rt△GCE（HL）
∴CB=CG，
∴CG=4，
∵ ，
∴AG=AC-CG=5-4=1，
在Rt△AEG中， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵O和F分别是AC、CE的中点，
∴OF是△CAE的中位线，
∴ 且 ，
因为 ，
∴ ，
由矩形可知， ，
∴ ，
解得： ，
经检验，符合题意，
过N点分别向BC、OF作垂线，垂足分别为M、K，
由 ，得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
延长OF与BC交于点H，则NK+CH=CM= ，
∴△CNO的面积 .
故答案为：D.
【分析】作EG⊥AC于G，由角平分线的性质可得EG=EB，证明Rt△BCE≌Rt△GCE，得到CB=CG=4，由勾股定理求出AC，进而得到AG，在Rt△AEG中，应用勾股定理可得EG，进而求出BE、AE，易知OF是△CAE的中位线，得到OF∥AE，OF=AE，由矩形的性质可得BD=AC=5，由平行线分线段成比例的性质可得BN，过N分别向BC、OF作垂线，垂足分别为M、K，易得BM、CM的值，延长OF与BC交于点H，求出CM，据此求解.
14.【答案】 B
【解析】【解答】解：过A作AF⊥OB于F，如图所示：
∵A（3，3 ），B（6，0），
∴AF＝3 ，OF＝3，OB＝6，
∴BF＝3，
∴OF＝BF，
∴AO＝AB，
∵tan∠AOB＝ ＝ ，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED＝∠OAB＝60°，
∴∠OCE＝∠DEB，
∴△CEO∽△EDB，
∴ ＝ ＝ ，
∵OE＝ ，
∴BE＝OB﹣OE＝6﹣ ＝ ，
设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，
则 ＝ ， ＝ ，
∴6b＝30a﹣5ab①，24a＝30b﹣5ab②，
②﹣①得：24a﹣6b＝30b﹣30a，
∴ ＝ ，
即AC：AD＝2：3.
解法二：∵△CEO∽△EDB，△COE周长 ，△DEB周长 ，
∴相似比就是2：3，
∴CE：DE＝2：3，
即AC：AD＝2：3.
故答案为：B.
【分析】过A作AF⊥OB于F，根据tan∠AOB＝并结合特殊角的三角函数值可得∠AOB=60°，结合已知可得△AOB是等边三角形，由折叠的性质可得△CEO∽△EDB，则可得比例式 ， 设CE＝a，ED＝b，可得关于a、b的方程，整理方程可求解.
15.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵AB＝2，点E是BC边的中点，
∴CE＝1，
∵∠DNM＝∠FNC，
∵FG⊥DE，
∴∠DMN＝90°，
∴∠DMN＝∠NCF＝90°，∠GFB＝∠EDC，
，①符合题意；
②∵∠DMN＝∠NCF＝90°，∠MND＝∠FNC，
∴∠MDN＝∠CFN
∵∠ECD＝∠EMF，EF＝ED，∠MDN＝∠CFN
∴△DEC≌△FEM（AAS）
∴EM＝EC，
∴DM＝FC，
∠MDN＝∠CFN，∠MND＝∠FNC，DM＝FC，
∴△DMN≌△FCN（AAS），
∴MN＝NC，故②符合题意；
③∵BE＝EC，ME＝EC，
∴BE＝ME，
在Rt△GBE和Rt△GME中，BE＝ME，GE＝GE，
∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL），
∴∠BEG＝∠MEG，
∵ME＝EC，∠EMC＝∠ECM，
∵∠EMC+∠ECM＝∠BEG+∠MEG，
∴∠GEB＝∠MCE，
∴MC∥GE，
∴ ，
∵EF＝DE＝ ，
CF＝EF﹣EC＝ ﹣1，
∴ ，故③不符合题意；
④由上述可知：BE＝EC＝1，CF＝ ﹣1，
∴BF＝ +1，
∵tanF＝tan∠EDC＝ ，
∴ ，故④符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用三角函数求得①正确；证明△DEC≌△FEM（AAS）可得DM=FC，再证明△DMN≌△FCN（AAS）可得②正确；由三角形全等，勾股定理可得③错误；根据BE=EC=1，CF=5-1，由三角函数，可得④正确，即可得到答案。
二、填空题
16.【答案】 3
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形ABEC均为平行四边形，
∴AC//BE, AC=BE ， AB=CE=DC,
∴ ,
∴ ,
∵CE=DC ， ,
∴ ,
∵点H为BE的中点，AC=BE ，
∴ ,
∴ ,
∵平行四边形ABCD的面积为8cm2 ，
根据平行四边形对角线平分平行四边形的面积可得 cm2,
∴△ADF的面积为3cm2 ．
故答案为：3.
