2021-2022学年上学期高二数学（苏教版2019选修性必修第一册）5.1导数的概念（基础练）（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年上学期高二数学（苏教版2019选修性必修第一册）5.1导数的概念（基础练）（word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 543.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-03 14:21:39 | ||
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文档简介
第五章 导数及其应用
5.1导数的概念(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．若一个物体的运动规律如下（位移的单位：，时间的单位：）：，则物体在内的平均速度为（ ）
A．15 B．10 C．20 D．30
2．已知函数，则该函数在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知函数在处的导数为，则当时，（ ）
A. B. C. D.
4．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，则实数a的值为（ ）．
A．-3 B．3 C．2 D．1
5．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求实数a的值．
如图，M，M′是曲线C上两点，设曲线C在点M，M′处的切线分别为l，l′，且l，l′的倾斜角分别为α，α＋Δα，从点M到点M′的弧长＝Δs，我们称为曲线段的平均曲率．
(第13题)
则半径为R的圆C′上任意一点处的曲率为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．两个学校，开展节能活动，活动开始后两学校的用电量，与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（ ）
A．比节能效果好
B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小
C．两学校节能效果一样好
D．与自节能以来用电量总是一样大
7．下列说法不正确的是（ ）．
A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点
B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，则不一定存在
8．若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值（ ）
A．与x0有关 B．与h有关
C．与x0无关 D．与h无关
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．竖直向上弹射一个小球，小球的运动方程为h(t)＝120t－gt2(时间单位：s，位移单位：m)，则小球速度为0的时刻为___________．(g取10m/s2)
10．设函数在处可导，且，则为___________．
11．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为________________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，整个着陆过程中巡视器在9 min内将速度从约20000 km／h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则求v、a的值。
13．已知某气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是.
（1）求半径r关于体积V的函数.
（2）分别求气球的体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率（精确到0.01），并比较哪个过程中半径变化较快？此结论说明什么意义？
（注：，）
14．如图所示，水波的半径为的速度向外扩张，当半径为时，求该水波面的圆面积的瞬时膨胀率．
第五章 导数及其应用
5.1导数的概念(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．若一个物体的运动规律如下（位移的单位：，时间的单位：）：，则物体在内的平均速度为（ ）
A．15 B．10 C．20 D．30
【答案】A
【解析】物体在内的时间改变量为，
物体在内的位移改变为，
所以物体在内的平均速度为.
故选：A
2．已知函数，则该函数在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为，
，
所以斜率，
． 故选：C
3．已知函数在处的导数为，则当时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 故选：B
4．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，则实数a的值为（ ）．
A．-3 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】设P(x0，f(x0))，Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，
则割线PQ的斜率为kPQ＝＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于3x＋2ax0－9＝32－9－，
当x0＝－时，切线斜率取到最小值－9－.
因为曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
所以－9－＝－12，
解得a＝±3.又a＜0，
所以a＝－3 故选：A
5．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求实数a的值．
如图，M，M′是曲线C上两点，设曲线C在点M，M′处的切线分别为l，l′，且l，l′的倾斜角分别为α，α＋Δα，从点M到点M′的弧长＝Δs，我们称为曲线段的平均曲率．
则半径为R的圆C′上任意一点处的曲率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】(1)M，M′是曲线C上两点，设曲线C在点M，M′处的切线分别为l，l′，
且l，l′的倾斜角分别为α，α＋Δα，从点M到点M′的弧长＝Δs，
Δs无限趋近于0时，无限趋近于一个常数A，
则称该常数A为点M处的曲率
故选：A.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．两个学校，开展节能活动，活动开始后两学校的用电量，与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（ ）
A．比节能效果好
B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小
C．两学校节能效果一样好
D．与自节能以来用电量总是一样大
【答案】AB
【解析】由图象可知，对任意的，
曲线在处的切线比曲线在处的切线要“陡”，
所以比节能效果好，A正确，C错误；
由图象可知，，
则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小，B选项正确；
由于曲线和曲线不重合，D选项错误．
故选：AB
7．下列说法不正确的是（ ）．
A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点
B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，则不一定存在
【答案】ABC
【解析】对于A：曲线的切线与曲线的交点不一定唯一，如曲线在处的切线为：，即，切线与另一个交点为， 故选项A说法错误；
对于B：过曲线上一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如与相切于点，同时经过另一点，可以说过点的直线与曲线相切，但切点是不是，故选项B不正确；
对于C：若不存在，曲线在点处可以有切线，如在时，不存在，但有切线，故选项C错误；
对于D：由曲线在一点处有平行于轴的切线，且在该点处不连续，则不一定存在，如在时，有切线，但不存在，故选项D正确，
故选：ABC．
8．若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值（ ）
A．与x0有关 B．与h有关
C．与x0无关 D．与h无关
【答案】AD
【解析】由导数的定义，得：，
即函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关.
