2021-2022学年上学期高二数学（苏教版2019选修性必修第一册）5.1导数的概念（提升练）（word版含解析）

第五章 导数及其应用
5.1导数的概念(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知某物体的运动方程是（的单位：，的单位：），则当时的瞬时速度为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
3．水波的半径以的速度向外扩张，当半径为时，圆面积的膨胀率是为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若，则实数的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
5．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列说法不正确的是（ ）
A.表示的意义相同； B.求时，可先求，再求；
C.曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点； D.若，则
7．为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示则下列结论正确的是（ ）
A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D. 在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
8．已知曲线y＝的一条切线过点(3,2)，则切线方程为（ ）．
A.x－2y＋1＝0 B.x－2y-1＝0
C.x+6y＋9＝0 D.x－6y＋9＝0　
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．若函数在区间上的平均变化率为3，则等于___________．
10．已知函数在处的导数为，则当时，___________．
11．若曲线y＝在点P处的切线斜率为－3，则点P的坐标为___________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．运动员从10m高台跳水，在腾空到进入水面的过程中，运动员相对地面的高度H与运动时间t之间的函数关系为H(t)＝－4.9 t2＋6.5 t＋10(高度单位：m，时间单位：s)，则求在2s与2.1s间运动员的平均速度.
13．已知曲线在点P处的切线平行于直线，求点P的坐标为
14．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
第五章 导数及其应用
5.1导数的概念(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知某物体的运动方程是（的单位：，的单位：），则当时的瞬时速度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，
当无限趋近于0时，无限趋近于4，
所以当时的瞬时速度为． 故选：A
2．已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】A
【解析】导数的几何意义就是在点处的切线斜率且导数的绝对值越大图象上升的越快，
所以结合图形可得．故选：A．
3．水波的半径以的速度向外扩张，当半径为时，圆面积的膨胀率是为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设半径为，速度为，时间为，面积为，
水波的半径以的速度向外扩张，
圆面积，
圆面积的膨胀率，
当时，，
，
即半径为时，圆面积的膨胀率是，
故选：A
4．已知函数，若，则实数的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，函数，
其导数，则，
又由，即，解可得；故选：A.
5．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】，则函数在上单调递增，且，，A错误；
对，，且，总有，则是凸函数，
不妨假设的图像如图所示：
且反映了函数图象上各点处的切线斜率，
由图可知，，B错误；
，表示点和点的连线的斜率，
由图可知，，C错误，D正确． 故选：D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列说法不正确的是（ ）
A.表示的意义相同； B.求时，可先求，再求；
C.曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点； D.若，则
【答案】ABD
【解析】对于选项A，表示函数的导数在x0处的值，而表示函数值的导数，其意义不同，故A错误．
对于选项B，求时，应先求，再代入求值，故B错误．
对于选项D，，∴，故D错误．故选：ABD
7．为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示则下列结论正确的是（ ）
A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D. 在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
【答案】AC
【解析】图示为甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系．
所以，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同选项A正确
，在时刻，甲乙二人在时刻的切线斜率不相等，所以在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相等，故选项B错误
，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同均为选项C正确
，在，两个时间段内甲血管中药物浓度的平均变化率分别为，显然不相等所以选项D错误． 故选AC．
8．已知曲线y＝的一条切线过点(3,2)，则切线方程为（ ）．
A.x－2y＋1＝0 B.x－2y-1＝0
C.x+6y＋9＝0 D.x－6y＋9＝0　
【答案】AD
【解析】设P，Q(x0＋Δx，)，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝，当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于，所以曲线在切点处的切线的斜率为，则所求切线方程可表示为y－＝(x－x0)．因为切线过点(3,2)，所以2－＝(3－x0)，解得x0＝1或9，即所求的切线有两条，方程分别为x－2y＋1＝0和x－6y＋9＝0　故选AD．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．若函数在区间上的平均变化率为3，则等于___________．
【答案】2
【解析】在区间上的平均变化率为，故，故选：B.
11．已知函数在处的导数为，则当时，___________．
【答案】-11
【解析】因为 故答案为：
11．若曲线y＝在点P处的切线斜率为－3，则点P的坐标为___________．
【答案】(－，－3)，　(，3)
【解析】设P，Q，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝，
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于，
从而＝－3，x＝3，解得x0＝±，
从而P(，3)或P(－，－3), 故答案为：(－，－3)，　(，3)
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．运动员从10m高台跳水，在腾空到进入水面的过程中，运动员相对地面的高度H与运动时间t之间的函数关系为H(t)＝－4.9 t2＋6.5 t＋10(高度单位：m，时间单位：s)，则求在2s与2.1s间运动员的平均速度.
【答案】－13.59m/s
【解析】＝－13.59m/s　故答案为：－13.59m/s
13．已知曲线在点P处的切线平行于直线，求点P的坐标为
【答案】或
【解析】设，
则
，
令，即，解得，
又，所以P点坐标为或．
14．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(－∞，2)
【解析】设P(x0，x＋1)，Q(x0＋Δx，(x0＋Δx)2＋1)，
则割线PQ的斜率为kPQ＝＝2x0＋Δx.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2x0，
所以切线的斜率为2x0，
所求切线方程为y－(x＋1)＝2x0·(x－x0)．
又切线过点(1，a)，
所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，即x－2x0＋a－1＝0.
因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)＞0，
解得a＜2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能作出该曲线的两条切线，此时a的取值范围是(－∞，2)