2021—2022学年人教版九年级数学上册第二十四章 圆 同步测试题 (word版含答案）

2021——2022学年度人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 同步测试题
一、选择题（30分）
1．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
2．如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC、OC交于点E、D，设∠C＝α，∠A＝β，则（　　）
A．若α﹣β＝65°，则弧DE的度数为25° B．若α+β＝65°，则弧DE的度数为25°
C．若α﹣β＝65°，则弧DE的度数为50° D．若α+β＝65°，则弧DE的度数为50°
3．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
4．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是（ ）
A．1： B．2：1 C．1： D．1∶2
5．如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（　　）
A．5厘米 B．4厘米 C．厘米 D．厘米
6．如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，D、E为圆上动点，且D、E关于AB对称，将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点处，若⊙O的周长为10，则的长为（　　）
A．1 B．1.25 C．1.5 D．2
7．在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽cm，则水的最大深度为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
8．如图，FA、FB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上一点，过点C的切线分别交FA、FB于D、E两点，若∠F＝60°，△FDE的周长为12，则⊙O的半径长为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
9．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
10．如图，边长为的等边三角形内接于，过点作的切线交的延长线于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（15分）
11．如图，在中，，，，将绕顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以，为圆心，、长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是________．
12．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于点E，连接AB，若⊙O的半径是3cm，则AB的长是 _____cm．
13．如图，在⊙O中，直径AB＝2，延长AB至C，使BC＝OB，点D在⊙O上运动，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接OE，则线段OE的最大值为 _____．
14．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝30°，则这个多边形的边数是_____；若这个多边形的边长为2，则多边形的面积是_______．
15．在中，，，D，E分别是，的中点，若等腰绕点A逆时针旋转，得到等腰，记直线与的交点为P，则点P到所在直线的距离的最大值为________．
三、解答题（75分）
16．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．
17．如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）点G是CD的中点，OG＝3，CD＝8，求⊙O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
18．如图，∠EAD是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，且∠EAD＝75°，DB＝DC．
（1）求∠BDC的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求劣弧BC的长．
19．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
克罗狄斯 托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 　 　．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 　 　．
（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．
20．把一个含45°角的直角三角板 BEF 和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，联结DF，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN．
（1）如图 1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，则MA，MN的数量关系是 ；位置关系是： ；
（2）如图 2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）将直角三角板BEF绕点B旋转一周，若正方形ABCD的边长为6，含45°角的直角三角板 BEF 的直角边长为 4，直接写出旋转过程中点B到直线 DF 的距离最大时线段DF的长．
21．综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个直角三角板和量角器，把量角器的中心O点放置在AC的中点上，DE与直角边AC重合，如图1所示，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，OD＝3，量角器交AB于点G，F，现将量角器DE绕点C旋转，如图2所示．
（1）点C到边AB的距离为 　 　．
（2）在旋转过程中，求点O到AB距离的最小值．
（3）若半圆O与Rt△ABC的直角边相切，设切点为K，求BK的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线，已知OA =OC =3OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求过A，B，C三点的圆的半径；
（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由；
23．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，在 ABCD中，E是边AD上一点，在边BC上画点F，使CF=AE；
（2）如图2，△ABC内接于⊙O，D是的中点，画△ABC的中线AE；
（3）如图3，在 ABCD中，E是边AD上一点，且DE=DC，画∠BAD的平分线AF；
（4）如图4，BC是⊙O的直径，A是⊙O内一点，画△ABC的高AD．
【参考答案】
1．C 2．D 3．C 4．D 5．D 6．B 7．B 8．C 9．B 10．B
11．
12．
13．
14．六
15．
16．解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，
设半径为xm，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝30m，
∴AM＝AB＝15（m），
在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，
由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣9）2+152，
解得：x＝17，
即拱桥所在的圆的半径为17m；
（2）∵OP＝17m，
∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝8（m），
∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，
∴不需要采取紧急措施．
17．（1）解：连接OD，如图1：
∵G是CD的中点，CD＝8，
∴DG＝CD＝4，OG⊥CD，∠OGD＝90°，
Rt△OGD中，OD＝，且OG＝3，
∴OD＝＝5，即圆O的半径长为5；
（2）证明：连接AC，延长AF交BD于M，如图2：
∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴AM⊥BD，即AF⊥BD．
18．解：（1）∵四边形是的内接四边形，
∴
∴，
∴∠EAD，
∵
∴．
∴ DC，
∴，
∴．
（2）如图，连接．
∵，
∴（圆周角定理）．
∵的半径为3，
∴劣弧的长．
19．（1）由托勒密定理可得：
故答案为：
（2）如图，连接，
五边形是正五边形，则,
设，
即
解得（舍去）
20．（1）如图，连接
四边形是正方形，是等腰直角三角形
，
即
，
分别是的中点，是直角三角形，
，
，
设，则
即
故答案为：，
（2）如图，连接，
四边形是正方形，是等腰直角三角形
，
即
，
分别是的中点，是直角三角形，
，
，
设，则
即
（3）如图，连接，以为半径，为圆心，作
根据题意，点在当为的切线时，即为到的距离，此时即为点B到直线 DF 的距离最大，
,
在中，
21．（1）∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
则
设点C到边AB的距离为，
故答案为：
（2）当时，即时，点O到AB距离的最小；
中心O点放置在AC的中点上
点O到AB距离的最小值为：
（3） OD＝3，半圆O与Rt△ABC的直角边相切，设切点为K，
在中，,
，
22．解：（1）令x=0，则y=3，
则点A的坐标为（3，0），
根据题意得：OC=3=OA=3OB，
故点B、C的坐标分别为：（-1，0）、（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），
把（3，0）代入得-3a=3，
解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；
（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），
则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），
则圆的半径为：；
（3）过点A、C分别作直线AC的垂线，交抛物线分别为P、P1，
设点P(x，-x2+2x+3)，过点P作PQ⊥轴于点Q，
∵OA =OC，∠PAC=90°，
∴∠ACO=∠OAC=45°，
∵∠PAC=90°，
∴∠PAQ=45°，
∴△PAQ 是等腰直角三角形，
∴PQ=AQ=x，
∴AQ+AO=x+3=-x2+2x+3，
解得：(舍去)，
∴点P(1，4)；
设点P1(m，-m2+2m+3)，过点P1作P1D⊥轴于点D，
同理得△P1CD是等腰直角三角形，且点P1在第三象限，即m<0，
∴P1D=CD=m2-2m-3，DO=-m，
∴DO+OC= P1D，即-m+3= m2-2m-3，
解得：(舍去)，
∴点P(-2，-5)；
综上，点P（1，4）或（-2，-5）．
23．解：（1）如图1中，线段CF即为所求作；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AD∥BC，
∠AOE=∠COF，∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴CF=AE；
（2）如图2中，线段AE即为所求作；
∵D是的中点，
∴OD⊥BC，BE=EC，
∴AE是△ABC的中线；
（3）如图3中，射线AF即为所求作；
同（1）△AOE≌△COF，
∴CF=AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∵DE=DC，
∴AB=DE=DC=BF，
∴∠BAF=∠BFA，∠BFA=∠FAD，
∴∠BAF=∠FAD，
∴AF是∠BAD的平分线；
（4）如图4中，线段AD即为所求作；
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BFC=∠BEC=90°，
∴点A是△ABC的垂心，
∴AD是△ABC的高．