1.1空间向量及其运算随堂检测-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（word版含答案）

空间向量及其运算随堂检测
一、单选题
1．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，＝，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
2．在正四面体中，点O是的中心，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知空间四点，，，共面，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
4．给出下列命题
①空间中所有的单位向量都相等；
②方向相反的两个向量是相反向量；
③若满足，且同向，则；
④零向量的方向是任意的；
⑤对于任意向量，必有．
其中正确命题的序号为（ ）
A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤
5．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，则（ ）
A． B． C． D．
6．空间四边形中，，分别为，的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．[多选题]如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．任意两个空间向量都共面
B．若向量，共线，则与所在直线平行
C．在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点坐标为
D．已知空间中向量，，，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，使得
三、填空题
9．在空间四边形ABCD中，若△BCD是正三角形，且E为其中心，连接DE，则+--的化简结果为____.
10．空间四边形中，分别是边的中点，且，则____________.
11．如图，在空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则用向量表示向量________．
12．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则=_______．
四、解答题
13．如图，已知正四棱锥，点是正方形的中心，是的中点．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
14．在空间四边形ABCD中，连结AC BD，的重心为G，化简.
15．如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设，，，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用表示以下各向量：
（1） ；
（2）
16．如图，正方体的棱长为1，设，，，求：
（1）；（2）；（3）．
参考答案
1．C
【分析】
根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】
)-()＝．
故选：C．
2．B
【分析】
根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】
因为四面体是正四面体，则每个面都是正三角形，
所以
.
又由，所以.
故选：B.
3．D
【分析】
根据四点共面推出向量共面，再根据共面向量定理列式可求出结果.
【详解】
因为，，，，
所以，，
因为空间四点，，，共面，
所以、、共面，
所以存在实数使得，
所以，
所以，解得.
故选：D
4．C
【分析】
根据向量相等的条件否定①；根据相反向量的定义否定②；根据向量不能比较大小否定③；根据零向量的定义和规定判定④；根据向量的加法的几何意义结合向量的模的概念判定⑤正确.
【详解】
对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误；
对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误；
对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误；
对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，为任意的，故④正确；
对于⑤，为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确．
综上，正确的命题序号为④⑤，
故选：C.
5．D
【分析】
根据空间向量的基本性质知，，由模长公式，结合条件求得模长即可.
【详解】
由题知，，
则
故选：D
6．B
【分析】
利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则可得解.
【详解】
如图，为的中点，
.
故选：B
7．ACD
【分析】
由向量的线性运算依次判断各个选项即可.
【详解】
对于A，四边形是平行四边形，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确．
故选：ACD．
8．AC
【分析】
根据空间向量的性质、概念及空间点的对称性可作出判断.
【详解】
对于选项A，因为向量是可以平移的，所以无论两个向量处在什么样的位置，平移后总能到一个平面上的，所以是共面的，故A正确；
对于选项B，向量，共线，若向量，所在的向量在同一直线上，则与所在直线重合，故B不正确；
对于选项C，根据空间点的对称性可知关于z轴的对称点坐标为， 故C正确；
对于选项D，已知空间中向量，，，不共面，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，使得，故D不正确.
故选：AC.
9．
【分析】
首先根据几何关系，转化向量，再进行运算.
【详解】
延长DE，交BC于点F，则F为BC的中点，∴==，
∴+--=+++=.
故答案为：
10．
【分析】
利用三角形的中位线定理分别得到所求的四边形的各边长，根据平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，可得答案．
【详解】
点，，，分别为四边形的边，，，的中点，
、、、分别为、、、的中位线．
；
，
下面证明：平行四边形对角线的平方和等于四个边的平方和.
所以
故答案为：20
11．
【分析】
根据，由此能求出结果．
【详解】
∵在空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，N为BC的中点，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】
利用空间向量的线性运算直接求解
【详解】
由题意 =
故答案为：
13．（1）；（2）.
【分析】
(1)利用基底表示向量,再根据求解；
(2)根据O为AC中点，Q为CD中点，得到，进而得到求解.
【详解】
(1)因为=
=，
所以.
(2)因为O为AC中点，Q为CD中点，
所以
所以，
所以
所以.
14．
【分析】
设E为BC的中点，则，，代入化简可得结果.
【详解】
设E为BC的中点，则，又为的重心，则，所以
15．（1）；（2）
【分析】
（1）利用空间向量的线性运算，，再转化为表示即可；
（2）由，，再转化为表示即可
【详解】
（1）因为P是C1D1的中点，
所以
（2）因为M是AA1的中点，
所以
又
16．（1）0；（2）1；（3）1
【分析】
在正方体中，根据线线关系，结合空间向量运算法则对每个小题进行运算即可.
【详解】
（1）在正方体中，，
故
（2）由（1）知，
（3）由（1）及知，
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