【分析】先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
17.【答案】
【解析】【解答】∵DE是△ABC的中位线，
∴ = ，DE∥BC，
∵M是DE的中点，
∴ = ，
∵DE∥BC，
∴△DNM∽△BNC，
∵ = ，
∴ =（ ）2= ．
【分析】先求出 = ，DE∥BC，再求出△DNM∽△BNC，最后计算求解即可。
18.【答案】
【解析】【解答】解：如图，DB与CE交于点O，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，
∴CE⊥BF，
∴∠COD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝∠ABC＝90°，AB＝DC＝2，
∴∠DCE+∠CDB＝∠DCE+∠ECB＝90°，
∴∠CDB＝∠ECB，
∴△DCB∽△CBE，
∴ ，
设CB＝x，
∵E是AB的中点，
∴BE＝1，
∴ ，
∴x＝ （负值舍去），
故答案为： ．
【分析】利用折叠的性质可证得CE⊥BF，利用矩形的性质和余角的性质可证得∠CDB＝∠ECB，可得到△DCB∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设CB＝x，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
19.【答案】 2cm
【解析】【解答】解：∵AB∥CD ，
∴ ，
∴ ，
∵AB∥EF ，
∴ ，
又∵AB=3cm ，
∴EF=2cm ．
故答案为：2cm ．
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ， 即得 ， 由AB∥EF ， 可得 ， 从而求出EF的长.
20.【答案】
【解析】【解答】解：作 于点H，EG与CD相交于点O，
在 中， ，∠B＝60°，BC＝4，
当EO取得最小值，即 时，EG有最小值，此时EO长为
平行四边形ABCD中， ，EF=CG，
DE＝3DF，
∴OG=
.
故答案为：.
【分析】作CH⊥AB于点H，EG与CD相交于点O，根据∠B的正弦函数求出CH，推出当EO⊥CD时，EG有最小值，此时EO长为 ， 易证△EOD∽△GOC，由相似三角形的性质可得OG，然后根据EG=EO+OG进行计算.
21.【答案】 8∶5
【解析】【解答】解：过点D作DF∥BE交AC于F，
∵DF∥BE，
∴AM∶MD=AE∶EF=4；1=8∶2，BD∶DC=EF∶FC=2∶3，
∴AE∶EC=AE∶(EF+FC)=8∶(2+3)=8∶5.
故答案为：8∶5.
【分析】过点D作DF∥BE交AC于F，根据平行线分线段成比例可得AM∶MD=AE∶EF=4；1=8∶2，BD∶DC=EF∶FC=2∶3，从而求出结论.
22.【答案】 12
【解析】【解答】解：作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵∠EAF=180°-∠EAC=180°-90°-∠BAC=45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴EF=AF，
设EF=AF=x，
∵∠EAD+∠BDC=∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠EAF=∠BCD，
∵∠EFA=∠CBD，
∴△EDF∽△DBC，
∴ ， 即 ，
解得x=4，
∴ED=4，
∴△EAD的面积=.
故答案为：12.
【分析】首先求出△AEF为等腰直角三角形，设EF=AF=x，再证明△EDF∽△DBC，根据相似三角形的性质列出比例式，建立方程求出ED的长，最后计算面积即可.
