沪科版数学九年级上册 正方形中的半角模型及其应用教案

正方形中的半角模型及其应用
教学目标：
1.让学生掌握正方形中的半角模型，能够利用此模型解决相关问题；
2.让学生经历从已有的知识出发，抽象出半角模型的过程，获得利用模型解决问题的方法；
3.通过正方形中半角模型的应用，让学生体验模型思想在数学学习中的归纳、延伸作用。
教学重点：正方形中的半角模型的探究及运用.
教学难点：从具体的问题中抽象出半角模型，并运用半角模型解决问题.
教学过程：
一、温故知新，探索模型.
问题：如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°.
求证：EF=DF+BE.
多媒体播放微课视频“正方形中的半角模型”。
教师总结视频中解决问题的方法：
方法一、利用旋转变换构造全等
1.把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADE'，则△ABE≌△ADE'，F，D，E'共线；
2.证明△AEF≌△AE'F；
3.EF=E'F=FD+DE'=FD+BE.
方法二、利用轴对称变换构造全等
1.作△ABE关于AE的轴对称图形△AB'E，
则有△ABE≌△AB'E；
2.连接FB'，证明△ADF≌△AB'F；因为∠AB'E+∠AB'F=
∠ABE+∠ADF=180°，所以E、B'，F三点共线；
3.EF=EB'+B'F=BE+FD.
教师给出半角模型的概念及其特征：
模型名称：正方形中的半角模型
特征：从正方形一个顶点出发的两条线所夹的角等于正方形内角的一半，并且与正方形的边相交。
解决模型问题的方法：
把半角一侧的三角形通过旋转变换或轴对称变换构造新的全等三角形，利用全等三角形的对应边相等或对应角相等来转化边和角，进而可以探究新的边边关系或角角关系；
2. 截长补短。
二、变换图形，拓展模型
如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，∠EAF=45°，连接BD，分别交AE，AF于M，N.
求证：△DMA∽△AMN.
总结拓展：
连接BD，分别交AE，AF于M，N，则有△DMA∽△AMN∽△BAN∽△BME∽△DFN.
三、简单应用，熟悉模型
1.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，若△ABE，△ADF的面积分别为5和3，则△AEF的面积为___________.
2.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，则△CEF的周长_______________.
四、改变图形，运用模型
1.已知△AMN的顶点M,N分别在正方形ABCD的边CB,DC的延长线上,且∠MAN=45°.
（1）如图，求证：MN+BM=DN;
（2）如图，作射线DB交直线AM于点P，若MN=10，CM=8，求AP的长.
2.将两块等腰直角三角板按如图所示方式摆放.
（1）如图1，若AD=，AE=，DE=5，求BC的长;
（2）如图1，求证：DE2=BD2+CE2;
（3）如图2，若AG交BC的延长线于点E，则等式DE2=BD2+CE2还成立吗？请说明理由.
五、课堂小结
正方形中的半角模型
作 业：
如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，则BE，DF，EF三条线段之间的数量关系为__________,请证明你的结论.
板书设计：
教学反思：
正方形中的半角模型及其应用
1.半角模型：
2.方法：