八年级数学（2）勾股定理在几何图形中的计算与应用
文档属性
| 名称 | 八年级数学（2）勾股定理在几何图形中的计算与应用 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 661.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-11-02 14:53:25 | ||
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文档简介
课件43张PPT。勾股定理的应用 勾股定理（gou-gu theorem)如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。问题1.直角三角形三边有什么关系?
2.如图,在Rt△ABC中
∠C=90o①已知a,b. C=______②已知a, c. b=______③已知b,c a=_____3.你能利用勾股定理解决什么样的实际问题?练习:1、在△ABC中，∠B=90°若a=3，b=5，
则c=
2 、在Rt△ABC中，∠C=90°,∠C的对边为c, c=7,b=3, 则a=_____
3、等腰直角三角形的腰长为3cm，则底边长为 .
4、直角三角形的两边长为3厘米和5厘米，
则第三边长为 .
5、直角三角形两直角边分别为6cm,8cm，
那么这个直角三角形的斜边长为：___ 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=______；
②若c=61，b=60，则a=_____；
③若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=_____。 1311242、把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（ ）
A.不变 ,
B.扩大到原来的3倍
C.扩大到原来的9倍
D.减小到原来的1/3
B3、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )
A.25 B.14 C.7 D.7或25ABCD7cm2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则
正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。49(1)求出下列直角三角形中未知的边.问题: ①在解决上述 问题时,每个 直角三角形 需知 晓几个 条件?
② 直角三角形中哪条边最长?
检查：(2)在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为2m,求AC长． 探究1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?2mDCAB连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
因此,AC= ≈2.236
因为AC______木板的宽,
所以木板____ 从门框内通过.大于能1m2m
(1)一个门框的尺寸如图所示.
①若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问
怎样从门框内通过?
②若薄木板长3米,宽1.5米呢?
③若薄木板长3米,宽2.2米还能通过吗?
若能，怎么通过？若不能，为什么？
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( )A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米C试一试:
３４探究２如图，一个３m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m至ｃ，请同学们
猜一猜，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
算一算，底端滑动的距离近似值（保留两位小数)在Ｒt△AOB中oB2=______________oB=______________在Rt△COD中OD2=______________OD=________________BD=_______________梯子的顶端沿墙下滑，梯子底端外移＿＿解AB2-AO2≈1.658mCD2-CO2≈2.236mOD-OB≈0.58m0.58m 2、如图有两颗树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？8m2m8mABCDE一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米处，升起云梯到失火的窗口，已知发生火灾的窗口距地面有14.2米，云梯底部距地面2.2米，问云梯至少需要搭出多少米可以够到失火的窗口?ABCED帮一帮消防员 DA3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）GFE提示构造直角三角形三、勾股定理的应用 1.已知：直角△ABC中，∠C=90°，
若a=3, b=4, 求 c 的值。（一） 直接运用勾股定理求边若c-a=2, b=6，求 c 的值三、勾股定理的应用 （一） 直接运用勾股定理求边3、若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x，则x=_____ ．2.已知直角三角形ABC中,
(1)若AC=8,AB=10,则 = ____.
(2) 若 =30,且BC=5,则AB=_____
(3)若 =24,且BC=6,则AB边上的高为_____24134.82、 如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30°∴BD= AD=4在Rt△ABD中,根据勾股定理在Rt△ABC中，又AD=83.在一棵树的20米的B处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树40米的A处,另一只爬到树顶D后直接约向A处,且测得AD为50米,求BD的长.三、勾股定理的应用 （二）先构造，再运用ABC5561、如图，求△ABC的面积D 已知:如图,等边△ABC的高AD是 .