23.【答案】 10
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，AD∥BC，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∵AB=BC=CD=AD=4，CF=3FD，
∴DF=1，CF=3，
∴ ，
∴ ，
解得：DE=2，
∵AD∥BC，
∴△EDF∽△GCF，
∴ ，
∴ ，
∴CG=6，
∴BG=BC+CG=4+6=10．
故答案为：10．
【分析】由正方形的性质得出∠A=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，AD∥BC，证出∠ABE=∠DEF，即可得出△ABE∽△DEF，求出DF=1，CF=3，由相似三角形的性质解得DE=2，证明△EDF∽△GCF，求出CG=6即可得到答案。
24.【答案】
【解析】【解答】解： 如图，
∵EF⊥AD，
∴∠EFG=∠EFD=90°，
∵FG＝FD，EF=EF，
∴△DFE≌△GFE，
∴∠5＝∠B＋∠1＝∠4＝∠2＋∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠B，
∴△AGH∽△ADB，
∵AB＝5，AC＝4，H是AC的中点，
∴AH＝2，
∴ ，而 AD＝AG＋GD，
∴ ，
∴ ，
∵GF=DF，
∴ ＝ ．
故答案是： ．
【分析】先证明△DFE≌△GFE，可得∠5＝∠B＋∠1＝∠4＝∠2＋∠3，从而得出∠3＝∠B，可证△AGH∽△ADB，可得 ， 从而求出 ， 结合GF=DF可得 ＝ .
25.【答案】 6
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ADC=90°
∵OG=3DG
∴设DG=3a，CG=9a
∴AB=AD=BC=CD=12a
∴DG∥AB
∴=
∴DH=4a，GH=5a，BH=20a
∴BG=BH-GH=15a
∵AE2=BF×BH，AE=AB
∴AB2=BF×BH
∴
∵∠ABF=∠ABH
∴△ABF∽△HBA
∴∠AFB=∠BAH=90°，
∴AF==a，BF=a
∴FG=BH-BF-GH=a
∵AE=AB=AD
∴∠ADE=∠AED
∵∠ADE+∠GDK=90°，∠KEF+∠EKF=90°，∠EKF=∠GKD
∴GD=GK=3a
∴BK=BG-GK=12a
如图，作KM⊥BC于M，即可得到△BKM∽△BGC
∴
∵CG=CD-DG=12a-3a=9a
∴KM=a
∴S△BCK=×BC×KM=×12a×a=a2
∵FG==a
∴a=
∴S△BCK=a2=×=6.
【分析】根据正方形的性质以及相似三角形的判定和性质，求出三角形的面积即可。
26.【答案】 , ,
【解析】【解答】解：当BE=PE时，
∵△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠BPE=∠C=∠DEF=45°，
∴∠QEC=90°-45°=45°，
∴∠EQC=180°-45°-45°=90°；
在Rt△BPE中
即
解之：BE=3，
∴EC=BC-BE=10-3=7;
在Rt△EQC中
2EQ2=EC2=72
解之：;
在Rt△ABC中
2AC2=BC2=102
解之：；
∴;
当BP=PE=
∴∠BEP=∠DEF=45°，
∴BE2=2BP2=2（）2
解之：BE=6，
∴EC=10-6=4；
∵∠BEP=∠DEF=45°，
∴∠FEC=90°,
∴2CE2=CQ2=2×42
解之：CQ=
∴AQ=AC-CQ=;
当BP=BE=时，
∴CE=BC-BE=10-,
∵∠DEC=∠DEF+∠QEC=∠B+∠BPE
∴∠BPE=∠QEC，
∴△BPE∽△CQE，
∴即
解之：CQ=
∴AQ=AC-CQ=.
∴ AQ的长为.
故答案为：.
【分析】利用有两边相等的三角形是等腰三角形，分情况讨论：当BE=PE时，利用等腰直角三角形的性质，可求出∠QEC，∠EQC的度数；利用勾股定理求出BE的长，从而可求出EC的长；在Rt△EQC和△ABC中，利用勾股定理求出QC和AC的长；然后根据AQ=QC-CQ，可求出AQ的长；当BP=PE时，利用勾股定理求出BE的长，可得到EC的长；再利用勾股定理求出CQ的长，进而可求出AQ的长；当BP=BE时，易证△BPE∽△CQE，利用相似三角形的对应边成比例可求出CQ的长；根据AQ=AC-CQ,代入计算求出AQ的长；综上所述可得到AQ的长.
27.【答案】
【解析】【解答】解： 矩形AOBC，OB＝8，OA＝6，

由对折可得：

过 作 于

所以



在 的图象上，






解得：
故答案为：
【分析】由矩形的性质可得AC=OB=8，AO=BC=6，∠C=∠OBC=90°，由折叠的性质可得EC=ED，FC=FD，∠C=∠FDE=90°，过E作EQ⊥OB于Q，由同角的余角相等可得∠FDB=∠DEQ，证明△EQD∽△DBF，设E（ ， 6），F（8，），然后表示出CF、EC，根据相似三角形的性质可得BD，接下来在Rt△BFD中，应用勾股定理求解就可得到k的值.