故选:AD.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．竖直向上弹射一个小球，小球的运动方程为h(t)＝120t－gt2(时间单位：s，位移单位：m)，则小球速度为0的时刻为___________．．(g取10m/s2)
【答案】12s
【解析】在t到t＋Δt内，小球的平均速度为
＝＝＝120－gt－gΔt.
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于120－gt，t时刻的瞬时速度v(t)＝120－gt.
令t＝0，初速度v(0)＝120(m/s)．
令120－gt＝0，得t＝＝＝12(s)．
故小球12s时小球的速度为0 故答案为：12s
10．设函数在处可导，且，则为___________．
【答案】2
【解析】由导数的定义可得，
因为，所以，
故答案为：2
11．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为________________．
【答案】2x－y＋4＝0
【解析】设N(1＋Δx,3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2)，则割线MN的斜率为kMN＝＝3Δx＋2，当Δx无限趋近于0时，kMN无限趋近于2，从而曲线在点M处的切线的斜率为2，从而所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0
故答案为：2x－y＋4＝0
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，整个着陆过程中巡视器在9 min内将速度从约20000 km／h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则求v、a的值。
【答案】，
【解析】巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以.
巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以.
13．已知某气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是.
（1）求半径r关于体积V的函数.
（2）分别求气球的体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率（精确到0.01），并比较哪个过程中半径变化较快？此结论说明什么意义？
（注：，）
【答案】（1）；
（2）0.62； 0.16; 可以看出，气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中，半径变化较快，说明随着气球的体积逐渐变大，气球的半径增加得越来越慢.
【解析】（1）体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是
即，则,所以,所以
（2）气球的体积V从0 L增加到1 L过程中半径r的平均变化率
气球的体积V从0 L增加到1 L过程中半径r的平均变化率
可以看出，气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中，半径变化较快，说明随着气球的体积逐渐变大，气球的半径增加得越来越慢.
14．如图所示，水波的半径为的速度向外扩张，当半径为时，求该水波面的圆面积的瞬时膨胀率．
【答案】
【解析】因水波的半径以的速度向外扩张，则时的水波半径，水波面的圆面积，
于是得水波面的圆面积在时刻时的瞬时膨胀率为，
当半径为时，，，
所以该水波面的圆面积的瞬时膨胀率为.
5.1导数的概念(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．若一个物体的运动规律如下（位移的单位：，时间的单位：）：，则物体在内的平均速度为（ ）
A．15 B．10 C．20 D．30
2．已知函数，则该函数在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知函数在处的导数为，则当时，（ ）
A. B. C. D.
4．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，则实数a的值为（ ）．
A．-3 B．3 C．2 D．1
5．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求实数a的值．
如图，M，M′是曲线C上两点，设曲线C在点M，M′处的切线分别为l，l′，且l，l′的倾斜角分别为α，α＋Δα，从点M到点M′的弧长＝Δs，我们称为曲线段的平均曲率．
(第13题)
则半径为R的圆C′上任意一点处的曲率为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．两个学校，开展节能活动，活动开始后两学校的用电量，与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（ ）
A．比节能效果好
B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小
C．两学校节能效果一样好
D．与自节能以来用电量总是一样大
7．下列说法不正确的是（ ）．
A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点
B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，则不一定存在
8．若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值（ ）
A．与x0有关 B．与h有关
C．与x0无关 D．与h无关
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．竖直向上弹射一个小球，小球的运动方程为h(t)＝120t－gt2(时间单位：s，位移单位：m)，则小球速度为0的时刻为___________．(g取10m/s2)
10．设函数在处可导，且，则为___________．
11．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为________________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，整个着陆过程中巡视器在9 min内将速度从约20000 km／h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则求v、a的值。
13．已知某气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是.
（1）求半径r关于体积V的函数.
（2）分别求气球的体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率（精确到0.01），并比较哪个过程中半径变化较快？此结论说明什么意义？
（注：，）
14．如图所示，水波的半径为的速度向外扩张，当半径为时，求该水波面的圆面积的瞬时膨胀率．
第五章 导数及其应用
5.1导数的概念(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．若一个物体的运动规律如下（位移的单位：，时间的单位：）：，则物体在内的平均速度为（ ）
A．15 B．10 C．20 D．30
【答案】A
【解析】物体在内的时间改变量为，
物体在内的位移改变为，
所以物体在内的平均速度为.
