第五章 导数及其应用
5.3.2极大值与极小值(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为（ ）
A. B．6
C. D．7
2．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A 函数有极大值 和极小值
B. 函数有极大值 和极小值
C. 函数有极大值 和极小值
D. 函数有极大值 和极小值
3．“”是“函数在上有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则（ ）
A．a<－1 B．a>－1
C．a>－ D．a<－
5．已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．定义在的函数，已知是它的极大值点，则以下结论正确的是（ ）
A．是的一个极大值点 B．是的一个极小值点
C．是的一个极大值点 D．是的一个极小值点
7．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A. -3是的一个极小值点； B. -2和-1都是的极大值点；
C. 的单调递增区间是； D. 的单调递减区间是．
8．关于函数，其中为自然对数的底数，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，在上单调递增
B. 当时，在上恒成立
C. 对任意，在上一定存在零点
D. 存在，有唯一的极小值
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax+b在x=2处取得极值9，则a+2b=_________．
10．已知函数在处取得极小值，则___________的极大值为____________
11．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为________.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）求函数的极值．
13．设，，函数，.若函数有极值但无零点，求实数的取值范围；
14．已知．当时，若在处取得极大值，求实数的取值范围．第五章 导数及其应用
5.3.2极大值与极小值(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为（ ）
A. B．6
C. D．7
【答案】A
【解析】f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0；当x∈(－2,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的极大值为f(－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋4＝. 故选：A
2．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A 函数有极大值 和极小值
B. 函数有极大值 和极小值
C. 函数有极大值 和极小值
D. 函数有极大值 和极小值
【答案】D
【解析】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；故选：D.
3．“”是“函数在上有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，则，令，可得.
当时，；当时，.
所以，函数在处取得极小值.
若函数在上有极值，则，.
因此，“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件.
故选：A.
4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则（ ）
A．a<－1 B．a>－1
C．a>－ D．a<－
【答案】A
【解析】因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a，又函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，当x>0时，－ex<－1，所以a＝－ex<－1.故选：A.
5．已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为有两个极值点，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，显然，
所以有两个不同实数根，记，，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
因为时，；当时，；当时，，所以当有两个不同实数根时 ，
所以，所以，故选：D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．定义在的函数，已知是它的极大值点，则以下结论正确的是（ ）
A．是的一个极大值点
B．是的一个极小值点
C．是的一个极大值点
D．是的一个极小值点
【答案】AD
【解析】是的极大值点，就是存在正数，使得在上，，在上，．
设，，
当时，，，，同理时，，∴是的一个极大值点，从而是的一个极小值点，是的一个极小值点．不能判定是不是的极值点．
故选：AD.
7．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A. -3是的一个极小值点； B. -2和-1都是的极大值点；
C. 的单调递增区间是； D. 的单调递减区间是．
【答案】ACD
【解析】当时，，时，
∴是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是．故选：ACD.
8．关于函数，其中为自然对数的底数，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，在上单调递增
B. 当时，在上恒成立
C. 对任意，在上一定存在零点
D. 存在，有唯一的极小值
【答案】CD
【解析】对于A，当时，，，
当时，，故在上单调递减，故A不正确.
对于B，当时，，此时，
因为，故B错误.
对于C，当时，，，
故在上为单调递增函数，又，，
故在上一定存在零点，故C正确.
对于D，取，则，则，
当时，，当时，，
故有唯一的极小值点，故D正确. 故选：CD.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax+b在x=2处取得极值9，则a+2b=_________．
【答案】-24
【解析】f′(x)=3ax2+6x-6a，因为f(x)在x=2处取得极值9，
所以，即，解得，
所以，故答案为-24.
10．已知函数在处取得极小值，则___________的极大值为____________
【答案】
【解析】由题意得，，
，解得，
， ，
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为. 故答案为：
11．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为________.
【答案】
由题意得：.
有两个极值点，有两个不等实根，
即有两个不等实根，可等价为与有两个不同交点，
，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
；当时，；当时，，
可得图象如下图所示：
由图象可知，若与有两个不同交点，则，
解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）求函数的极值．
【答案】（1）；（2）极小值为，极大值为．
【解析】（1）函数定义域为R，
且
，
因为曲线在点处的切线斜率，
又，则切点为，
所以所求切线方程为即．
（2）因为又，由得或，
当和时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数，
由的单调性知函数的极小值为，极大值为．
13．设，，函数，.若函数有极值但无零点，求实数的取值范围；
【答案】
【解析】（Ⅰ）当时，由恒成立，可知函数在定义域单调递增，此时无极值．
当时，由得；由得；得．
于是，为极大值点，且 ．
由于函数无零点，因此 ，解得
14．已知．当时，若在处取得极大值，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】由已知得，则，
记，则，，令，得．
①若，则，当时，，故函数在上单调递增，且当时，，即；
当时，，即，
又，所以在处取得极小值，不满足题意．
②若，则当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减，所以当时，，即，故在上单调递减，不满足题意．
③若，则，当时，，故上单调递减，
且当时，，即；当时，，即，
又，所以在处取得极大值，满足题意．
综上，实数的取值范围是．