28.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接 交 于点 ，作 于点 ， 于点 ，
四边形 是矩形，
， ，
，
；
，
；
由折叠得， 垂直平分 ，
，
，
，
，
，
， ；
由 得， ，
解得， ；
， ，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： .
【分析】连接BF交CE于点G，作FH⊥BC于点H，PQ⊥BC于点Q，由矩形的性质可得AB=CD=2，∠ABC=∠BCD=90°，由勾股定理求出BD，EC，由折叠的性质可得：CE垂直平分BF，则∠BGC=∠EBC，证明△BGC∽△EBC，根据相似三角形的性质求出GB，进而求出BF、CG的值，根据三角形的面积公式可得FH，证明△CPQ∽△CFH，△BPQ∽△BDC，由相似三角形的性质可得CQ、BQ，据此求解.
29.【答案】 ①②
【解析】【解答】∵AE AD ， AD AB ，
∴AE AB ．
在Rt△ABE中，∠ABE=90°，cos∠BAE= ，
∴cos∠BAE= ．
∴∠BAE=45°，即△ABE是等腰直角三角形．
∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠DAF=45°．
∵DF⊥AE ，
∴∠ADF=45°，即△ADF是等腰直角三角形．
∴AD AF ．
∴AF=AB ．
∵在矩形ABCD中，AB=CD ，
∴AF=CD ．故①符合题意；
又∵AF=AB ， ∠BAE=45°，
∴∠ABF=67.5°．
∴∠CBG=22.5°．
又∵AE=AD ， ∠DAE=45°，
∴∠ADE=67.5°．
∴∠CDE=22.5°．
∴∠CBG=∠CDE ．
∵∠C=∠C，
∴△DCE∽△BCG ．
∴ ．
∵在矩形ABCD中，BC=AD CD ，
∴ ．
在△ABF和△ADE中．∠BAF=∠DAE=45°，AF AB ，AE AD ，
∴△ABF∽△ADE ．
∴ ．
在△ABF和△OEF中，∠OEF＝∠ADE＝67.5°＝∠ABF ，
∵∠AFB=∠OFE ， ∠AFB=∠ABF ，
∴△ABF∽△OEF ， ∠OEF=∠OFE ．
∴OE＝OF ， ∠EOF=45°．
又∵∠EOF=∠DFO+∠ODF =45°，∠ODF=∠ADE-∠ADF=22.5°，
∴∠ODF =∠DFO ．
∴OF OD ．
∴OE OF OD DE ．
∴ ．故②符合题意；
在△BEF和△FDG中, BE =FD ， ∠EBF=∠DFG ， ∠BEF =∠FDG=∠ADC-∠ADF=45°，
∴△BEF≌△FDG ．
连接CF ．
又∵ BC=AD AD BE ，
∴ ．故③不符合题意；
∵△ABF∽△ADE ， △ABF∽△OEF ，
∴△ADE∽△OEF ．
在△BEF和△BOE中， ∠BEF ∠BOE 45°，∠EBF ∠OBE ，
∴△BEF∽△BOE ．
在△BOE和△DOG中， ∠ODG ∠OBE ， ∠BOE ∠DOG ，
∴△BOE∽△DOG ．
∴△BEF∽△DOG ．
又∵△DCE∽△BCG ，
∴图形中相似三角形超过6对，故④不符合题意．
综上，正确的结论是①②．
故答案为：①②．
【分析】得出△ABE是等腰直角三角形和△ADF是等腰直角三角形，AF=CD ．故①符合题意；得出△DCE∽△BCG，即可得出 ．故②符合题意；得出△BEF≌△FDG，连接CF，因为BC=AD AD BE ， ．故③不符合题意；
因为△ABF∽△ADE ， △ABF∽△OEF ， 得出△ADE∽△OEF，在△BEF和△BOE中，△BEF∽△BOE，在△BOE和△DOG中，△BOE∽△DOG，因为△DCE∽△BCG ， 得出图形中相似三角形超过6对，故④不符合题意．
30.【答案】 1；
【解析】【解答】解：①∵AB=3，BC=6， ，

∴ ，
∴ .
