2021-2022学年黑龙江省大庆市肇源县九年级（上）期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年黑龙江省大庆市肇源县九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．下列函数中是二次函数的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣ C．y＝1﹣3x2 D．y＝x+3
2．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x﹣3）2+1 C．y＝（x﹣3）2﹣5 D．y＝（x+1）2+2
4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程ax2+bx+c＝0的解是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．0和一个正根
5．如图，AC是旗杆AB的一根拉线，测得AC＝6米，∠ACB＝50°，则BC的长为（　　）
A．6cos50°米 B．6sin50°米 C．米 D．米
6．⊙O的半径r＝10cm，圆心到直线l的距离OM＝8cm，在直线l上有一点P且PM＝6cm，则点P（　　）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．可能在⊙O内也可能在⊙O外
7．如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠ADC＝35°，则∠OBC＝（　　）
A．15° B．20° C．30° D．35°
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝3，则弧BC的长为（　　）
A．π B．π C．π D．3π
9．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙于点E，交PA、PB于C、D，若△PCD的周长等于4，则线段PA的长是（　　）
A．4 B．8 C．2 D．1
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②3a+c＞0；
③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3
⑤当x＞0时，y随x的增大而减小
其中结论正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．若sinA＝，则锐角∠A的度数为　 　．
12．已知点A（2，y1），B（﹣2，y2），C（0，y3）都在二次函数y＝x2﹣2x+4的图象上，y1，y2，y3的大小关系是　 　．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，，则AC的长是　 　．
14．已知⊙O的直径是4，⊙O上两点B、C分⊙O所得的劣弧与优弧之比为1：3，则弦BC的长为　 　．
15．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，D是弧AC上任意一点，则∠D＝　 　．
16．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为　 　．
17．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 　 　．
18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．
20．已知y＝（m+3）xm2+4m﹣3+5是关于x的二次函数．
（1）求m的值．
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向上？
（3）当m为何值时，该函数有最大值？
21．如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线．已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°．求电线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．
22．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABP的面积．
23．如图，在△ABC中，sinB＝，点F在BC上，AB＝AF＝5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE：EC＝3：5，求BF的长与sinC的值．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点 D．
（1）证明：AD＝3BD；
（2）求弧BD的长度；
（3）求阴影部分的面积．
25．如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长．
26．渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
27．如图，直角三角形ABC内接于圆O，点D是斜边AB上一点，过D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP＝∠AED，CP交DE的延长线于点P，连接PO交圆O于F．
（1）求证：PC是圆O的切线；
（2）若PC＝6，PF＝2，求AB的值．
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．下列函数中是二次函数的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣ C．y＝1﹣3x2 D．y＝x+3
【分析】直接利用一次函数、二次函数、反比例函数的定义分别判断得出答案．
解：A、y＝﹣2x，是正比例函数，不合题意；
B、y＝﹣，是反比例函数，不合题意；
C、y＝1﹣3x2，是二次函数，符合题意；
D、y＝x+3，是一次函数，不合题意；
故选：C．
2．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．
解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴sin∠ACH＝＝，
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x﹣3）2+1 C．y＝（x﹣3）2﹣5 D．y＝（x+1）2+2
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
解：抛物线y＝x2﹣2x﹣1可化简为y＝（x﹣1）2﹣2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，
所得的抛物线的解析式y＝（x﹣1+2）2﹣2+3＝（x+1）2+1；
故选：A．
4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程ax2+bx+c＝0的解是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．0和一个正根
【分析】图象与x轴交点的横坐标即为ax2+bx+c＝0的解，根据图象求解．
解：∵抛物线经过原点和点A，且点A在x轴正半轴，
∴x＝0或x＝xA是方程ax2+bx+c＝0的解，
故选：D．
5．如图，AC是旗杆AB的一根拉线，测得AC＝6米，∠ACB＝50°，则BC的长为（　　）
A．6cos50°米 B．6sin50°米 C．米 D．米
【分析】在Rt△ABC中，利用∠ACB＝50°的余弦函数解答．
解：在Rt△ABC中，＝cos50°，
∵AC＝6米，
∴BC＝6cos50°，
故选：A．
6．⊙O的半径r＝10cm，圆心到直线l的距离OM＝8cm，在直线l上有一点P且PM＝6cm，则点P（　　）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．可能在⊙O内也可能在⊙O外
【分析】根据圆心到直线l的距离OM＝8cm，在直线l上有一点P且PM＝6cm得出OP的长度，即可得出P与圆的位置关系．
解：∵⊙O的半径r＝10cm，圆心到直线l的距离OM＝8cm，
在直线l上有一点P且PM＝6cm，
∴MP＝6，OM＝8，
∴PO＝10，
