2021-2022学年吉林省长春市宽城区九年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年吉林省长春市宽城区九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．如图，点A是数轴上一点，则点A表示的数可能为（　　）
A．﹣2.5 B．﹣1.5 C．﹣0.5 D．1.5
2．第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为（　　）
A．0.21836×109 B．2.1836×107
C．21.836×107 D．2.1836×108
3．如图是一个小正方体的表面展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“党”字一面的相对面上的字是（　　）
A．喜 B．迎 C．百 D．年
4．如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为x米，根据题意可列方程为（　　）
A．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
B．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．35x+2×20x﹣2x2＝600
5．图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则tan∠BOC的值为（　　）.
A．sinα B．cosα C．tanα D．
6．如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠C+∠CDE+∠E+∠EAB＝425°，则∠CDA的度数为（　　）
A．75° B．65° C．55° D．45°
7．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）
A．﹣2a B．2a﹣2 C．3﹣2a D．2a﹣3
8．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）．若直线y＝b与新函数的图象有3个公共点，则b的值是（　　）
A．0 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．分解因式：2a2﹣4ab+2b2＝　 　．
10．不等式组的解集为 　 　．
11．已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　 　．
12．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径五尺，不知其深，立三尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸．问井深几何？”意思是：如图，井径AB＝5尺，立木高BD＝3尺，BE＝5寸＝0.5尺，则井深AC为 　 　尺．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别以点A、C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB、CD于点E、F．若AC＝6，∠CAB＝35°，则图中阴影部分的面积为 　 　．（结果保留π）
14．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（0，3）、（4，3），点C是线段AB的中点，将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到CD，过A、B、D三点作抛物线．当x≤1时，抛物线上最高点的纵坐标为 　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．解方程：3x2﹣4x﹣2＝0．
16．如图，甲、乙两个完全相同的转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，记下甲、乙两个转盘中指针所指的数字．请用画树状图或列表的方法，求这两个数字之和为偶数的概率．
17．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中的线段AB上找一点D，连结CD，使∠DCB＝∠DBC．
（2）在图②中的线段AB上找一点E，连结CE，使∠ACE＝∠AEC．
18．某校为了增强学生的疫情防控意识，组织全校600名学生进行了疫情防控知识竞赛．从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分），分成四组：A组60≤x＜70；B组70≤x＜80；C组80≤x＜90；D组90≤x≤100，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求n的值．
（2）补全频数分布直方图．
（3）若规定学生竞赛成绩x≥90为优秀，请估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
19．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）
[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]
20．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E是AC上一点，连结CD、DE，∠ADE＝∠BCD．
（1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若∠B＝50°，⊙O的半径为6，求的长．（结果保留π）
21．某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）求w与x之间的函数关系式．
（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
22．【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC．
（1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．
（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．
【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为 　 　．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AC﹣CB﹣BA运动，到点A停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在边的垂线，交△ABC的另一边于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）边AC的长为 　 　．
（2）当点P在△ABC的直角边上运动时，求点P到边AB的距离．（用含t的代数式表示）
（3）当点Q在△ABC的直角边上时，若PQ＝，求t的值．
（4）当△APQ的一个顶点到△ABC的斜边和一条直角边的距离相等时，直接写出t的值．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3，抛物线上不重合的两点A、B的横坐标分别为2n﹣1，n+3．
（1）求这条抛物线的顶点C的坐标．
（2）若A、B两点的纵坐标相等，求n的值．
（3）当点A在对称轴左侧时，将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为L，设图象L的最高点与最低点的纵坐标之差为d，求d与n之间的函数关系式，并直接写出d随n的增大而减小时n的取值范围．
（4）当点A在点B的左侧时，过A、B两点分别向抛物线的对称轴作垂线，垂足分别为点M、N（点M、N不与顶点C重合）．若点M、N、C中其中一点到另两点距离相等，直接写出n的值．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．如图，点A是数轴上一点，则点A表示的数可能为（　　）
A．﹣2.5 B．﹣1.5 C．﹣0.5 D．1.5
【分析】利用有理数与数轴的关系可得答案．
解：根据图示可得点A表示的数在﹣2和﹣1之间，四个选项中只能是﹣1.5，
故选：B．
2．第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为（　　）
A．0.21836×109 B．2.1836×107
C．21.836×107 D．2.1836×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：218360000＝2.1836×108，
故选：D．
3．如图是一个小正方体的表面展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“党”字一面的相对面上的字是（　　）
A．喜 B．迎 C．百 D．年
【分析】根据正方体的表面展开图的特征进行判断即可．
解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“党”与“迎”是对面，
故选：B．
4．如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为x米，根据题意可列方程为（　　）
A．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
B．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．35x+2×20x﹣2x2＝600
【分析】若设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长（35﹣2x）米，宽（20﹣x）米的长方形，根据使种植面积为600平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：若设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长（35﹣2x）米，宽（20﹣x）米的长方形，
依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．
故选：C．
5．图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则tan∠BOC的值为（　　）.