又∵PB=PC，
∴ 是等边三角形.
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴ ；
②如图，作BC的垂线交BD的延长线于点F，作 于点Q.
∵ ，
∴ ，
∴B、C、F、P四点共圆.
根据所作辅助线可知 ，
∴BF为⊙O直径.
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 .
∴求 的最大值，即PQ最大即可.
根据题意结合图形可知当Q点和O点重合时PQ最大，即最大值为⊙O半径.
∵ ，
∴ ，
∴PQ最大值为 ，
∴ .
故答案为：1， .
【分析】①由题意可求出 ，又可证明 是等边三角形.得出结论 ，从而可求出 ，进而求出 ，最后根据等边三角形“三线合一”即可证明 ，即 ；
②如图，作BC的垂线交BD的延长线于点F，作 于点Q.由圆周角定理可判断B、C、F、P四点共圆，且BF为⊙O直径.又易证 ，得出结论 ，即 .故求PQ最大即可.结合图形可知当Q点和O点重合时PQ最大，且最大值为⊙O半径，即根据含 角的直角三角形的性质结合勾股定理求出半径即可求出 的最大值.
31.【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点F作BC的垂线，分别交BC、AD于点M、N ， 则MN⊥AD ， 延长GF交AD于点Q ，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=6，
∴∠ABC=90°，AD∥BC ，
∵BE平分∠ABC ，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∴△MBF、△ABE、△EFN是等腰直角三角形，
∵BF=3 ，BE=4 ，
∴EF=BE-BF= ，
∴EN=NF=1，
∴DE=2，DN=3，
∴AN=BM=FM=DN=3，
∵∠DFG=∠DNF=90°，
∴∠FDN=∠GFM ，
在△FDN和△GFM中，
，
∴△FDN≌△GFM（ASA），
∴NF=MG=1，
由勾股定理得：FG=FD= ，
∵QN∥BC ，
∴ ，
∴ ，
∴FQ= ，QN= ，
设GH=x ， 则FH= ，
∵QD∥BG ，
∴ ，
∴ ．
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
即GH= ．
故答案为： ．
【分析】作辅助线，构建相似三角形和全等三角形，先根据△MBF、△ABE、△EFN是等腰直角三角形，证明△FDN≌△GFM（ASA），得出NF=MG=1，再利用勾股定理得：FG=FD= ，求得FQ= ，QN= ，设GH=x ， 则FH= ，列方程求得GH的长。
32.【答案】 3
【解析】【解答】如图，过点F作FG//BC，交DE于点G，过点M作MH FG，过点N作PN FG，
在矩形 中， ，
,
FG//BC，F是 边的中点，
，
N到FG的距离
，
同理可得，
M到FG的距离 ，
，
故答案为：3.
【分析】如图，过点F作FG//BC，交DE于点G，过点M作MH FG，过点N作PN FG，根据矩形的性质得出 , ， 根据三角形中位线定理得出 ， 证明 ， 可得FG=BE，从而求出N到FG的距离h1= ， ，证明 ， 由 ，
可求出M到FG的距离 ， ， 根据计算即可.
33.【答案】
【解析】【解答】解：过点N作NG⊥BF于点G ， 如图，
∵ 沿 折叠后，点C正好落在 边上的F处，
∴BF=BC=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥AD ，
∴∠A=90°，
在Rt△ABF和Rt△GNF中，∠AFB=∠GFN ， ∠FAB=∠FGN=90°，
∴△ABF∽△GNF
∴
设GN=x ， 则AB=2x ，
∵BM是 的平分线
∴∠ABN=∠GBN ，
在Rt△ABN和Rt△GBN中， ，BN=BN ， ∠ABN=∠GBN ，
∴△ABN≌△GBN ，
∴AN=GN=x
∴AF=AN+NF=2+x
在Rt△BAF中，由勾股定理得， ，即：
解得，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】先证明△ABF∽△GNF，再求出 ， 最后计算即可。
34.【答案】
【解析】【解答】解：连接 ， ，
，
，
为等边三角形，
平分
平分
，
，
即
，
点轨迹为直线 ，
当 时， 最小，
此时 ，
，
故答案为：
【分析】如图，连接CG，CE．证明 ，推出 ，推出 ，推出点E的运动轨迹是直线EC，推出当AE⊥EC时，AE的值最小，再利用勾股定理求出BE即可．
35.【答案】 ①④
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，
∵E和F分别为BC和CD中点，
∴DF=EC=2，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠EDC+∠AFD =90°，
∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，故①符合题意；
∵AD=4，DF= CD=2，
∴AF= ，
∴DG=AD×DF÷AF= ，故②不符合题意；
∵H为AF中点，
∴HD=HF= AF= ，
∴∠HDF=∠HFD，
∵AB∥DC，
∴∠HDF=∠HFD=∠BAG，
∵AG= ，AB=4，
∴ ，
∴ ，故④符合题意；
∴∠ABG=∠DHF，而AB≠AG，
则∠ABG和∠AGB不相等，
故∠AGB≠∠DHF，
故HD与BG不平行，故③不符合题意；
故答案为：①④.