∴点P在圆上．
故选：B．
7．如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠ADC＝35°，则∠OBC＝（　　）
A．15° B．20° C．30° D．35°
【分析】求出的度数，根据垂径定理求出＝，求出的度数，求出∠AOB的度数，再求出答案即可．
解：如图所示：
∵∠ADC＝35°，
∴的度数是70°，
∵OA⊥BC，OA过圆心O，
∴＝，
∴的度数是70°，
∴∠AOB＝70°，
∵OA⊥BC，
∴∠OEB＝90°，
∴∠OBC＝90°﹣∠AOB＝90°﹣70°＝20°，
故选：B．
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝3，则弧BC的长为（　　）
A．π B．π C．π D．3π
【分析】连接OB、OC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆周角定理求出∠BOC，根据等腰直角三角形的性质求出OB，根据弧长公式计算，得到答案．
解：连接OB、OC，
∵∠ABC＝65°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，
∵OB＝OC，BC＝3，
∴OB＝3＝3，
∴的长＝＝，
故选：B．
9．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙于点E，交PA、PB于C、D，若△PCD的周长等于4，则线段PA的长是（　　）
A．4 B．8 C．2 D．1
【分析】直接利用切线长定理得出AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，进而求出PA的长．
解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周长等于4，
∴PC+CD+PD＝4，
∴PA+PB＝4，
∴PA＝2．
故选：C．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②3a+c＞0；
③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3
⑤当x＞0时，y随x的增大而减小
其中结论正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对②进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以③正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，所以②错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，所以④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤错误．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．若sinA＝，则锐角∠A的度数为　30°　．
【分析】根据锐角三角函数值即可确定锐角的度数．
解：∵sinA＝，
∴锐角∠A的度数为30°．
故答案为：30°．
12．已知点A（2，y1），B（﹣2，y2），C（0，y3）都在二次函数y＝x2﹣2x+4的图象上，y1，y2，y3的大小关系是　y2＞y1＝y3　．
【分析】利用函数关系式求出y1，y2，y3即可判断．
解：x＝2时，y1＝4﹣4+4＝4，
x＝﹣2时，y2＝4+4+4＝12，
x＝0时，y3＝4，
∴y2＞y1＝y3，
故答案为y2＞y1＝y3．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，，则AC的长是　　．
【分析】设CD＝x，在Rt△ACD中，根据∠DAC＝30°的正切可求出AC．在Rt△ABC中，根据勾股定理得到关于x的方程，解得x，即可求出AC．
解：设CD＝x，则AC＝＝x，
∵AC2+BC2＝AB2，AC2+（CD+BD）2＝AB2，
∴（ x）2+（x+2）2＝（2 ）2，
解得，x＝1，∴AC＝．
故答案为．
14．已知⊙O的直径是4，⊙O上两点B、C分⊙O所得的劣弧与优弧之比为1：3，则弦BC的长为　2　．
【分析】根据题意可得出两条弧的度数分别为90°，270°，根据圆周角定理，得出劣弧所对的圆心角的度数，利用半径是2，由勾股定理求出即可．
解：∵圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，
∴劣弧的度数为90°，
∴劣弧所对的圆心角的度数90°，
∵r＝2，
∴BC＝＝2．
故答案为：2．
15．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，D是弧AC上任意一点，则∠D＝　120°　．
【分析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质求解即可．
解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120°．
16．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为　y＝20+20（x+1）+20（x+1）2　．
【分析】根据平均增长问题，可得答案．
解：y与x之间的关系应表示为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
故答案为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
17．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 　5　．
【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，由△ABC的周长为14，可求BC的长．
解：∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AD+AF+BE+BD+CE+CF＝14，
∴2（BE+CE）＝10，
∴BC＝5．
故答案为：5．
18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为　2﹣2　．
【分析】连接AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝4，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED＝90°，接着由∠AEB＝90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC＝2，从而得到CE的最小值为2﹣2．
解：连接AE，如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，
∴AB＝AC＝4，
∵AD为直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为2，
∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，
在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，
∴OC＝＝2，
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，
即线段CE长度的最小值为2﹣2．
故答案为2﹣2．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质等知识分别化简得出答案．
解：原式＝1﹣2×+2+2
＝1﹣1+2+2
＝4．
20．已知y＝（m+3）xm2+4m﹣3+5是关于x的二次函数．
（1）求m的值．
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向上？
（3）当m为何值时，该函数有最大值？
【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．
（2）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；
（3）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，函数有最大值．
