2020-2021学年上海市静安区七年级（上）期末数学试卷(word解析版)

2020-2021学年上海市静安区七年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题2分，共12分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．如果x＞1，那么x﹣1，x，x2的大小关系是（　　）
A．x﹣1＜x＜x2 B．x＜x﹣1＜x2 C．x2＜x＜x﹣1 D．x2＜x﹣1＜x
3．下列说法中错误的是（　　）
A．无理数是无限小数
B．实数可分为有理数和无理数
C．只有0的平方根是它本身
D．1的任何次方根都是1
4．下列说法正确的是（　　）
A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式
B．（a4）2÷a4＝a2
C．若将分式中，x、y都扩大3倍，那么分式的值也扩大3倍
D．若3m＝5，3n＝4，则32m﹣n＝
5．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（　　）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
6．如图，从图形甲到图形乙的运动过程可以是（　　）
A．先翻折，再向右平移4格
B．先逆时针旋转90°，再向右平移4格
C．先逆时针旋转90°，再向右平移1格
D．先顺时针旋转90°，再向右平移4格
二、填空题（共12题，每题3分，共36分）
7．﹣2的倒数是　 　．
8．把20492用四舍五入法保留3个有效数字的近似值是 　 　．
9．在实数3，，0.，，﹣，0，，π，3.14，，，0.102030405…（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，无理数有　 　个．
10．若分式的值大于零，则x的取值范围是　 　．
11．化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是 　 　．
12．在①平行四边形、②正方形、③等边三角形、④等腰梯形、⑤圆、⑥正八边形这些图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 　 　（填序号）．
13．等边三角形至少旋转　 　度才能与自身重合．
14．已知a2﹣3a﹣1＝0，则a2+＝　 　．
15．不等式x﹣3＜x的解集是　 　．
16．若关于x的方程无解，则a的值为 　 　．
17．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为﹣1，正方形ABCD的面积为a2（a＞1）．将正方形ABCD在数轴上水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A、B、C、D的对应点分别为A′、B′、C′、D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S＝a时，数轴上点A′表示的数是　 　．（用含a的代数式表示）
18．观察下面的式子：，S2＝，S3＝，…，．
计算：S＝＝　 　．（用含n的代数式表示）
三、计算题（共4题，每题4分，共16分）
19．．
20．．
21．÷（÷）+（a﹣b）÷（1﹣）
22．．
四、解答题（共5题，共36分）
23．（1）已知|2012﹣x|+＝x．求x﹣20132的值．
24．列分式方程解应用题
某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月销售多少件？
25．如图，已知△ABC是直角三角形，其中∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AC＝5．
（1）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后的△AB1C1；
（2）线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长是　 　（保留π）；
（3）求线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留π）．
26．阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：＝．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 　 　．
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　 　．
27．如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|+（3a+b）2＝0
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．
①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值；
②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示．
③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，到点B后停止运动，当PQ＝1时，求t的值．
