2021-2022学年华东师大版八年级数学上学期《第14章勾股定理》期末综合复习训练(word版含答案)

2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》期末综合复习训练（附答案）
1．已知Rt△ABC的两直角边分别是6cm，8cm，则Rt△ABC的斜边上的高是（　　）
A．4.8cm B．2.4cm C．48cm D．10cm
2．在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
3．已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和n（m＜n），过此三角形锐角的顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则有（　　）
A．m2+2mn+n2＝0 B．m2﹣2mn+n2＝0
C．m2+2mn﹣n2＝0 D．m2﹣2mn﹣n2＝0
4．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣9＝（20﹣x）2 B．x2﹣92＝（20﹣x）2
C．x2+9＝（20﹣x）2 D．x2+92＝（20﹣x）2
5．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t表示移动的时间，若△POQ是等腰三角形，此时t的值是（　　）
A．6或12 B．4或12 C．4或6 D．6或8
6．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　）
A．16 B．17 C．25 D．64
7．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，那么EF等于（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．已知△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件无法判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．a：b：c＝2：2：3
C．∠A：∠B：∠C＝5：2：3 D．∠A＝∠C﹣∠B
9．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离C处5米的绿地旁边B处有健身器材，为提醒居住在A处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从A到B，而是沿小道从A→C→B．小丽想在A处树立一个标牌“沿路多走■米，共建美丽家园”请问：小丽在标牌■填上的数字是 　 　．
10．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口C，各自沿一固定方向航行，甲客轮每小时航行16nmile，乙客轮每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后分别位于点A、B处，且相距30nmile．如果知道甲客轮沿着北偏西45°方向航行，则乙客轮的航行方向可能是 　 　．
11．如图，在正方形形成的网格上点A、B、C都在网格线交点上，则∠ACB＝　 　°．
12．如图， ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E．F两点，CE、BF交于点G，若AB＝3，BC＝4，则EG2+FG2＝　 　．
13．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 　 　．
14．如图是马口生态公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”．已知AB＝40米，BC＝30米，他们踩坏草坪，只为少走　 　米的路．
15．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点B处，若A、B两点相距100海里，则渔船在港口南偏西 　 　°的方向．
16．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 　 　尺．
17．如右图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．
（1）连接AC，判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求四边形花圃ABCD的面积．
18．如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C为直角，如图1，则有结论：a2+b2＝c2；当∠C为锐角（如图2）或钝角（如图3）时，请你完成下列探究：
（1）分别猜想∠C为锐角或钝角这两种情况下a2+b2与c2的大小关系；
（2）任选（1）中的一个猜想进行证明．
19．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“综合执法1号”、“综合执法2号”轮船同时离开港口，各自沿一定方向执法巡逻，“综合执法1号”每小时航行16nmile，“综合执法2号”每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．
（1）求PQ，PR的长度；
（2）如果知道“综合执法1号”沿北偏东61°方向航行，能知道“综合执法2号”沿哪个方向航行吗？
20．为了积极宣传防疫知识，某地政府采用了移动车进行广播．如图，小明家在一条笔直的公路MN的一侧点A处，且到公路MN的距离AB为600m．若广播车周围1000m以内都能听到广播宣传，则当广播车以250m/min的速度在公路MN上沿MN方向行驶时，在小明家是否能听到广播宣传？若能，请求出在小明家共能听到多长时间的广播宣传．
21．如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．
（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由．