解：（1）∵函数y＝（m+3）xm2+4m﹣3+5是关于x的二次函数，
∴m2+4m﹣3＝2，m+3≠0，
解得：m1＝﹣5，m2＝1，
∴m的值为﹣5或1；
（2）∵函数图象的开口向上，
∴m+3＞0，
∴m＞﹣3，
∴当m＝1时，该函数图象的开口向上；
（3）∵当m+3＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，
∴m＜﹣3，
又∵m＝﹣5或1，
∴当m＝﹣5时，该函数有最大值．
21．如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线．已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°．求电线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．
【分析】作DF⊥AE于点F，则四边形ABDF是矩形，在直角△DEF中利用勾股定理求得DE的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得DC的长，则ED+DC即是所求．
解：作DF⊥AE于点F，则四边形ABDF是矩形．DF＝AB＝8（米），
EF＝AE﹣AF＝AE﹣BD＝12﹣6＝6（m）．．
在直角△DEF中，DE＝＝＝10（m）．
在直角△BCD中，sin∠DCB＝，
则DC＝＝BD＝4（m）．
则电线CDE的总长L＝DE+DC＝10+4（m）．
答：电线CDE的总长L是（10+4）m．
22．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABP的面积．
【分析】（1）利用交点式即可求得；
（2）把（1）的解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可求得面积．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），
所以y＝﹣x2+4x+5；
（2）因为y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
则P点坐标为（2，9），
所以△ABP的面积＝×6×9＝27．
23．如图，在△ABC中，sinB＝，点F在BC上，AB＝AF＝5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE：EC＝3：5，求BF的长与sinC的值．
【分析】过点A作AD⊥CB，垂足为点D，根据解直角三角形的计算解答即可．
解：过点A作AD⊥CB，垂足为点D，
∵，
∴，
在Rt△ABD中，，
∵AB＝AF AD⊥CB，
∴BF＝2BD＝6，
∵EF⊥CB AD⊥CB，
∴EF∥AD，
∴，
∵AE：EC＝3：5DF＝BD＝3，
∴CF＝5，
∴CD＝8，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ACD中，，
∴．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点 D．
（1）证明：AD＝3BD；
（2）求弧BD的长度；
（3）求阴影部分的面积．
【分析】（1）两次应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”即可证得结论；
（2）直接利用弧长公式求解即可；
（3）利用“阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD”求解即可．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵BC＝4，BC为半圆O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4BD，
∴AD＝3BD；
（2）由（1）得∠B＝60°，
∴OC＝OD＝OB＝2，
∴弧BD的长为＝；
（3）∵BC＝4，∠BCD＝30°，
∴CD＝BC＝2，
图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣×2×1＝﹣．
25．如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长．
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值．
解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，
∴AC＝＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
26．渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
【分析】（1）根据利润＝销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可，将x＝2代入函数关系式即可求解；
（2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可；
（3）首先由（2）中的函数得出降价x元时，每天要获得9750元的利润，进一步利用函数的性质得出答案．
解：（1）由题意得：
W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，
x＝2时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），
答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元；
（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，
∵﹣50＜0，
∴x＝4时，W最大为9800，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，
解得：x1＝3，x2＝5，
∵让利于民，
∴x1＝3不合题意，舍去，
∴定价应为48﹣5＝43（元），
答：定价应为43元．
27．如图，直角三角形ABC内接于圆O，点D是斜边AB上一点，过D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP＝∠AED，CP交DE的延长线于点P，连接PO交圆O于F．
（1）求证：PC是圆O的切线；
（2）若PC＝6，PF＝2，求AB的值．
【分析】（1）连接OC，可得OA＝OC，即∠A＝∠OCA，由∠A+∠AED＝90°，∠ECP＝∠AED，即可求证；
（2）OC＝x，则OF＝x，在直角三角形OCP中，利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵DE⊥AB，
∴∠A+∠AED＝90°，
∵∠ECP＝∠AED，
∴∠OCA+∠ECP＝90°，
∵OC是圆O的半径，
∴PC是圆O的切线；
（2）由题（1）已证得∠OCP＝90°，
设OC＝x，则OF＝x，
在直角三角形OCP中，OC2+PC2＝OP2，即x2+62＝（x+2）2，
解得：x＝10，
∴AB＝20．
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x＝＝（2t﹣t），即可求解；
（2）点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，即可求解；
（3）以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则，即可求解．
解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，
解得：a＝﹣1，b＝1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵﹣1＜0，故DF有最大值，DF最大时m＝1，
∴点D（1，2）；
（3）存在，理由：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OE＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则，即＝或2，即＝或2，
解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），
经检验m＝1或是方程的解，
故m＝1或．