参考答案
一、选择题（共6题，每题2分，共12分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
解：A、，是最简二次根式；
B、＝3，不是最简二次根式；
C、＝|a|，不是最简二次根式；
D、＝，不是最简二次根式；
故选：A．
2．如果x＞1，那么x﹣1，x，x2的大小关系是（　　）
A．x﹣1＜x＜x2 B．x＜x﹣1＜x2 C．x2＜x＜x﹣1 D．x2＜x﹣1＜x
【分析】直接利用负指数幂的性质结合x的取值范围得出答案．
解：∵x＞1，
∴x﹣1＜x＜x2．
故选：A．
3．下列说法中错误的是（　　）
A．无理数是无限小数
B．实数可分为有理数和无理数
C．只有0的平方根是它本身
D．1的任何次方根都是1
【分析】根据无理数概念，实数的分类，平方根的概念进行判断便可．
解：A．无理数是无限不循环的小数，它是无限小数，选项正确；
B．因有理数与无理数统称为实数，则实数可分为有理数和无理数，选项正确；
C．因0的平方根为0，是它本身，一个正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，选项正确；
D．如1的平方根为±1，选项错误；
故选：D．
4．下列说法正确的是（　　）
A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式
B．（a4）2÷a4＝a2
C．若将分式中，x、y都扩大3倍，那么分式的值也扩大3倍
D．若3m＝5，3n＝4，则32m﹣n＝
【分析】根据分式的概念、幂的乘方和同底数幂的除法以及分式的性质判断即可．
解：A、若A、B表示两个不同的整式，且B≠0，则一定是分式，错误；
B、（a4）2÷a4＝a4，错误；
C、若将分式中，x、y都扩大3倍，那么分式的值也扩大3倍，正确；
D、若3m＝5，3n＝4，则32m﹣n＝，错误；
故选：C．
5．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（　　）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．
解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．
∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合，
∴平行四边形ABCD是平移重合图形，
故选：A．
6．如图，从图形甲到图形乙的运动过程可以是（　　）
A．先翻折，再向右平移4格
B．先逆时针旋转90°，再向右平移4格
C．先逆时针旋转90°，再向右平移1格
D．先顺时针旋转90°，再向右平移4格
【分析】利用网格特点，根据对折的性质、旋转的性质和平移的性质进行判断．
解：把图形甲沿直线l翻折，然后再向右平移4个单位可得到图形乙，如图．
故选：A．
二、填空题（共12题，每题3分，共36分）
7．﹣2的倒数是　﹣2﹣　．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
解：﹣2的倒数是﹣2﹣，
故答案为：﹣2﹣．
8．把20492用四舍五入法保留3个有效数字的近似值是 　2.05×104　．
【分析】一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．
注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，它的有效数字的个数只与a有关，而与n的大小无关．
解：把20492用四舍五入法保留3个有效数字，取近似值为2.05×104．
故答案为：2.05×104．
9．在实数3，，0.，，﹣，0，，π，3.14，，，0.102030405…（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，无理数有　5　个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
解：，﹣，π，，0.102030405…（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）是无理数，
故答案为：5个．
10．若分式的值大于零，则x的取值范围是　x＞﹣2且x≠1　．
【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值．
解：∵分式的值大于零，
∴x+2＞0，
∴x＞﹣2，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为x＞﹣2且x≠1．
11．化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是 　且x≠1　．
【分析】直接利用负指数幂的性质结合实数的运算得出答案．
解：原式＝（﹣1）﹣1
＝（）﹣1
＝且x≠1．
故答案为：且x≠1．
12．在①平行四边形、②正方形、③等边三角形、④等腰梯形、⑤圆、⑥正八边形这些图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 　②⑤⑥　（填序号）．
【分析】直接利用中心对称图形以及轴对称图形的定义分别分析得出答案．
解：在①平行四边形、②正方形、③等边三角形、④等腰梯形、⑤圆、⑥正八边形这些图形中，
既是轴对称图形又是中心对称图形的是：②正方形、⑤圆、⑥正八边形．