(1)求边长;
(2)求S△ABC .练一练1、在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上的高。ABCD131310H提示：利用面积相等的关系 练习勾股定理的应用 校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是13、14、15米，若这种草皮每平方米售价120元，则购买这种草皮至少需要支出多少？ 151314Dx14-x勾股定理的应用下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段, 旗杆有多高呢？ 你能想个办法吗?请你与同伴交流设计方案? 小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？ ABC５xx+1如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？C解：由题意可知，DE为AB的垂直平分线。连接BE，则ＡＥ＝ＢＥ解得：CE=3.2cm折叠问题 折叠问题2、矩形纸片ＡＢＣD中，ＡD＝4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，折痕是EF，求DE的长度？ABCDEF（B）（C）1046810xEFDCBA8-x8-x3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少?x+1BCAH12?┓xx2+22=(x+1)2试一试： 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC 无障碍设施建设是社会文明进步的重要标志，是城市管理人性化、现代化的必要举措，是上海成为现代化国际大都市不可或缺的环境条件。2007年在上海举行第12届夏季特殊奥林匹克运动会． 如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你能求出通道的长度吗？ACB在Rt△ABC中，∠ACB=90° ∴AB2=AC2+BC2(勾股定理）解：∵AC=11.25×4=45cm,BC=20×3=60cm∴通道的长度为75cm.4560ACB在Rt△ADC中， ∠ADC=30°, ∴AD=2AC=90cm（ ）解：∵AC=45cm,BC=60cmD若放缓坡度，使∠ADC=30°,则点D还要距离点B多远？30°∴DB=DC-BC= .2007年将在上海举行第12届夏季特殊奥林匹克运动会． 如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你能求出通道的长度吗？4560勾股定理的应用 机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm×36cm×23cm的长方体空间。一位旅客携带一件长 的画卷，这件画卷能平放入行李架吗？ 5636ABCD解：∵四边形ABCD是长方形（已知）∴∠B=90 °（长方形的四个角都是直角）∴在Rt△ABC中， AC2=AB2+BC2(勾股定理）得∵65<66.6,∴长65cm的画卷能放入行李架65cm圆柱(锥)中的最值问题例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)聪明的葛藤
葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上。如图(1)所示。
葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着最短路径——螺旋线前进的。若将树干的侧面展开成一个平面，如图（2），可清楚的看出葛藤在这个平面上是沿直线上升的。（1）（2）数学奇闻有 一棵树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）ABC20尺3×7=21（尺）聪明的葛藤例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.四、长方体中的最值问题思考：如图：正方体的棱长为５cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的顶点A沿正方体的表面到顶点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BA7 .观察下列表格：……请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b= ，c=
8485 如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，AB=a，CD=b，AE=c。试证明：
4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CD证明：过A作AE⊥BC于EE∵AB=AC，∴BE=CE在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)= DE2- BE2= (DE+BE)·( DE- BE)= (DE+CE)·( DE- BE)=BD·CD
2.如图,在Rt△ABC中
∠C=90o①已知a,b. C=______②已知a, c. b=______③已知b,c a=_____3.你能利用勾股定理解决什么样的实际问题?练习:1、在△ABC中，∠B=90°若a=3，b=5，
则c=
2 、在Rt△ABC中，∠C=90°,∠C的对边为c, c=7,b=3, 则a=_____
3、等腰直角三角形的腰长为3cm，则底边长为 .
4、直角三角形的两边长为3厘米和5厘米，
则第三边长为 .
5、直角三角形两直角边分别为6cm,8cm，
那么这个直角三角形的斜边长为：___ 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=______；
②若c=61，b=60，则a=_____；
③若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=_____。 1311242、把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（ ）
A.不变 ,
B.扩大到原来的3倍
C.扩大到原来的9倍
D.减小到原来的1/3
B3、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )
A.25 B.14 C.7 D.7或25ABCD7cm2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则
正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。49(1)求出下列直角三角形中未知的边.问题: ①在解决上述 问题时,每个 直角三角形 需知 晓几个 条件?
② 直角三角形中哪条边最长?
检查：(2)在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为2m,求AC长． 探究1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?2mDCAB连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
因此,AC= ≈2.236
因为AC______木板的宽,
所以木板____ 从门框内通过.大于能1m2m
(1)一个门框的尺寸如图所示.
①若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问
怎样从门框内通过?
②若薄木板长3米,宽1.5米呢?
③若薄木板长3米,宽2.2米还能通过吗?
