沪科版数学九年级上册 22.2浅析相似三角形的解题思路 教案

浅析相似三角形解题思路
教学目标：
知识与技能：进一步巩固相似三角形判定的知识，利用三角形相似，证明角相等，线段 成 比例。
解决问题：能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度。
3、数学思考：通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模思想，培养学生学会与同学交流合作，培养团队精神，变他有为己有，培养把自己的想法与观点陈述给同学
4、情感态度：体验学习几何过程中成功的快乐，增强学习几何的信心与热情，并能感悟几何知识在生活中的价值.
教学重点：
相似三角形的概念及应用并利用相似三角形解决一些实际问题。
教学难点：
相似三角形的概念及对应边的确定，由相似三角形写出对应边的比例式，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的对应边，学生经常将他们的位置写错。
教学方法：
注重培养学生的识图能力、运算能力、直觉猜想能力、抽象概括能力和逻辑推理能力。
教学过程：
相似图形是日常生活中常见的图形．数学中相似关系的研究，是现实生活和生产实际的需要．就是把它们抽象成为图形之间的相似关系，并研究相似形的定义、性质、判定和应用，使之上升为理论，反过来又为实践服务．在研究三角形的全等，即“形状相同，大小相等”的基础上，现要进一步研究两个平面图形的“形状相同，大小可以不一样”的图形的性质——相似．全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．学好相似形也为学习园的有关性质和三角函数知识作了必要的准备和重要工具．在平面几何中，相似形是承上启下的关键内容．
三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；
一、已知两直线平行，其所截的三角形与原三角形。
1、在△ABC中，MN∥BC，∠C＝68 0，AM：MB＝1：2，则∠MNA＝ 68 0；AN：NC＝1：2 ；
2、A、 B、 C、 D、
3、如图1，DE是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，若AD：DB＝2：3，则S△ADE：S四边形BCED＝ ( D )
A、2：3 B、4：9
C、4：5 D、4：21
4、如图2，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：①； ②；③；④，其中正确比例式的个数有：( B )
　　A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
5、　如图10过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E．过点D作DM∥FC交AB于点M．(1)若S△AEF：S四边形MDEF＝2：3，求AE：ED；
(2)求证：AE×FB＝2AF×ED
(1)解：∵DM∥FC ∴△AEF∽△ADM
∴
∴ ∴
(2)证明：∵DM∥FC ∴AE：ED＝AF：FM 又∵CD＝DB ∴FM＝BF/2
∴AE：ED＝AF：BF/2 即AE×FB＝2AF×ED
说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比．注意平截比定理的应用．
找另一角 两角对应相等，两三角形相似
找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
5、如图3△ABC的两条高AD、BE交于H，图中与△AHE
相似的三角形(不包括△AHE)有( C )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6、如图4在△ABC中，∠BAC＝90 0，AD⊥BC于D，
若AB＝2，BC＝3，则DC的长是：( D )
A、 B、 C、 D、
7.　如图5在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF⊥AB于F，交AC的延长线于H，交BE于G，求证：(1)FG / FA＝FB / FH (2)FD是FG与FH的比例中项．
分析：(1)由FG / FA＝FB / FH，横看三点定形应证△FGB∽△FAH
(2)由FD / FG＝FH / FD，横看竖看三点定形都无法证三角形相似．化比例式为等积式，再应用(1)的结论可得：DF 2＝FG FH＝FA FB
再转化为：， 横看竖看三点定形
要证△AFD∽△DFB即可．
证明：(1)∵∠AFH＝∠BFG＝900，∠ABG＝∠AHF
∴△FGB∽△FAH FG / FA＝FB / FH
(2)∵AD⊥BD，DF⊥AB ∴∠AFD＝∠DFB＝900
又∵∠BDF＋∠FDA＝900∠BDF＋∠DAF＝900
∴∠BDF＝∠DAF ∴△BDF∽△DAF ∴BF / FD＝FD / FA DF 2＝FA×FB
由(1)得FG FH＝FA FB ∴DF 2＝FG FH
说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似．找相似三角形用三点定形法(在比例式中，或横着找三点，或竖着找三点)，若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换．
找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似
找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似
8、已知矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：
如图：称为“平行线型”的相似三角形
(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。
(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA
解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，
由勾股定理可求得AE=， 在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且所以△EAF∽△ECA
9.　己知如图11在正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，△ADP与△QCP相似？
分析：不难发现，△ADP与△QCP都应为直角三角形，要求BQ的值，应先求出使△ADP与△QCP相似的QC的值
解：在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝90 0 ∴△ADP与△QCP都为直角三角形
当Rt△ADP∽Rt△QCP 时，有
QC＝＝AD＝1
即得点Q与点B重合，BQ＝0
当Rt△ADP∽Rt△PCQ 时，有
QC＝即得：BQ＝
∴当BQ＝0或BQ＝时，△ADP与△QCP相似．
说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系．然后再确定顶点P所在的位置．本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解。
找另一角 两角对应相等，两三角形相似
找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4
10.己知如图12在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝900，AB＝7，AD＝2，BC＝3．试在边AB上确定点P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似．
解：由题意得：△APD∽△BPC或△APD∽△BCP
∴ AB＝7，AD＝2，BC＝3
解得：AP＝
∴ ，解得：AP＝1或AP＝6
即当AP的长为1或或6时，以P、A、D为顶点的三角形
与以P、B、C为顶点的三角形相似．
说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系．然后再确定顶点P所在的位置．本题有多个位置，应注意计算，严防漏解．
找顶角对应相等 判定定理1
找底角对应相等 判定定理1
找底和腰对应成比例 判定定理3
已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，
求证：△ABC∽△BCD
分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°
在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD
六、 相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3
对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．
可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截；
平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和圆幂
图1
A
D
E
B
C
A
F图2
D
E
B
C
图10
C
E
D
A
F
M
B
二、已知一对等角
图3
A
B
D
C
H
E
D
图4
A
B
C
图5
A
E
F
B
D
G
C
H
三、己知两边对应成比例
P
A
D
B
Q
C
图11
四、己知一个直角
图12
A
D
B
C
P1
P2
P3
五、有等腰关系
C
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
A
B
D
E