故答案为：②⑤⑥．
13．等边三角形至少旋转　120　度才能与自身重合．
【分析】等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，求旋转角即可．
解：因为等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，
所以，旋转角为360°÷3＝120°，故至少旋转120度才能与自身重合．
14．已知a2﹣3a﹣1＝0，则a2+＝　11　．
【分析】由题意可知a﹣﹣3＝0，然后根据完全平方公式即可求出答案．
解：∵a2﹣3a﹣1＝0且a≠0，
∴a﹣﹣3＝0，
∴a﹣＝3，
∴（a﹣）2＝9，
∴a2﹣2+＝9，
∴a2+＝11，
故答案为：11．
15．不等式x﹣3＜x的解集是　x＞﹣3﹣3　．
【分析】利用不等式的基本性质，将不等式未知项和常数项各移到一边，解得x的解集．
解：由x﹣3＜x，得
x﹣x＜3，
（﹣）x＜3，
x＞，即x＞﹣3﹣3．
故答案是：x＞﹣3﹣3．
16．若关于x的方程无解，则a的值为 　﹣1或﹣2或﹣　．
【分析】先根据等式的基本性质把分式方程化成整式方程，整理后分类：①x的系数为0；②x的系数不等于0，此时整式方程的解是原分式方程的增根，再进行讨论．
解：去分母得，x﹣2+a（x﹣1）＝2a+2，
整理得，（a+1）x＝3a+4，
①a+1＝0，且3a+4≠0，解得a＝﹣1；
②a+1≠0，此时x＝，
原分式方程无解，则﹣1＝0或﹣2＝0，
解得a＝﹣或a＝﹣2．
∴a的值为﹣1或﹣2或﹣．
17．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为﹣1，正方形ABCD的面积为a2（a＞1）．将正方形ABCD在数轴上水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A、B、C、D的对应点分别为A′、B′、C′、D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S＝a时，数轴上点A′表示的数是　﹣a或a﹣2　．（用含a的代数式表示）
【分析】根据正方形的面积可得边长进而可以表示点A′表示的数．
解：
∵正方形ABCD的面积为a2（a＞1）．
∴边长为a，
当S＝a时，分两种情况：
若正方形ABCD向左平移，如图1，
A′B′＝AB＝BC＝a，
A′B＝1，
∴AA′＝AB﹣A′B＝a﹣1，
∴OA′＝OA+AA′＝1+a﹣1＝a，
∴数轴上点A′表示的数为﹣a；
如正方形ABCD向右平移，如图2，
AB′＝1，AA′＝a﹣1，
∴OA′＝（a﹣1）﹣1＝a﹣2
∴数轴上点A′表示的数为a﹣2．
综上所述，数轴上点A′表示的数为﹣a或a﹣2．
18．观察下面的式子：，S2＝，S3＝，…，．
计算：S＝＝　　．（用含n的代数式表示）
【分析】分别S1＝，S2＝，S3＝，…Sn＝，则可求＝，＝，＝，…，＝，再由S＝1++1++1++…+1+＝n+1﹣+﹣+﹣+﹣，进行求解即可．
解：∵＝，
S2＝＝，
S3＝＝，
…，
＝，
∴＝，＝，＝，…，＝，
∴S＝+++…+
＝1++1++1++…+1+
＝n++++…+
＝n++++
＝n+1﹣+﹣+﹣+﹣
＝n+1﹣
＝，
故答案为：．
三、计算题（共4题，每题4分，共16分）
19．．
【分析】利用有理数的乘方，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义进行计算即可得到答案．
解：原式＝﹣4÷1+8﹣1
＝﹣4+8﹣1
＝3．
20．．
【分析】根据分数指数幂的意义，先求出算式中的分数指数幂，再算乘除，最后算加减即可．
解：原式＝﹣+（23）×+（）﹣（）
＝﹣+2×+﹣
＝﹣+4﹣
＝﹣．
21．÷（÷）+（a﹣b）÷（1﹣）
【分析】直接利用分式的混合运算法则计算得出答案．
解：原式＝÷（ ）+（a﹣b）
＝ ﹣b
＝2﹣b．
22．．
【分析】先把系数相乘再把被开方数相乘，被开方数中的多项式要分解因式，约分后在化成最简的形式．
解：原式＝﹣9×
＝﹣6
＝﹣3|a|．
四、解答题（共5题，共36分）
23．（1）已知|2012﹣x|+＝x．求x﹣20132的值．
【分析】由二次根式有意义的条件可知x≥2013，然后化简得＝2012，由算术平方根的定义可知：x﹣2013＝20122，最后结合平方差公式可求得答案．
解：∵x﹣2013≥0，
∴x≥2013．
∴x﹣2012+|+＝x．
∴＝2012．
∴x﹣2013＝20122．
∴x＝20122+2013．
∴x﹣20132＝20122﹣20132+2013
＝﹣（2012+2013）+2013
＝﹣2012．
24．列分式方程解应用题
某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月销售多少件？
【分析】设此商品的进价是x元，根据第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元，可列出方程．
解：设此商品的进价是x元．
由题意得，
解这个方程得x＝50．
经检验，x＝50是所列方程的解，
当x＝50时，．
所以此商品的进价是50元，第二个月销售100件．
25．如图，已知△ABC是直角三角形，其中∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AC＝5．