【分析】证明△ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到∠DGF=90°，可判断①，再利用三角形等积法AD×DF÷AF可算出DG，可判断②；再证明∠HDF=∠HFD=∠BAG，求出AG，DH，HF，可判定 ，可判断④；通过AB≠AG，得到∠ABG和∠AGB不相等，则∠AGB≠∠DHF，可判断③.
36.【答案】 ①③④
【解析】【解答】解：如图，过点G作MN∥AB ， 分别交AD、BC于点M、N ．
∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝12，由折叠可得：AB＝BE ， 且∠A＝∠ABE＝∠BEF＝90°，∴四边形ABEF为正方形，∴AF＝AB＝10，故①符合题意；
∵MN∥AB ， ∴△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且MN＝AB＝10，设BN＝x ， 则GN＝AM＝x ， MG＝MN﹣GN＝10﹣x ， MD＝AD﹣AM＝12﹣x ， 又由折叠的可知DG＝DC＝10．在Rt△MDG中，由勾股定理可得：MD2+MG2＝GD2 ， 即（12﹣x）2+（10﹣x）2＝102 ， 解得：x=18（舍去），x＝4，∴GN＝BN＝4，MG＝6，MD＝8，又∠DGH＝∠C＝∠GMD＝90°，∴∠NGH+∠MGD＝∠MGD+∠MDG＝90°，∴∠NGH＝∠MDG ， 且∠DMG＝∠GNH ， ∴△MGD∽△NHG ， ∴ ，即 ，∴NH＝3，GH＝CH＝5，∴BH＝BC﹣HC＝12﹣5＝7，故④符合题意；
又∵△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且BN＝4，MG＝6，∴BG＝4 ，GF＝6 ，∴△BGH的周长＝BG+GH+BH＝4 5+7＝12+4 ，故②不符合题意；③符合题意；
综上可知正确的为①③④．
故答案为①③④．
【分析】如图，过点G作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N，可得四边形ABEF为正方形，从而求出AF的长，据此判断①；可求出△BNG和△FMG为等腰直角三角形，设BN＝x，则GN＝AM＝x，可得MG＝MN﹣GN＝10﹣x，MD＝AD﹣AM＝12﹣x，又由折叠的可知DG＝DC＝10．在Rt△MDG中，利用勾股定理构建关于x的方程，求出x值，再证△MGD∽△NHG，可求出NH、GH、CH的长，从而求出BH、BG、GF及△BGH的周长，据此判断②③④.