若能，怎么通过？若不能，为什么？
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( )A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米C试一试:
３４探究２如图，一个３m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m至ｃ，请同学们
猜一猜，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
算一算，底端滑动的距离近似值（保留两位小数)在Ｒt△AOB中oB2=______________oB=______________在Rt△COD中OD2=______________OD=________________BD=_______________梯子的顶端沿墙下滑，梯子底端外移＿＿解AB2-AO2≈1.658mCD2-CO2≈2.236mOD-OB≈0.58m0.58m 2、如图有两颗树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？8m2m8mABCDE一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米处，升起云梯到失火的窗口，已知发生火灾的窗口距地面有14.2米，云梯底部距地面2.2米，问云梯至少需要搭出多少米可以够到失火的窗口?ABCED帮一帮消防员 DA3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）GFE提示构造直角三角形三、勾股定理的应用 1.已知：直角△ABC中，∠C=90°，
若a=3, b=4, 求 c 的值。（一） 直接运用勾股定理求边若c-a=2, b=6，求 c 的值三、勾股定理的应用 （一） 直接运用勾股定理求边3、若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x，则x=_____ ．2.已知直角三角形ABC中,
(1)若AC=8,AB=10,则 = ____.
(2) 若 =30,且BC=5,则AB=_____
(3)若 =24,且BC=6,则AB边上的高为_____24134.82、 如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30°∴BD= AD=4在Rt△ABD中,根据勾股定理在Rt△ABC中，又AD=83.在一棵树的20米的B处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树40米的A处,另一只爬到树顶D后直接约向A处,且测得AD为50米,求BD的长.三、勾股定理的应用 （二）先构造，再运用ABC5561、如图，求△ABC的面积D 已知:如图,等边△ABC的高AD是 .
(1)求边长;
(2)求S△ABC .练一练1、在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上的高。ABCD131310H提示：利用面积相等的关系 练习勾股定理的应用 校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是13、14、15米，若这种草皮每平方米售价120元，则购买这种草皮至少需要支出多少？ 151314Dx14-x勾股定理的应用下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段, 旗杆有多高呢？ 你能想个办法吗?请你与同伴交流设计方案? 小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？ ABC５xx+1如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？C解：由题意可知，DE为AB的垂直平分线。连接BE，则ＡＥ＝ＢＥ解得：CE=3.2cm折叠问题 折叠问题2、矩形纸片ＡＢＣD中，ＡD＝4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，折痕是EF，求DE的长度？ABCDEF（B）（C）1046810xEFDCBA8-x8-x3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少?x+1BCAH12?┓xx2+22=(x+1)2试一试： 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC 无障碍设施建设是社会文明进步的重要标志，是城市管理人性化、现代化的必要举措，是上海成为现代化国际大都市不可或缺的环境条件。2007年在上海举行第12届夏季特殊奥林匹克运动会． 如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你能求出通道的长度吗？ACB在Rt△ABC中，∠ACB=90° ∴AB2=AC2+BC2(勾股定理）解：∵AC=11.25×4=45cm,BC=20×3=60cm∴通道的长度为75cm.4560ACB在Rt△ADC中， ∠ADC=30°, ∴AD=2AC=90cm（ ）解：∵AC=45cm,BC=60cmD若放缓坡度，使∠ADC=30°,则点D还要距离点B多远？30°∴DB=DC-BC= .2007年将在上海举行第12届夏季特殊奥林匹克运动会． 如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你能求出通道的长度吗？4560勾股定理的应用 机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm×36cm×23cm的长方体空间。一位旅客携带一件长 的画卷，这件画卷能平放入行李架吗？ 5636ABCD解：∵四边形ABCD是长方形（已知）∴∠B=90 °（长方形的四个角都是直角）∴在Rt△ABC中， AC2=AB2+BC2(勾股定理）得∵65<66.6,∴长65cm的画卷能放入行李架65cm圆柱(锥)中的最值问题例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)聪明的葛藤
葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上。如图(1)所示。
葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着最短路径——螺旋线前进的。若将树干的侧面展开成一个平面，如图（2），可清楚的看出葛藤在这个平面上是沿直线上升的。（1）（2）数学奇闻有 一棵树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）ABC20尺3×7=21（尺）聪明的葛藤例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.四、长方体中的最值问题思考：如图：正方体的棱长为５cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的顶点A沿正方体的表面到顶点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BA7 .观察下列表格：……请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b= ，c=
8485 如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，AB=a，CD=b，AE=c。试证明：
4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CD证明：过A作AE⊥BC于EE∵AB=AC，∴BE=CE在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)= DE2- BE2= (DE+BE)·( DE- BE)= (DE+CE)·( DE- BE)=BD·CD