5.1.2 垂线 课件（共23页ppt）
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(共23张PPT)
5.1.2 垂线
人教版 七年级下
精品教学课件
情境引入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
日常生活里，图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的
位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
垂线的概念
一
新课学习
问题：如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、
∠BOC的度数是多少？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角和邻补角的性质知，当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
一、垂直的定义及表示
1.垂直的定义
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
（1）如果直线AB与直线CD垂直，那么
可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.
（2）如果用l、m表示这两条直线，那
么直线l与直线m垂直，可记作：
l⊥m（或m⊥l）.
（3）把互相垂直的两条直线的交点叫
作垂足（如图中的O点）.
A
B
C
D
O
l
m
2.垂直的表示法
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，那么AB⊥CD.
因为∠AOD=90°（已知） ,
所以AB⊥CD（垂直的定义） .
3.垂直的判定
二、垂线的画法及性质
问题：
(1)画已知直线l的垂线能画几条
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能
画几条
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能
画几条
A
.B
l
.
垂线的性质
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可
以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
唯一性.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
C
D
E
l
1.线段AB, AC, AD , AE谁最短？
2.你能用一句话表示这个结论吗？
试一试：
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
B
A
三、垂线段的定义及性质
垂线段定义：
过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
特别规定：
D
l
A
垂线段性质
点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
解读：
（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
试一试： 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
例1如图，下列说法正确的是（ ）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
B.线段AB的长度叫作点A到直线BC的距离
C.线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离
D.线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离
A
B
C
D
D
典例精析
例2如图, AC⊥BC, ∠CDB=90° ,线段AC、BC、CD中最短的是 ( )
A. AC B. BC C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
例3如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
解：因为∠BOE＝∠NOE，
所以∠BON＝2∠EON＝40°，
所以∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
因为AO⊥BC，
所以∠AOC＝90°，
所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
综上∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
1.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短的是 ( )
A. AC B. BC C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
2.如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若
∠CEF=58°，则∠BED的度数为 .
C
A
B
E
F
D
32°
课堂检测
3.如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线，若∠AOB=40°，求∠EOF、∠COE的度数．
A
F
D
O
B
C
E
解：∵AO⊥OD且∠AOB=40°，
∴∠BOD=90°-40°=50°，
∴∠EOF=50°.
又∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC=∠BOD=50°，
∴∠COE=180°-50°-50°=80°．
4.如图，已知直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB.
(1)过点O画直线MN⊥CD；
(2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．
解：(1)如图所示．
(2)①当点F在射线OM上时．
因为OE⊥AB，MN⊥CD，
所以∠EOB＝∠MOD＝90°，
所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，
所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°.
②当点F在射线ON上时，如图中点F′.
因为MN⊥CD，
所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，
所以∠AOM＝90°－∠AOC＝55°，
所以∠BON＝∠AOM＝55°，
所以∠EOF′＝∠EOB＋∠BON＝90°＋55°＝145°，
即∠EOF的度数是35°或145°.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
5.1.2 垂线
人教版 七年级下
精品教学课件
情境引入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
日常生活里，图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的
位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
垂线的概念
一
新课学习
问题：如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、
∠BOC的度数是多少？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角和邻补角的性质知，当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
一、垂直的定义及表示
1.垂直的定义
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
（1）如果直线AB与直线CD垂直，那么
可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.
（2）如果用l、m表示这两条直线，那
么直线l与直线m垂直，可记作：
l⊥m（或m⊥l）.
（3）把互相垂直的两条直线的交点叫
作垂足（如图中的O点）.
A
B
C
D
O
l
m
2.垂直的表示法
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，那么AB⊥CD.
因为∠AOD=90°（已知） ,
所以AB⊥CD（垂直的定义） .
3.垂直的判定
二、垂线的画法及性质
问题：
(1)画已知直线l的垂线能画几条
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能
画几条
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能
画几条
A
.B
l
.
垂线的性质
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可
以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
唯一性.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
C
D
E
l
1.线段AB, AC, AD , AE谁最短？
2.你能用一句话表示这个结论吗？
试一试：
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
B
A
三、垂线段的定义及性质
垂线段定义：
过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
特别规定：
D
l
A
垂线段性质
点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
解读：
（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
试一试： 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
例1如图，下列说法正确的是（ ）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
B.线段AB的长度叫作点A到直线BC的距离
C.线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离
D.线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离
A
B
C
D
D
典例精析
例2如图, AC⊥BC, ∠CDB=90° ,线段AC、BC、CD中最短的是 ( )
A. AC B. BC C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
例3如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
解：因为∠BOE＝∠NOE，
所以∠BON＝2∠EON＝40°，
所以∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
因为AO⊥BC，
所以∠AOC＝90°，
所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
综上∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
1.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短的是 ( )
A. AC B. BC C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
2.如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若
∠CEF=58°，则∠BED的度数为 .
C
A
B
E
F
D
32°
课堂检测
3.如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线，若∠AOB=40°，求∠EOF、∠COE的度数．
A
F
D
O
B
C
E
解：∵AO⊥OD且∠AOB=40°，
∴∠BOD=90°-40°=50°，
∴∠EOF=50°.
又∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC=∠BOD=50°，
∴∠COE=180°-50°-50°=80°．
4.如图，已知直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB.
(1)过点O画直线MN⊥CD；
(2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．
解：(1)如图所示．
(2)①当点F在射线OM上时．
因为OE⊥AB，MN⊥CD，
所以∠EOB＝∠MOD＝90°，
所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，
所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°.
②当点F在射线ON上时，如图中点F′.
因为MN⊥CD，
所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，
所以∠AOM＝90°－∠AOC＝55°，
所以∠BON＝∠AOM＝55°，
所以∠EOF′＝∠EOB＋∠BON＝90°＋55°＝145°，
即∠EOF的度数是35°或145°.
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