2021-2022学年北师大版九年级数学上学期第六章反比例函数期末精讲精练课件((共67张PPT))

(共67张PPT)
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北师版九年级上册 反比例函数期末复习精编
反比例函数精讲
一、 双基目标
1、理解并牢记：
①定义式（三种）；②图象与性质；
③K的几何意义
2、熟练掌握：
①待定系数法；②K的几何意义解题方法；
③面积的四种类型解法；
④相似、平移变换相关解法；
⑤存在性问题
二、能力目标
通过本章各类问题方法的系统复习可以强化训练学生对数、形结合思想的理解和掌握，同时增强学生对函数思想的深入理解，为高中的后续学习奠定基础.
反比例函数及其性质
反比例函数 的图象特征和性质
函数 大致 图象 图象 位置 函数性质
（增减性）
k > 0
k < 0
一、三象限
二、四象限
当x>0(或x<0)时，y随x增大而减小
当x>0(或x<0)时，y随x增大而增大
x
y
0
x
y
0
K的几何意义
yy
yx
0
P
yP
xP
yy
yx
0
yPP
yPA
B
A
B
yy
yx
0
P
yPA
yPB
Q
yy
yx
0
yPM
yPN
k的几何意义
【解析】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA= ×4=2，S△BOA= ×2=1，
∴S△POB=S△POA﹣S△BOA =2﹣1=1。
反思：依据k的几何意义解决.
如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图像分别是C1和C2,设点P在C1上，PA⊥x轴，垂足为点B，S△PAO= 。
典例精讲
如图，点A是反比例函数y= 的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（　 　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【解析】 连结OA，如图， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB=S△CAB=3， 而S△OAB=|k|， ∴|k|=3，
∵k＜0， ∴k=﹣6． 故答案为：﹣6．
反思：依据k的几何意义解决.
典例精讲
反思：依据k的几何意义解决.
典例精讲
如图，A、B是函数 的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如果四边形ACBD的面积为S=__________
【解析】∵A，B是函数 （k≠0）的图象上关于原点对称的任意两点，
∴若假设A点坐标为（x，y），
则B点坐标为（-x，-y）．
∴CD=2x，AC=BD=y，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△BCD=2xy=2k．
故四边形ABCD的面积S是2k．
故选D．
反思：依据k的几何意义解决.
跟踪练习
自变量取值范围问题
——“三点四段”
反思：
(1)先从交点处向x轴做垂线，（2）在原点、两个垂足处描粗；（3）将x轴分四段观察.
D
典例精讲
如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=k2x 的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若＞k2x，则x的取值范围是 （ ）
（A）-1＜x＜0 （B）-1＜x＜1
（C）x＜-1或0＜x＜1 （D）-1＜x＜0或x＞1
跟踪练习
反思：
(1)先从交点处向x轴做垂线，（2）在原点、两个垂足处描粗；（3）将x轴分四段观察.
C
（2020 天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y
（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围；
（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．
跟踪练习
（1）分别求出a和b的值；
【分析】（1）根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值；
【解答】解：（1）∵△AOC的面积为4， |k|＝4，
解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为y ，
∴把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y
得，a＝4，b＝8；
答：a＝4，b＝8；
（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围；
（2）根据图象直接写出mx+n＞的解集：
解集为x＜﹣2或0＜x＜8；
（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．
【分析】求出点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），根据题意直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，求出直线A′B的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可．
（3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），
又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，
设直线A′B的关系式为y＝cx+d，
则有 ，
如图,一次函数y=kx+2的图像与反比例函数y=m/x的图像交于点P,点P在第一象限.PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.一次函数的图像分别交x轴、y轴于点C、D,且S△PBD=4， OC：OA=1：2.
(1)求点D的坐标；
（2）.求一次函数和反比例函数的解析式；
（3）根据图像写出当x＞0时,一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。
跟踪练习
解∶（1）在y=kx+2中，令x=0得y=2∴点D的坐标为（0，2）.
(2)∵AP//OD,∴Rt△PAC∽ Rt△DOC.
OD：OA=1:2，∴OD：AP=OC：AC=1:3.∴AP=6.
∴BD=6-2=4,
由S△PBD=4可得BP=2，∴P（2，6）. 把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=可得一次函数解析式为y=2x＋2，
（3）由题图可得x>2.
反比例函数解析y=
（2020重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(-2,3)，AD=5，若反比例函数 (k>0，x>0)的图象经过点B，则k的值为（ ）
提示：由D(-2,3)，AD=5易得A(2,0).设AD与y轴交于E，易得E(0,1.5)，作BF垂直于x轴于F，易得△AOE∽△BFA，AF=2，进而可求得B(4, ).答案D.
待定系数法综合
典例精讲
如图所示，反比例函数 的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k的值为______________
解：过D作DE⊥OA于E，设D（m，k/m），∴OE=m．DE=k/m，∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点，∴OA=2m，OC=2k/m，
∵矩形OABC的面积为8，∴OA OC=2m 2k/m=8，
∴k=2，故答案为：2．
反思：依据k的几何意义解决.
典例精讲
待定系数法综合
（2019重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（　　）
A．16 B．20 C．32 D．40
M
解：过B作BM⊥x轴于M，∵BD//x轴，∴yB=4,即BM=4.
∵∠DAB=90°，可推知△DOA∽△AMB。
∴OA：OD=BM：AM=1:2.∴AM=8，∴B为（10,4）
∵点E是矩形OABC的对角线DB的中点，∴ xE =5，yE=4
∴E（5,4）∴K=5×4=20.