（2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里．他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由．
22．勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：
两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．请你回答以下问题：
（1）填空：∠AGE＝　 　°，S四边形ADBE＝　 　c2．
（2）请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理．
23．在△ABC中，
（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；
（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．
参考答案
1．解：设Rt△ABC斜边上的高为hcm，
∵Rt△ABC的两直角边分别是6cm，8cm，
∴斜边长＝＝10（cm），
∵×10×h＝×6×8，
∴h＝4.8（cm），
即Rt△ABC的斜边上的高是4.8cm，
故选：A．
2．解：设直角三角形的一直角边长为x，另一直角边为y，
由题意可得：x+y＝24﹣11＝13，
∴（x+y）2＝132①，
由勾股定理可得：x2+y2＝112②，
①﹣②得：2xy＝48，
∴xy＝24，
∴该三角形的面积为：xy＝×24＝12，
故选：B．
3．解：如图，
m2+m2＝（n﹣m）2，
2m2＝n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2＝0．
故选：C．
4．解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝（20﹣x）尺，BC＝9尺，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+92＝（20﹣x）2．
故选：D．
5．解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP＝OC﹣CP＝OQ，
即12﹣2t＝t，
解得，t＝4；
（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，
当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，
即2（t﹣6）＝t，
解得，t＝12，
故选：B．
6．解：∵由8生成的勾股数”的“弦数”记为A，
∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，
故A＝17，
故选：B．
7．解：∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，
∴AH＝DE＝6，AD＝AB＝10，
在Rt△ADE中，
AE＝＝＝8，
∴HE＝AE﹣AH＝8﹣6＝2，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝HE＝2，
故选：D．
8．解：设△ABC中，∠A的对边是a，∠B的对边是b，∠C的对边是c，
A．∵a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a：b：c＝2：2：3，
∴a2+b2≠c2，
∴最大角∠C≠90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝×180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠A+∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．解：在Rt△ABC中，AB为斜边，
∴＝＝13米，
少走的距离为
AC+BC﹣AB＝（12+5）﹣13（米）＝4米
答：小明在标牌■填上的数字是4．
故答案为：4．
10．解：AC的长度为：16×1.5＝24（n mile），
BC的长度为：12×1.5＝18（n mile），
∵302＝242+182，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∵甲客轮沿着北偏西45°方向航行，
∴乙客轮的航行方向可能是北偏东45°，
故答案为：北偏东45°．
11．解：连接AB，如图所示：
由勾股定理得：AB＝BC＝，BC＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
故答案为：45．
12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠ABC+∠DCE＝180°，∠AFB＝∠CBF，∠DEC＝∠BCE，∠ABC+∠DCE＝180°，
∵∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E，F两点，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，∠BCE＝∠DCE＝∠BCD，
∴∠ABF＝∠AFB，∠DCE＝∠DEC，∠CBF+∠BCE＝（∠ABC+BCD）＝90°，
∴AF＝AB，DE＝CD，∠BGC＝90°，
∴AF＝DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，AF＝DE＝AB＝3，
∴EF＝AF+DE﹣AD＝2，
∵∠EGF＝∠BGC＝90°，
∴EG2+FG2＝EF2＝4．
故答案为：4．
13．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝cm，
∵△ABP为等腰三角形，
当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；
当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；
当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
PC2+AC2＝AP2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，
