2021-2022学年人教版数学八年级上册13.3 等腰三角形 同步优化 （word版含解析）

人教版 八年级数学 上册 13.3 等腰三角形 同步优化
一、选择题
1. 已知实数x、y满足|x－4|＋＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是(　　)
A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对
2. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM的长为(　　)
　　
A．3 B．4 C．5 D．6
3. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为(　　)
A．4 B．12 C．18 D．30
4. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为(　　)
A．105° B．95° C．85° D．75°
5. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　)
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
6. （2020·河南）如图，在△ABC中，AB=BC=，∠BAC=30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为( )
A. B.9 C.6 D.
7. (2020自贡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
8. （2020·宜宾）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM＝BE，AN＝AD，则△CMN的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
二、填空题
9. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为________米．
10. 如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上)
①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD
③ AB＋BD＝AC＋CD ④ AB－BD＝AC－CD
　　　
11. （2020·齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　 　．
12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是中线，BE是高，AD与BE交于点F，则∠BFD＝________°.
13. 如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长为________．
14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．
三、解答题
15. 如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F.
求证:BE+CF=EF.
16. 如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数．
17. 如图①，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.
探究一：猜想图①中线段EF与BE，CF间的数量关系，并证明．
探究二：设AB＝8，AC＝6，求△AEF的周长．
探究三：如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与△ABC的外角平分线CO交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F.猜想这时EF与BE，CF间又是什么数量关系，并证明．
18. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.
19. 如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F.探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由．
人教版 八年级数学 上册 13.3 等腰三角形 同步优化-答案
一、选择题
1. 【答案】B　【解析】∵|x－4|＋＝0，∴x－4＝0，y－8＝0，解得x＝4，y＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.
2. 【答案】C　[解析] 如图，过点P作OB的垂线段，交OB于点D，
则△PDO为含30°角的直角三角形，
∴OD＝OP＝6.
∵PM＝PN，MN＝2，∴MD＝DN＝1.
∴OM＝OD－MD＝6－1＝5.
故选C.
3. 【答案】B　[解析] ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12.
4. 【答案】A　[解析] ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC.∴∠DAC＝30°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°.∴∠DEC＝105°.
5. 【答案】C　【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD⊥BC，BD＝CD，在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝3，由勾股定理得BD＝4，∴BC＝2BD＝8.
6. 【答案】D
【解析】∵分别以点A、C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，
∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°.
∵AB=BC，AD=CD，连接BD交AC于点E，∴BD垂直平分AC，∴∠AEB=90°.
∵∠BAC=30°， AB= ，∴BE=，AE=，∴AC=3．
在Rt△ADE中，∵∠DAC=60°，∠AED=90°，AE=，∴DE=，∴BD=，
∴四边形ABCD的面积为：．
7. 【答案】 D．
【解析】本题考查了直角三角形，圆，等腰三角形等知识，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，因此本题选D．
8. 【答案】 C
【解析】 由△ABC和△ECD都是等边三角形，可得△BCE≌△ACD（SAS），∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，∵BM＝BE，AN＝AD，∴BM＝AN，∴△MBC≌△NAC（SAS），∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，∵∠BCM+∠MCA＝60°，∴∠NCA+∠MCA＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MCN是等边三角形．
二、填空题
9. 【答案】12　[解析] ∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，
∴AB＝2BC.∵BC＝4米，∴AB＝8米．
∴这棵树在折断前的高度为12米．
10. 【答案】②③④　【解析】
序号 正误 逐项分析
① × △BAD与△ACD中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的角和边，所以不能判定两三角形全等 ，因而也就不能得出AB＝AC
② √ ∠BAD＝∠CAD结合AD是△ABC的边BC上的高，可得∠B＝∠C，所以AB＝AC，因而△ABC是等腰三角形
③ √ 由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB＋BD＝AC＋CD ，得AB－BD＝AC－CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC是等腰三角形
④ √ 由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB－BD＝AC－CD ，得AB＋BD＝AC＋CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以AB＝AC，得△ABC是等腰三角形
11. 【答案】10或11．
【解析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
12. 【答案】70
13. 【答案】15　[解析] 由多边形的内角和定理可知，这个六边形的每个内角都是120°，因此直线AB，CD，EF围成一个等边三角形，且这个等边三角形的边长为7.因此AF＝4，EF＝2.所以这个六边形的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.
14. 【答案】30　[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC.
∵∠OBM＝∠OBC，
∴∠MOB＝∠OBM.
∴MO＝MB.同理NO＝NC.
∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.
三、解答题
15. 【答案】
证明:∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC.
∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，
同理CF=DF，∴EF=DE+DF=BE+CF，即BE+CF=EF.
16. 【答案】
解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝CA.
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD.
(2)∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.
∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAD，
∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°.
17. 【答案】
解：探究一：
猜想：EF＝BE＋CF.证明如下：
∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.
∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO.
∴∠ABO＝∠EOB.∴BE＝OE.
同理：OF＝CF，∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF.
探究二：C△AEF＝AE＋EF＋AF＝AE＋(OE＋OF)＋AF＝(AE＋BE)＋(AF＋CF)＝AB＋AC＝8＋6＝14.
探究三：
猜想：EF＝BE－CF.
证明如下：∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠CBO.
∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO.
∴∠EBO＝∠EOB.∴BE＝OE.
同理：OF＝CF，
∴EF＝OE－OF＝BE－CF.
18. 【答案】
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC.
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝2DC.
19. 【答案】
解：OE＝OF.
理由：∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF.
∴OE＝OC，OC＝OF.∴OE＝OF.