故选：A
2．已知函数，则该函数在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为，
，
所以斜率，
． 故选：C
3．已知函数在处的导数为，则当时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 故选：B
4．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，则实数a的值为（ ）．
A．-3 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】设P(x0，f(x0))，Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，
则割线PQ的斜率为kPQ＝＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于3x＋2ax0－9＝32－9－，
当x0＝－时，切线斜率取到最小值－9－.
因为曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
所以－9－＝－12，
解得a＝±3.又a＜0，
所以a＝－3 故选：A
5．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求实数a的值．
如图，M，M′是曲线C上两点，设曲线C在点M，M′处的切线分别为l，l′，且l，l′的倾斜角分别为α，α＋Δα，从点M到点M′的弧长＝Δs，我们称为曲线段的平均曲率．
则半径为R的圆C′上任意一点处的曲率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】(1)M，M′是曲线C上两点，设曲线C在点M，M′处的切线分别为l，l′，
且l，l′的倾斜角分别为α，α＋Δα，从点M到点M′的弧长＝Δs，
Δs无限趋近于0时，无限趋近于一个常数A，
则称该常数A为点M处的曲率
故选：A.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．两个学校，开展节能活动，活动开始后两学校的用电量，与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（ ）
A．比节能效果好
B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小
C．两学校节能效果一样好
D．与自节能以来用电量总是一样大
【答案】AB
【解析】由图象可知，对任意的，
曲线在处的切线比曲线在处的切线要“陡”，
所以比节能效果好，A正确，C错误；
由图象可知，，
则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小，B选项正确；
由于曲线和曲线不重合，D选项错误．
故选：AB
7．下列说法不正确的是（ ）．
A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点
B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，则不一定存在
【答案】ABC
【解析】对于A：曲线的切线与曲线的交点不一定唯一，如曲线在处的切线为：，即，切线与另一个交点为， 故选项A说法错误；
对于B：过曲线上一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如与相切于点，同时经过另一点，可以说过点的直线与曲线相切，但切点是不是，故选项B不正确；
对于C：若不存在，曲线在点处可以有切线，如在时，不存在，但有切线，故选项C错误；
对于D：由曲线在一点处有平行于轴的切线，且在该点处不连续，则不一定存在，如在时，有切线，但不存在，故选项D正确，
故选：ABC．
8．若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值（ ）
A．与x0有关 B．与h有关
C．与x0无关 D．与h无关
【答案】AD
【解析】由导数的定义，得：，
即函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关.
故选:AD.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．竖直向上弹射一个小球，小球的运动方程为h(t)＝120t－gt2(时间单位：s，位移单位：m)，则小球速度为0的时刻为___________．．(g取10m/s2)
【答案】12s
【解析】在t到t＋Δt内，小球的平均速度为
＝＝＝120－gt－gΔt.
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于120－gt，t时刻的瞬时速度v(t)＝120－gt.
令t＝0，初速度v(0)＝120(m/s)．
令120－gt＝0，得t＝＝＝12(s)．
故小球12s时小球的速度为0 故答案为：12s
10．设函数在处可导，且，则为___________．
【答案】2
【解析】由导数的定义可得，
因为，所以，
故答案为：2
11．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为________________．
【答案】2x－y＋4＝0
【解析】设N(1＋Δx,3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2)，则割线MN的斜率为kMN＝＝3Δx＋2，当Δx无限趋近于0时，kMN无限趋近于2，从而曲线在点M处的切线的斜率为2，从而所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0
故答案为：2x－y＋4＝0
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，整个着陆过程中巡视器在9 min内将速度从约20000 km／h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则求v、a的值。
【答案】，
【解析】巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以.
巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以.
13．已知某气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是.
（1）求半径r关于体积V的函数.
（2）分别求气球的体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率（精确到0.01），并比较哪个过程中半径变化较快？此结论说明什么意义？
（注：，）
【答案】（1）；
（2）0.62； 0.16; 可以看出，气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中，半径变化较快，说明随着气球的体积逐渐变大，气球的半径增加得越来越慢.
【解析】（1）体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是
即，则,所以,所以
（2）气球的体积V从0 L增加到1 L过程中半径r的平均变化率
气球的体积V从0 L增加到1 L过程中半径r的平均变化率
可以看出，气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中，半径变化较快，说明随着气球的体积逐渐变大，气球的半径增加得越来越慢.
14．如图所示，水波的半径为的速度向外扩张，当半径为时，求该水波面的圆面积的瞬时膨胀率．
【答案】
【解析】因水波的半径以的速度向外扩张，则时的水波半径，水波面的圆面积，
于是得水波面的圆面积在时刻时的瞬时膨胀率为，
当半径为时，，，
所以该水波面的圆面积的瞬时膨胀率为.