解得x＝，
∴t＝．
综上所述：t的值为16或10或．
故答案为：16或10或．
14．解：在Rt△ABC中，∵AB＝40米，BC＝30米，
∴AC＝＝50，30+40﹣50＝20，
∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．
故答案为：20．
15．解：∵OA＝60海里，OB＝80海里，AB＝100海里，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°
∵∠NOA＝20°，
∴∠BOS＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
故渔船在港口南偏西70°的方向，
故答案为：70．
16．解：依题意画出图形，
设芦苇长AC＝AC′＝x尺，
则水深AB＝（x﹣1）尺，
∵C′E＝10尺，
∴C′B＝5尺，
在Rt△AC′B中，
52+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝13，
即芦苇长13尺，水深为12尺，
故答案为：12．
17．解：（1）连接AC，
因为∠B＝90°，所以直角△ABC中，由勾股定理得：
AC2＝AB2+BC2，
AC2＝42+32，
AC2＝25，
∴AC＝5m，又CD＝12m，AD＝13m，
所以△ACD中，AC2+CD2＝AD2，
所以△ACD是直角三角形；
（2）S四边形ABCD＝AC CD+AB BC
S四边形ABCD＝×5×12+×4×3
＝30+6
＝36（m2），
答：该花圃的面积为36m2．
18．解：（1）猜想：若∠C为锐角时，a2+b2＞c2，若∠C为钝角时，a2+b2＜c2；
（2）当∠C为锐角时，a2+b2＞c2，证明如下：
如图，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x，则BD＝a﹣x，
在直角三角形ACD中，AD2＝b2﹣x2，
在直角三角形ABD中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，即a2+b2＝c2+2ax，
∵a＞0，x＞0，
∴a2+b2＞c2，
当∠C为钝角时，a2+b2＜c2，证明如下：
如图，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点M，CM＝y，则BM＝a+y，
在直角三角形ACM中，AM2＝b2﹣y2，
在直角三角形ABM中，AM2＝c2﹣（a+y）2，
∴b2﹣y2＝c2﹣（a+y）2，即a2+b2＝c2﹣2ay，
∵a＞0，y＞0，
∴a2+b2＜c2．
19．解：（1）由题意可得：RP＝12×1.5＝18（海里），PQ＝16×1.5＝24（海里）；
（2）能，
理由：∵RP＝12×1.5＝18海里，PQ＝16×1.5＝24海里，QR＝30海里，
∵182+242＝302，
∴△RPQ是直角三角形，
∴∠RPQ＝90°，
∵“综合执法1号”沿北偏东61°方向航行，
∴∠QPS＝61°，
∴∠SPR＝90°﹣61°＝29°，
∴“综合执法2号”沿北偏西29°方向航行方向航行．
20．解：小明能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，
∴小明能听到宣传；
如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到广播，行驶到Q点小明听不到广播，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，
∴BP＝BQ＝＝800（米），
∴PQ＝1600米，
∴小明听到广播的时间为：1600÷250＝6.4（分钟），
∴他总共能听到6.4分钟的广播．
21．解：（1）∵OA＝16×1.5＝24，OB＝12×1.5＝18，AB＝30，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∵“远航”号沿东北方向航行，
∴∠AON＝45°，
∴∠BON＝90°﹣45°＝45°，
∴“海天”号沿西北方向航行；
（2）过点F作FD⊥PE于D，
OF＝16×2＝32，
∵∠NOF＝60°，
∴∠FOD＝90°﹣60°＝30°，
∴FD＝，
∴16÷80＝0.2（小时），
∵0.2＜0.5，
∴能在半小时内回到海岸线．
22．解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴∠EDF＝∠CAB，
∵∠EDF+∠CAE＝90°，
∴∠ACE+∠CAB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴∠AGE＝180°﹣∠AGC＝90°；
∴DE⊥AB，
∴S四边形ADBE＝S△ACB+S△ABE＝AB DG+AB EG＝AB （DG+EG）＝AB DE＝c2，
故答案为：90，；
（2）∵四边形ACBE的面积＝S△ACB+S△ABE＝AB DG+AB EG＝AB （DG+EG）＝AB DE＝c2，
四边形ACBE的面积＝S四边形ACFE+S△EFB＝×（AC+EF） CF+BF EF＝（b+a）b+（a﹣b） a＝b2+ab+a2﹣ab＝a2+b2，
∴c2＝a2+b2，
即a2+b2＝c2．
23．解：（1）∵CD2+AD2＝144+81＝225，AC2＝225，
∴CD2+AD2＝CA2，
∴△△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴BD＝＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，
∴△ABC的面积＝×25×12＝150；
（2）过C作CD⊥BA的延长线于点D，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
设AD为x，DB＝（x+11），由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣DB2，
即AC2﹣AD2＝BC2﹣DB2，
则132﹣x2＝202﹣（x+11）2，
解得：x＝5，
∴CD＝＝＝12，
∴△ABC的面积＝ AB CD＝×11×12＝66．