A．sinα B．cosα C．tanα D．
【分析】在Rt△OAB中，sinα＝，可得OB的长度，在Rt△OBC中，tan∠BOC＝，代入即可得出答案．
解：∵AB＝BC＝1，
在Rt△OAB中，sinα＝，
∴OB＝，
在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝＝sinα．
故选：A．
6．如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠C+∠CDE+∠E+∠EAB＝425°，则∠CDA的度数为（　　）
A．75° B．65° C．55° D．45°
【分析】先利用多边的内角和得到∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E＝540°，则可计算出∠B＝115°，然后根据圆内接四边形的性质求∠CDA的度数．
解：∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E＝540°，
∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E＝425°，
∴∠B＝540°﹣425°＝115°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠CDA＝180°，
∴∠CDA＝180°﹣115°＝65°．
故选：B．
7．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）
A．﹣2a B．2a﹣2 C．3﹣2a D．2a﹣3
【分析】设点B′的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解．
解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的横坐标的长度为a﹣1，B′、C间的横坐标的长度为﹣x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
故选：C．
8．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）．若直线y＝b与新函数的图象有3个公共点，则b的值是（　　）
A．0 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
【分析】由图可知，当y＝b与新函数有3个交点时，y＝b过新函数的顶点D，求出点D的坐标，其纵坐标即为所求．
解：原二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点C（1，4），
翻折后点C对应的点为D（1，﹣4），
∴当直线y＝b与新函数的图象有3个公共点，直线y＝b过点D，
此时b＝﹣4．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．分解因式：2a2﹣4ab+2b2＝　2（a﹣b）2　．
【分析】原式提取2变形后，利用完全平方公式分解即可．
解：原式＝2（a2﹣2ab+b2）＝2（a﹣b）2．
故答案为：2（a﹣b）2
10．不等式组的解集为 　﹣1＜x＜　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由x+1＞0，得：x＞﹣1，
由2x＜3，得：x＜，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
11．已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　m＜4　．
【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出Δ＝16﹣4m＞0，解之即可得出结论．
解：∵关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＞0，
解得：m＜4．
故答案为：m＜4．
12．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径五尺，不知其深，立三尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸．问井深几何？”意思是：如图，井径AB＝5尺，立木高BD＝3尺，BE＝5寸＝0.5尺，则井深AC为 　27　尺．
【分析】根据题意可知△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质可求AC，进一步得到井深．
解：∵AC∥BD，
∴△ACE∽△BDE，
∴＝，
即＝，
解得AC＝27，
故井深AC为27尺．
故答案为：27．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别以点A、C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB、CD于点E、F．若AC＝6，∠CAB＝35°，则图中阴影部分的面积为 　π　．（结果保留π）
【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO和扇形CFO的面积之和．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝6，OA＝OC＝OB＝OD，AB∥CD，
∴OA＝OC＝3，∠ACD＝∠CAB＝35°，
∴图中阴影部分的面积为：2×＝．
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（0，3）、（4，3），点C是线段AB的中点，将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到CD，过A、B、D三点作抛物线．当x≤1时，抛物线上最高点的纵坐标为 　　．
【分析】根据题意求得顶点坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，根据图象上点的坐标特征即可求得抛物线上最高点的纵坐标．
解：∵A、B两点的坐标分别为（0，3）、（4，3），点C是线段AB的中点，
∴AB∥x轴，C（2，3），
∴AC＝2，
∵将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到CD，
∴AC＝CD，DC⊥x轴，
∴顶点D为（2，5），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+5，
代入A（0，3）得，3＝4a+5，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2）2+5，
∴抛物线开口向下，
∴当x≤1时，在x＝1时，函数有最大值为：y＝﹣（1﹣2）2+5＝，
∴当x≤1时，抛物线上最高点的纵坐标为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．解方程：3x2﹣4x﹣2＝0．
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
