2021-2022学年苏科版九年级数学上册第2章对称图形圆单元能力达标测评（word版含解析）

第2章对称图形—圆
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，以c为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
2.已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，将半径为 2 的圆形纸片，沿半径 OA、OB 将其裁成 1：3 两个 部分，用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（ ）
B．1 C．1 或 3 D．或
4.如图，正六边形的边长为，则它的内切圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（　　）
A．6﹣ B．4﹣ C．6﹣ D．6﹣
6、如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（　　）
A．△BPA为等腰三角形 B．AB与PD相互垂直平分
C．点A、B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线
7、如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　）
A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3）
8、如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（　　）
第7题 第8题
A．75° B．70° C．65° D．60°
9．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影面积等于（　　）
A． B． C．π﹣1 D．π﹣2
10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径．若BD＝10，∠ABD＝2∠C，则AB的长度为（　　）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图D是⊙O上一点，C是弧ACB的中点，若∠ACB＝116°，则∠BDC度数　 　°．
12、已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是　 　（结果保留π）．
13、如图，△ABD内接于⊙O，∠ADB＝90°，∠ADB的角平分线DC交⊙O于C．若BD＝8，BC＝，则AD的长为 　　．
14、一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角为 　 　．
15、如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（12，6.5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 　 　．
16．如图，正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AB为半径画弧，连接AC，以A为圆心，AC为半径画弧交AD的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 　 　．
17．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为　 　．
18．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，交直径AB于点E，CD＝6，则EB＝　 　．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为　 　．
20．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，水面宽AB为8m，则输水管的半径为　 　m．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）∠D＝30°，BD＝4，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
22．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝2，AE＝5，则⊙O的半径是多少？
23．已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
24．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．
25、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝，求劣弧BC的长．
26、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E，交⊙O于另一点F．
（1）求证：∠DBE＝∠BCD．
（2）若BC＝4，BE＝4，求AB的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OM＝16﹣r，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝AB＝8，
在Rt△AOM中，82+（16﹣r）2＝r2，解得r＝10，
∴MD＝CD﹣CM＝20﹣16＝4．
故选：A．
2．解：A．直径是弦，根据弦的定义是连接圆上两点的线段，∴故此选项正确，但不符合题意，
B．最长的弦是直径，根据直径是圆中最长的弦，∴故此选项正确，但不符合题意，
C．垂直弦的直径平分弦，利用垂径定理即可得出，故此选项正确，但不符合题意，
D．经过三点可以确定一个圆，利用经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故此选项错误，符合题意，
故选：D．
3．解：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝25°，
∴∠BOC＝∠A+∠ACO＝25°+25°＝50°．
故选：B．
4．解：∵OP＝5＞4，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝BC＝4，
∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝AE＝4，
∵AB＝2，
∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝30°，∠EAD＝60°，
∴BE＝AE＝2，
∴阴影部分的面积S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD
＝2×4﹣××2﹣
＝6﹣．
故选：A．
6．解：如图，设∠DCB的角平分线交BD于F，连接AC，
∵∠OAB＝90°，C是OB的中点，
∴AC＝OB＝OC，
∵OA＝OC，
∴OA＝OC＝AC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC＝∠OCA＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠DAC，
∴∠OCD＝60°+30°＝90°＝∠DCB，
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠BCF＝∠OCE＝45°，
∵OC＝OE，
∴∠E＝∠OCE＝45°，
∴∠COE＝90°．
故选：C．
7．解：如图，连接OA，OC．
∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有，
解得，r＝4，
故选：C．
8、B
9、B
10、C
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵A、C、B、D四点共圆，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∵∠ACB＝116°，
∴∠ADB＝180°﹣116°＝64°，
∵C是弧ACB的中点，
∴＝，
∴∠BDC＝∠ADC＝ADB＝32°，
故答案为：32．
12、已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是　 　（结果保留π）．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：∵底面圆的半径为4，
∴底面周长＝8π，
∴侧面面积＝×8π×5＝20π．
故答案为：20π．
13、如图，△ABD内接于⊙O，∠ADB＝90°，∠ADB的角平分线DC交⊙O于C．若BD＝8，BC＝，则AD的长为 　　．
