2021-2022学年北师大版数学九年级上册4.4探索三角形相似的条件同步习题（word版含解析）

2021-2022学年初中数学九年级上册（北师大版）
4.4探索三角形相似的条件-同步习题
时间：40分钟
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，下列三个三角形中相似的是（ ）
A．A与B B．A与C C．B与C D．都相似
3．如图，等边中，点E是的中点，点D在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（　　）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝AP×AC
5．如图，点D，E分别在的边上，增加下列哪个条件不能使与相似？（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，欲证，可补充条件（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为2、3、2.5，的三边长分别为6、3、4，则与______相似．
8．如图，，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有_____组．
9．如图，已知，则____________，____________．
10．如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知，又因为________，可证明△AOB∽△DOC．
11．如图，在Rt△ABC的直角边AC上有一任意点P（不与点A、C重合），过点P作一条直线，将△ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有_____条．
12．如图，点D在的边上，当______时，与相似．
三、解答题
13．如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？
14．如图中的两个三角形是否相似？为什么？
15．如图，，在线段上求作一点，使.(不写作法，保留作图痕迹)
16．如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？
17．如图，已知等边三角形ABC，点M为BC边的中点，连接AM，请利用直尺和圆规在边AB上找一点P，使得△MPB∽△AMC．（保留作图痕迹，不写做法）
18．如图，中，CD是斜边AB上的高．求证：
（1）；
（2）．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．D
【解析】解：A、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项A不符合题意；
B、由两组对边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项B不符合题意；
C、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项C不符合题意；
D、无法证明图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项D符合题意；
故选：D．
2．B
【解析】解：设每个单元格的边长为1，
则A中三角形的三边长分别为2，，；
B中三角形的三边长分别为3，，；
C中三角形的三边长分别为5，，．
∵，
∴A与C相似．
故选：B
3．B
【解析】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
4．D
【解析】解：A、当∠ACP=∠B，∠A=∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、当∠APC=∠ACB，∠A=∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
C、当AC2=AP AB，即AC：AB=AP：AC时，结合∠A=∠A，可以判定△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、当AB×CP=AP×AC时，不能判断△APC和△ACB相似．故本选项符合题意；
故选：D．
5．A
【解析】解：由题意得，∠A=∠A，
A、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；
B、当时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意．
C、当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
D、当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；
故选：A．
6．D
【解析】解：，
，即．
当或或时，．
故选：．
7．
【解析】解：的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为2、3、2.5
∵
∴与不相似
的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为6、3、4
∵
∴与相似
故答案为
8．3
【解析】解：∵，
∴△DEA∽△FGA∽△BCA，
∴一共有3组相似三角形，
故答案为：3．
9．△ACD △ABE △BOD △COE
【解析】解：∵，，
∴△ACD∽△ABE，
∵，，
∴△BOD∽△COE，
故答案为：△ACD，△ABE，△BOD，△COE．
10．∠AOB＝∠DOC
【解析】解：∵，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．
故答案为：∠AOB＝∠DOC．
11．4
【解析】解：①过点P作AB的垂线段PD，则△ADP∽△ACB；
②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则△APE∽△ACB
③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则△PCF∽△ACB；
④作∠PGC＝∠A，则△GCP∽△ACB．
故答案为：4．
12．
【解析】由∠BAC=∠CAD共用，
当时，
∽．
故答案为：．
13．相似
【解析】解：∵放大镜里的三角尺的三个角与原来三角尺的三个角张开的角度相等，
∴从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似．
14．（1）相似，因为三边成比例；（2）相似，因为两边成比例，夹角相等．
【解析】解：（1）相似，理由如下：
标字母如图，
∵，，，
∴，
∴∽；
（2）相似，理由如下：
∵，，
∴，
又∵∠ACB=∠ECD，
∴∽．
15．见解析.
【解析】解：如图所示，
点即为所求.
16．当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似
【解析】在Rt△ABC中，BC3．
∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∴分两种情况讨论：
①当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，解得：BD；
②当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，解得：BD．
综上所述：当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似．
17．详见解析
【解析】解：如图所示：作MP⊥AB于点P，
则点P即为所求作的点．
∵ABC等边三角形
∴△MPB∽△AMC．
18．（1）见解析；（2）见解析
【解析】证明：（1）∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
（2）∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△CBD∽△ABC．
答案第1页，共2页
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