B
（2021山东淄博）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝ 的图象恰好经过点M，则k的值为（　　）
待定系数法综合
典例精讲
（2021重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（　　）
典例精讲
待定系数法综合
（2021辽宁营口）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝ 经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（　　）
待定系数法综合
典例精讲
【分析】根据函数解析式和A、B点的纵坐标，分别写出A、B点的坐标，根据菱形的面积＝BC×（yA﹣yB）＝8，得出关于k的方程，解方程得出正确取值即可．
面 积 问 题
“铅锤法”求面积
模型总结
（2019甘肃）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于A(-1,n)、B（2，-1）两点，与y轴相交于点C.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积.
(3)若M（x1,y1）、N（x2,y2）是反比例函数 上的两点，
当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．
典例精讲
“铅锤法”求解面积
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积.
F
【分析】作AF⊥y轴,如图，S△ACD+S△BCD=S△ABD。
其中S△ACD=AF×DC/2,S△BCD=BD×DC/2,
∴S△ABD= DC×（AF+BD）= DC×（XB-XA）
若把DC看成是两个三角形（△ACD、△BCD）的公共底。本题（2）面积计算符合——“铅锤法”求面积。
(3)若M（x1,y1）、N（x2,y2）是反比例函数 上的两点，
当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．
如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线y= （k＞0）经过点D，交BC于点E．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求四边形ODBE的面积．
典例精讲
分割思想求解面积
【分析】（1）作BM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，利用点A，B的坐标得到BC=OM=5，BM=OC=6，AM=3，再证明△ADN∽△ABM，利用相似比可计算出DN=2，AN=1，则ON=OA﹣AN=4，得到D点坐标为（4，2），然后把D点坐标代入y= 中求出k的值即可得到反比例函数解析式；
解：（1）作BM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，如图，
∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），
∴BC=OM=5，BM=OC=6，AM=3，
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴DN=2，AN=1，
∴ON=OA﹣AN=4，
∴D点坐标为（4，2），
把D（4，2）代入y= 得k=2×4=8，
∴反比例函数解析式为y= ；
（2）根据反比例函数k的几何意义和S四边形ODBE=S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD进行计算．
本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k的几何意义和梯形的性质；理解坐标与图形的性质；会运用相似比计算线段的长度．
如图，一次函数y=-2x+8与反比例函数 的图象交于A(m,6),B(3,n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出 时x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
典例精讲
分割思想求解面积
【分析 】（1）把A（m，6），B（3，n）两点分别代入y=-2x+8可求出m、n的值，确定A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），然后利用待定系数法求反比例函数的解析式；
解：（1）把A（m，6），B（3，n）两点分别代入y=-2x+8得6=-m+8，n=-2×3+8，解得m=1，n=2，
∴A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），把A（1，6）代入y=, k=1×6=6，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）观察函数图象得到当0＜x＜1或x＞3，反比例函数的图象在一次函数图象上方．
（3）求△AOB的面积．
（3）由直线y=-2x+8可知与x轴的交点为（4，0），∴S△AOB=×4×6-×4×2=8．
平行线间面积问题
模型总结
平行线间面积问题
典例精讲
如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象
与反比例函数y=的图象都经过点A（2，﹣2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．
跟踪练习
分析 （1）将点A坐标（2，-2）分别代入y=kx、y= 求得k、m的值即可；
解：（1）根据题意，将点A（2，-2）代入y=kx，得：-2=2k，解得：k=-1，∴正比例函数的解析式为：y=-x，将点A（2，-2）代入y= ，得：-2= ，解得：m=-4；∴反比例函数的解析式为：y=-
（2）由题意得平移后直线解析式，即可知点B坐标，
联立方程组求解可得第四象限内的交点C得坐标，可将△ABC的面积转化为△OBC的面积．
（2）直线OA：y=-x向上平移3个单位后解析式为：y=-x+3，则点B的坐标为（0，3），联立两函数解析式
∴第四象限内的交点C的坐标为（4，-1），∵OA∥BC，∴S△ABC=S△OBC= ×BO×xC= ×3×4=6．
如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2√5，反比例函数y= 的图象经过点B，则k的值为______．
解：过点A作AD⊥x轴于点D，过B作BC⊥x轴于点C，如图.
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°.
又∵∠CBO+∠BOC=90°，
∴∠CBO=∠AOD.
又∵∠BCO=∠ADO，
∴△BOC∽△OAD，
∴BC:CO=OD:AD=2:1=2.
设CO=x，则BC=2x(x＞0)，
∴x2+(2x)2=(2√5)2，
解得x=2，
∴B(-2，4)，
∴k= 2×4，
∴k=-8.
反思：斜放直角——构造“一线三垂直”相似模型
相似变换问题
典例精讲
如图，已知点A，B分别是反比例函数y= （x＜0），y=（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO= ，则k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
典例精讲
相似变换问题
解：如图，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∵∠ACO= ∠0DB=90°,
∴∠OBD+∠BOD=90°.
∴∠A0B=90°,
∴∠BOD+∠A0C=90°,
相似存在性问题
典例精讲
直线y＝ax＋1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为(-2,0)
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标。
．
相似存在性问题
跟踪练行四边形存在性问题
典例精讲
如图，在平面直角坐标系 xoy中，一次函数y=x+b 的图象经过点A(-2,0) ，与反比例函数 的图象交于B(a，4) .
（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）设 M是直线 AB上一点，过 M作MN//x轴 ，交反比例函数 的图象于点 N，若 A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标.
平行四边形存在性问题
跟踪练习
图象平移问题
典例精讲
如图1，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（0，4），反比例函数y＝ 的图象经过点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，将等边三角形AOB沿y轴正方向平移一定距离得到△A′O′B′，此时B′O′的中点D恰好落在反比例函数y＝ 的图象上，求等边三角形AOB平移的距离．
图象平移问题
跟踪练习