2021-2022学年北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明同步习题（Word版，附答案解析）

2021-2022学年初中数学九年级上册（北师大版）
4.5相似三角形判定定理的证明-同步习题
时间：40分钟
一、单选题
1．如图，锐角，是边上异于、的一点，过点作直线截，所截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线共有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，则图中的相似三角形对数共有（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
3．如图，中，、分别在、上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
5．如图，是正方形的边上一点，下列条件中：①；②；③；④；⑤．其中能使的有（ ）
A．①② B．①②③
C．①②③④ D．①②③④⑤
6．甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
二、填空题
7．如图，在中，D是边上的点，如果________或________，则.
8．在和中，，则这两个三角形________相似三角形(填“是”或“不是”)，根据是__________________________．
9．如图，添上条件________，则．
10．如图,在△ABC中,边AB上有一点M,过M点作直线截△ABC,使截到的三角形与△ABC相似,则满足这样条件的直线共有____条.
11．在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在直线AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长为________
12．如图，在中，点在上，交于点，若，且，则_________．
三、解答题
13．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
14．已知：如图，在和中，．
求证：．
15．已知：如图，在和中，．
求证：．
16．已知：如图，在和中，．
求证：．
17．如图，，点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，求的长．
18．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.求证：
(1)△ACB ∽△DCE；
(2)EF⊥AB.
.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．D
【解析】
（1）如图1，作PE平行于BC，则△APE△ABC,（2）如图2，作PE平行于AC，则△BPE△BAC,（3）如图3，作PE，使AE：AB=AP：AC,此时∠A.是公共角，△APE△ACB,（4）如图4，作PE，使BP：CB=BE：AB．此时∠B是公共角，△PEB△ACB
所以共有四种画法，即四条直线满足条件，故选D．
2．C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△ABF∽△DEF，△EFD∽△EBC，
∴△ABF∽△CEB，
∴图中的相似三角形共有3对，故选C.
3．D
【解析】解：
A.∠ADE=AC，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故此选项错误；
B. ，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故此选项错误；
C. ，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故此选项错误；
D. ，不能判定△ADE∽△ACB，故此选项正确.
故选：D.
4．D
【解析】由题意得：△ADC∽△ACB；△ADC∽△CDB；△CDB∽△ACB．
故选D．
5．D
【解析】解：∵∠B=∠C=90°，∴只要满足或，均可判定△ABE∽△ECF，所以①②都正确；
③中，当时，∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF，故③正确；
④中对应边成比例，且夹角均为90°，∴△ABE∽△ECF，故④正确；
⑤中，当时，则，即，
∴，∴，∴，
又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴⑤正确；
综上，故选D.
6．C
【解析】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不正确．
故选：C．
7．
【解析】由图可知,根据相似三角形的判定，再加一个对应角相等即可，
所以，可以为：或使得
故答案为：或
8．是 两角分别相等的两个三角形相似
【解析】解：在中，
∴=45°
∴
在和中，，
∴~
故答案为：是；两角分别相等的两个三角形相似
9．∠ABC=∠ADE（答案不唯一）
【解析】添上∠ABC=∠ADE条件，则△ABC∽△ACD．
理由：∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．
故答案为∠ACD=∠B（答案不唯一）
10．4
【解析】①如图1，作∠AME=∠B，则△AME∽△ABC；
②如图2，作∠BME=∠A，则△MBE相似于△ABC；
③如图3，作∠AME=∠C，则△AEM相似于△ABC；
④如图4，作∠BME=∠C，则△EBM相似于△ABC.
所以满足这样条件的直线有4条.
故答案为：4.
11．或20
【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，
∴AE=DE=3，AB=DC=10，AB=BC=6，
∵△CBF与△CDE相似，
∴=，或=，
∴=，或=，
解得：BF=或20.
故答案为或20.
12．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE：BE=4：3，
∴BE：AB=3：7，
∴BE：CD=3：7．
∵AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴BF：DF=BE：CD=3：7，
即2：DF=3：7，
∴DF=．
故答案为．
13．证明见解析．
【解析】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
14．见解析
【解析】证明：在的边（或它的延长线）上截取，过点D作的平行线，交直线于点E，则，
∴（两角分别相等的两个三角形相似）．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
而，
∴．
∴．
15．见解析
【解析】证明：在的边（或它的延长线）上截取，过点D作的平行线，交于点E，则
，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）．
过点D作的平行线，交于点F，则
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴．
∴．
而，
∴．
∵，
∴．
∴．
16．见解析
【解析】证明：在线段AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
又，AD＝A′B′，
∴＝，＝，
∴DE＝B′C′，AE＝A′C′，
在△ADE和△A′B′C′中
，
∴△ADE≌△A′B′C′（SSS），
∴△ABC∽△A'B'C'．
17．当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
【解析】解：设DP=x，则BP=BD-x=14-x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
∴当时，△ABP∽△CDP，即，
解得；
当时，△ABP∽△PDC，即，
整理得x2-14x+24=0，
解得x1=2，x2=12，
BP=14-2=12，BP=14-12=2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
18．（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】（1）证明：∵
∴=，
又∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ACB∽△DCE；
（2）∵△ACB∽△DCE，
∴∠B=∠E，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠E+A=90°，
即∠EFA=90°，
∴EF⊥AB．答案第1页，共2页
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