37.【答案】 2
【解析】【解答】解：过Q作QE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2 ，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4 ，BC＝ AC＝6，
∵∠AFC＝90°，∠A＝60°，
∴∠ACF＝30°，
∴AF＝ ，CF＝3，
设PF＝x，BQ＝y，
∴QE＝ BQ＝ y，BE＝ y，
∴PE＝3 ﹣ y﹣x，
∵PQ⊥PC，
∴∠PEQ＝∠CFP＝∠CPQ＝90°，
∴∠EQP+∠EPQ＝∠EPQ+∠CPF＝90°，
∴∠PQE＝∠CPF，
∴△PEQ∽△CFP，
∴ ，
∴
∴x2+（ y﹣3 ）x+ ＝0，
∵方程有实数解，
∴△≥0，
∴（ y﹣3 ）2﹣6y≥0，
整理得，y2﹣20y+36≥0，
解得y≤2或y≥18（舍弃），
∴BQ≤2，
∴BQ的最大值为2．
故答案为2．
【分析】过Q作QE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，利用相似三角形的性质根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可．
38.【答案】
【解析】【解答】如图，作正方形ABNM，MN与AF交于点G，连接EG，延长EB至H，使BH＝MG，连接AH，

∵在正方形ABNM中，
∴∠AMG＝∠ABH，AM＝AB，
在△AMG和△ABH中，
∵ ，
∴△AMG≌△ABH（SAS），
∴∠BAH＝∠GAM，AG＝AH，
∴∠GAH＝90°，
∴∠EAG＝∠EAH＝45°，
在△GAE和△HAE中，
∵ ，
∴△GAE≌△HAE（SAS），
∴EG＝HE＝BE+HB，
∴EG＝BE+MG，
设MG＝x，则NG＝3-x，EG＝x+ ，
在Rt△GEN中，EG2＝NG2+NE2 ， 即（x+ ）2＝（3﹣x）2+ ，
解得:x＝1，即MG＝1，
∵MN∥CD，
∴△AGM∽△AFD，
∴ ，即 ，
解得:DF＝2，
∴
【分析】如图，作正方形ABNM，MN与AF交于点G，连接EG，延长EB至H，使BH＝MG，连接AH，证△AMG≌△ABH，△GAE≌△HAE，根据全等三角形的性质得出EG＝HE＝BE+MG，设MG＝x，根据全等三角形的性质得到用x表示出MG，根据勾股定理求出MG，根据相似三角形的性质求出DF，利用勾股定理即可求出AF的长.
39.【答案】
【解析】【解答】解：连接CM，过点M作MF⊥BD于点F
∵△ABC为等腰三角形，∠ACB=90°，点M为AB的中点，AB=
∴BM=AB=10 ， AC=BC=20，∠CMB=90°，∠BCM=45°
∵CD⊥BN
∴∠CDB=90°
∴∠CDB+∠CMB=180°
∴点C，M，B，D四点共圆
∴∠MDB=∠BCM=45°，∠DCB=∠BMD
∴△DMF为等腰三角形
∵MD=14 ， ∴MF=DF=14
在直角三角形BMF中，BF==2
∵cos∠CBN= ， ∴BN=25
∴DN=BN-BD=9
∵∠BNE=∠BNA，而∠DCN+∠BNA=90°
∴∠BNE+∠DCN=90°
∴∠BNE=∠DCN
∴∠BNE=∠BMD
∵∠NDE=∠MDB
∴△NDE∽△MDB
∴
解得，NE=
【分析】根据等腰直角三角形的判定以及性质，四点共圆的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质进行证明即可得到答案。
40.【答案】 ；x
【解析】【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为1，BM＝x，
∴AM＝ ，
∵点N是AM的中点，
∴AN＝ ，
∵EF⊥AM，
∴∠ANE＝90°，
∴∠ANE＝∠ABM＝90°，
∵∠EAN＝∠MAB，
∴△AEN∽△AMB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AE＝ ，
故答案为： ；
（ 2 ）解：如图，连接AK、MG、CK，
由正方形的轴对称性△ABK≌△CBK，
∴AK＝CK，∠KAB＝∠KCB，
∵EF⊥AM，N为AM中点，
∴AK＝MK，
∴MK＝CK，∠KMC＝∠KCM，
∴∠KAB＝∠KMC，
∵∠KMB+∠KMC＝180°，
∴∠KMB+∠KAB＝180°，
又∵四边形ABMK的内角和为360°，∠ABM＝90°，
∴∠AKM＝90°，
在Rt△AKM中，AM为斜边，N为AM的中点，
∴KN＝ AM＝AN，
∴ ＝ ，
∵△AEN∽△AMB，
∴ ＝ ＝x，
∴ ＝x，
故答案为：x.
【分析】（1）根据勾股定理求得AM，进而得出AN，证得△AEN∽△AMB，由相似三角形的性质即可求得AE的长；
（2）连接AK、MG、CK，构建全等三角形和直角三角形，证明AK＝MK＝CK，再根据四边形的内角和定理得∠AKM＝90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得NK＝ AM＝AN，然后根据相似三角形的性质求得 ＝ ＝x，即可得出 ＝x.