（1）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后的△AB1C1；
（2）线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长是　24+9π　（保留π）；
（3）求线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）依据旋转的性质，即可画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后的△AB1C1；
（2）根据旋转的性质得B1C1＝BC＝12，∠BAB1＝∠CAC1＝90°，△ABC≌△AB1C1，再利用弧长公式计算出弧CC1的长度，弧BB1的长度，所以线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长＝CB+弧BB1的长+B1C1+弧CC1的长＝24+9π；
（3）由于△ABC≌△AB1C1，则S△BAC＝S△B1AC1，然后利用扇形面积公式和线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积＝S扇形BAB1﹣S扇形C1AC进行计算即可．
解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求．
（2）∵△ABC绕A顺时针方向旋转90°后得到△AB1C1，
∴B1C1＝BC＝12，∠BAB1＝∠CAC1＝90°，△ABC≌△AB1C1，
∴弧CC1的长度＝＝π，弧BB1的长度＝＝π，
∴线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长
＝CB+弧BB1的长+B1C1+弧CC1的长
＝12+π+12+π
＝24+9π，
故答案为：24+9π；
（3）∵△ABC≌△AB1C1，
∴S△BAC＝S△B1AC1，
∵S扫过的面积+S△BAC+S扇形C1AC＝S扇形BAB1+S△B1AC1，
∴线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积
＝S扇形BAB1﹣S扇形C1AC
＝﹣
＝36π．
26．阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：＝．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 　x+7+　．
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　2或4或﹣10或16　．
【分析】（1）将分子x2+6x﹣3化为x（x﹣1）+7（x﹣1）+4，依据题意可得；
（2）将分子2x2+5x﹣20化为2x（x﹣3）+11（x﹣3）+13，依题意可得．
解：（1）＝＝++＝x+7+；
故答案为：x+7+；
（2）＝＝2x+11﹣，
∵分式的值为整数，
∴﹣为整数，
∴x﹣3＝±1或x﹣3＝±13，
解得：x＝2或4或﹣10或16，
故答案为：2或4或﹣10或16．
27．如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|+（3a+b）2＝0
（1）a＝　﹣2　，b＝　6　；
（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．
①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值；
②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示．
③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，到点B后停止运动，当PQ＝1时，求t的值．
【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b的值；
（2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为﹣2+t，再根据两点间的距离公式得出PO＝|﹣2+t|，PB＝|﹣2+t﹣6|＝|t﹣8|，利用PO＝2PB建立方程，求解即可；
②根据中点坐标公式分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可；
③分三种情况：相遇前PQ＝1，相遇后PQ＝1，点Q返回到B，PQ＝1；进行讨论即可求解．
解：（1）∵|a+2|+（3a+b）2＝0，
∴a+2＝0，3a+b＝0，
∴a＝﹣2，b＝6；
故答案为：﹣2；6．
（2）①∵若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴运动t秒后P点对应的数为﹣2+t，
∵点A表示的数为﹣2，点B表示的数为6，
∴PO＝|﹣2+t|，PB＝|﹣2+t﹣6|＝|t﹣8|，
当PO＝2PB时，有|﹣2+t|＝2|t﹣8|，
解得t＝6或14（舍去）．
答：点P的运动时间t为6；
②当点P运动到线段OB上时，
AP中点F表示的数是＝，OB的中点E表示的数是3，
所以EF＝3﹣＝，
则＝＝2．
③相遇前PQ＝1，（1+2）t＝8﹣1，
解得t＝；
相遇后PQ＝1，t＝3或5；
点Q返回到B，PQ＝1，
t＝（8﹣1）÷1＝7
或t＝（8+1）÷1＝9．
综上所述，当PQ＝1时，t的值是或3或5或7或9．