【思路引导】连接AC，根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，求得∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠ADC＝∠BDC，得到AC＝BC＝5，求得AB＝AC＝10，根据勾股定理即可得到答案．
【完整解答】解：连接AC，
∵∠ADB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴＝，
∴AC＝BC＝5，
∴AB＝AC＝10，
∵BD＝8，
∴AD＝＝6，
故答案为：6．
14、一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角为 　 　．
【分析】根据⊙O的一条弦长恰好等于半径知：这条弦和两条半径组成了等边三角形．所以这条弦所对的圆心角是60°，再根据弦所对的圆周角有两种情况讨论求解．
解：根据题意，弦所对的圆心角是60°，
①当圆周角的顶点在优弧上时，则圆周角＝×60°＝30°；
②当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的性质，和第一种情况的圆周角是互补，等于150°．
故答案为：30°或150°．
15、如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（12，6.5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 　 　．
【思路引导】连接AB，过点A分别作AC⊥x轴、AD⊥y轴，利用根据圆的切线性质可知△PAB、△AOC为直角三角形，AB＝AC＝6.5，利用直角三角形中30°角的性质和勾股定理分别求出AP、AD的长度，进而求出OD、PD的长度即可求得答案．
【完整解答】解：过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，
当点P在点D是上方时，如图，
∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴四边形ADOC为矩形，
∴AC＝OD，OC＝AD，
∵⊙A与x轴相切，
∴AC为⊙A的半径，
∵点A坐标为（12，6.5），
∴AC＝OD＝6.5，OC＝AD＝12，
∵PB是切线，
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝13，
在Rt△PAD中，根据勾股定理得，
PD＝＝＝5，
∴OP＝PD+DO＝11.5，
∵点P在y轴的正半轴上，
∴点P坐标为（0，11.5），
故答案为：（0，11.5）．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∠DAC＝45°，
∴AC＝AB＝，
∴图中阴影部分的面积＝[﹣]+（1×1﹣）＝，
故答案为．
17．解：连接OC，如图所示：
∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，
∴CE＝ED＝CD＝3，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝AB＝5，
∴OE＝＝4，
∴BE＝OB﹣OE＝AB﹣OE＝5﹣4＝1，
故答案为：1．
18．解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CE，
∴CE＝＝，
∴AE＝＝＝，
∴AD＝2AE＝，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，
故答案为：．
19．解：由题意得：OD⊥AB，
∴AC＝AB＝×8＝4（m），
设OA＝rm，则OC＝OD﹣CD＝（r﹣2）m，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
即输水管的半径为5m，
故答案为：5．
20．解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上
∴经过点A，B，C可以确定一个圆
∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上
∴设圆心坐标为M（2，m）
则点M在线段BC的垂直平分线上
∴MB＝MC
由勾股定理得：＝
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1
∴m＝0
∴圆心坐标为M（2，0）
故答案为：（2，0）．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∴AB＝2r，
∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，
∴OD＝2r，∠COB＝60°，
∴r+4＝2r，△COB是等边三角形，
∴BC＝OB＝r＝4，∠AOC＝120°，
由勾股定理可知：AC＝4，
∴S△AOC＝S△ABC＝＝4，
S扇形OAC＝＝，
∴阴影部分面积为﹣4．
22．解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝16cm，
∴CE＝CD＝8cm．
在Rt△OCE中，OC＝10cm，CE＝8cm，
∴OE＝＝＝6（cm），
∴AE＝AO+OE＝10+6＝16（cm）．
23．解：连接OC，
∵AB＝5cm，
∴OC＝OA＝AB＝cm，
Rt△CDO中，由勾股定理得：DO＝＝cm，
∴AD＝﹣＝1cm，
由勾股定理得：AC＝＝，
则AD的长为1cm，AC的长为cm．
24．解：
25、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝，求劣弧BC的长．
【思路引导】（1）由题意连接OC，依据垂直平分线的性质得出∠EBC＝∠ECB，进而利用切线得出∠OBE＝90°，OB⊥BE，即可求解；
（2）设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣DF＝R﹣2，OB＝R，进而利用OD2+BD2＝OB2，得到R，最后根据三角函数求出∠BOC，从而运用劣弧BC＝得出答案．
【完整解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴OE为BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC+∠EBC＝∠OCB+∠ECB，即∠OBE＝∠OCE，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∴∠OBE＝90°，
∴OB⊥BE，
∵OB是半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣DF＝R﹣2，OB＝R，
在Rt△OBD中，BD＝BC＝，
∵OD2+BD2＝OB2，
∴，
解得R＝4，
∴OD＝2，OB＝4，
∴cos∠BOD＝，
∴∠BOD＝60°，
又OD⊥BC，OB＝OC，得∠BOC＝120°，
∴劣弧BC＝．
26、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E，交⊙O于另一点F．
（1）求证：∠DBE＝∠BCD．
（2）若BC＝4，BE＝4，求AB的长．
【思路引导】（1）连接CF，由题意可知∠BCF＝∠ADC＝90°，利用圆周角定理可得∠BAC＝∠BFC，根据内角和为180°可得∠ACD＝∠FBC，因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，通过等量代换即可求解；
（2）根据角的互余可得∠FEC＝∠FCE，从而可得FE＝FC，设FC＝x，则BF＝4+x，根据勾股定理即可求解．
【完整解答】（1）证明：如图，连接CF，
∵BF为直径，
∴∠BCF＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝∠BFC，
∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠BAC，
∠FBC＝180°﹣∠BCF﹣∠BFC，
∴∠ACD＝∠FBC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DBE＝∠BCD；
（2）解：∠DBE+∠DEB＝90°，∠DEB＝∠FEC，
∴∠DBE+∠FEC＝90°，
∵∠BCD+∠FCE＝90°，∠DBE＝∠BCD，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴FE＝FC，
设FC＝x，则BF＝4+x，
在Rt△BCF中，BC2+FC2＝BF2，即（4）2+x2＝（4+x）2，
解得x＝2，
∴BF＝6，
如图，过点A作AG⊥BC于G，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG＝2，
∴点A、O、G在同一直线上，
∴OG＝FC＝1，
∴AG＝AO+OG＝4，
在Rt△ABG中，AB2＝AG2+BG2＝24，
∴AB＝2．