山西省运城市盐湖区解州高级中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题（Word版含答案）

解州高级中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数学试题
【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、单项选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若直线经过两点，且倾斜角为135°，则m的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．已知等差数列满足，，则=(　　)
A． B． C． D．
3．已知，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）条件
A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要
4．已知数列满足，，为数列的前n项和，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．等比数列的各项均为正数，且，则 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且,则的长为
A． B． C． D．
7．等差数列中，为的前n项和，已知,且,则=
A． B． C． D．
8．双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上，当时，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，已知圆，点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为,则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆上的点到原点的最大距离为
B．圆上存在三个点到直线的距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．若圆与圆有公共点，则
12．在数列中，，，，若数列单调递减，数列单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题后的横线上)
13．若等比数列满足，，则＝________.
14．若数列的前项和为，则数列的通项公式__________．
15．已知数列中，，前项和，则的通项公式为___________.
16．已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线有公共焦点，是它们在第一象限的交点，且,则的最小值为________．
三、解答题：本大题共6小题,共70分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知等差数列的公差，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，，求数列的前n项和.
18．(本小题满分12分)
已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）设，，求的前n项和.
19．(本小题满分12分)
如图，在三棱柱中，平面， ， ，，点分别在棱 和棱上，且 ，，为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
20．(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的方程.
（2）过点的直线与抛物线交于两点，以线段为直径的圆过，求直线的方程.
21．(本小题满分12分)
已知数列的前项和，满足：．
（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项；
（2）若数列满足，为数列的前项和，求证：.
22．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.
数学答案
1．C 2. D 3. B 4．A 5. C 6．D 7．D 8. B 9． C 10．A 11. B 12． A
13. 14． 15． 16．
17.（1）解：因为 ，得，又，所以，
所以……………………………（5分）
设公比为，由题意知，，，即，所以，
所以，
故…………………（10分）
18.解（1）设数列的公差为，则，
因为成等比数列，
得即得（舍去）或，
所以…………………（6分）
（2）因为
所以
……………………………………………（12分）
19.(1)证明：在三棱柱中，,,,,是棱的中点，,在三棱柱中,平面//平面，,平面,平面,平面,,,
,
,,………………………（5分）
（3）依题意，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则,因为是平面的一个法向量，,设是平面的法向量，则
即，不妨设，可得，
则，则
所以二面角的正弦值为.………………………（12分）
20.解. （1）由抛物线定义可知：，解得：，
抛物线的方程为：；………………………（4分）
（2）由抛物线方程知：，
设直线，，，
联立方程得：，，，…………………（6分）
以线段为直径的圆过点，，………………（8分）
，
解得：，…………（10分）
直线的方程为：，即.…………（12分）
21.解(1)　当n∈N*时，Sn＝2an－2n，则当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)，
两式相减得an＝2an－2an－1－2，即an＝2an－1＋2，
∴an＋2＝2(an－1＋2)，∴＝2，…………（3分）
当n＝1时，S1＝2a1－2，则a1＝2，
∴{an＋2}是以a1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列，…………（4分）
∴an＋2＝4·2n－1，∴an＝2n＋1－2；…………（5分）
(2)证明　bn＝log2(an＋2)＝log22n＋1＝n＋1，…………（6分）
∴＝，则Tn＝＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋＋，…………（7分）
两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－…………（8分）
＝＋－＝＋－－＝－，
∴Tn＝－，…………（10分）
当n≥2时，Tn－Tn－1＝－＋＝>0，
∴{Tn}为递增数列，∴Tn≥T1＝.…………（12分）
22.把右焦点代入直线，得. ...........（1分）
设，的中点为，则，相减得，即，
即，即.
又，则又，解得，
故椭圆的方程为. .............（5分）
（2）联立消去，可得，解得或.
故交点为，
所以. ......................................（7分）
因为，所以可设直线的方程为，，
因为直线与直线有交点，所以.
联立消去，可得，
因为直线与椭圆有两个不同的交点，则，
解得，所以.
又，则，.........（10分）
故四边形的面积为，
故当时，取得最大值，最大值为，
所以四边形的面积的最大值为. ..................（12分）