解：△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝40＞0，
x＝＝
所以x1＝，x2＝．
16．如图，甲、乙两个完全相同的转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，记下甲、乙两个转盘中指针所指的数字．请用画树状图或列表的方法，求这两个数字之和为偶数的概率．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中两个数字之和是偶数的有4种结果，
∴P（两个数字之和是偶数）＝．
17．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中的线段AB上找一点D，连结CD，使∠DCB＝∠DBC．
（2）在图②中的线段AB上找一点E，连结CE，使∠ACE＝∠AEC．
【分析】（1）利用网格特征取AB的中点D，连接CD即可；
（2）取格点T，连接CT交AB于点E，点E即为所求．
解：（1）如图①中，点D即为所求；
（2）如图②中，点E即为所求．
18．某校为了增强学生的疫情防控意识，组织全校600名学生进行了疫情防控知识竞赛．从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分），分成四组：A组60≤x＜70；B组70≤x＜80；C组80≤x＜90；D组90≤x≤100，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求n的值．
（2）补全频数分布直方图．
（3）若规定学生竞赛成绩x≥90为优秀，请估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
【分析】（1）根据B组的频数和所占的百分比，可以求得n的值；
（2）根据（1）中n的值和频数分布直方图中的数据，可以计算出D组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据直方图中的数据，可以计算出全校成绩达到优秀的人数．
解：（1）n＝12÷24%＝50；
（2）D组学生有：50﹣5﹣12﹣18＝15（人），
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）600×＝180（人），
答：估算全校成绩达到优秀的有180人．
19．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）
[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]
【分析】根据等腰三角形的性质可得CE＝BC＝80m．在Rt△BCF中，由三角函数的定义求出CF的长，根据线段的和差即可求出EF的长度．
解：在Rt△BCE中，BC＝80m，∠BEC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBE＝45°，
∴∠BEC＝∠CBE＝45°，
∴CE＝BC＝80m．
在Rt△BCF中，BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，
∴．
∴CF≈133.3．
∴EF＝CF﹣CE＝133.3﹣80＝53.3≈53（m）．
答：河宽EF的长约为53m．
20．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E是AC上一点，连结CD、DE，∠ADE＝∠BCD．
（1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若∠B＝50°，⊙O的半径为6，求的长．（结果保留π）
【分析】（1）如图，连结OD．根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，得到∠ADE+∠EDC＝180°﹣90°＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ODC＝∠OCD，得到∠ODE＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ODB＝∠B＝50°，求得∠BOD＝180°﹣2×50°＝180°﹣100°＝80°，根据弧长公式即可得到结论．
解：（1）DE所在直线与⊙O相切．
理由如下：
如图，连结OD．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝180°﹣90°＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ADE＝∠BCD，
∴∠ODC＝∠ADE，
∴∠ODC+∠EDC＝90°，
即∠ODE＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴DE所在直线与⊙O相切；
（2）∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝50°，
∴∠BOD＝180°﹣2×50°＝180°﹣100°＝80°，
∴的长为．
21．某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）求w与x之间的函数关系式．
（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据“每件利润×销售量＝总利润”即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）根据（2）w与x之间的函数关系式，配方成顶点式，利用二次函数性质求解可得．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；
（2）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）
＝﹣2x2+160x﹣2400，
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400；
（3）w＝﹣2x2+160x﹣2400
＝﹣2（x﹣40）2+800，
∵﹣2＜0，20≤x≤36＜40，
∴当x＝36时，w取得最大值，
w最大＝﹣2×（36﹣40）2+800＝768．
答：当每件商品的售价定为36元时，每天销售利润最大，最大利润是768元．
22．【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC．
（1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．
（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．
【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为 　　．
【分析】（1）根据圆周角定理可知∠A＝45°；
（2）当AC为⊙O的直径时，AC最大，由△BOC是等腰直角三角形，求出OC的长，可知直径AC的长；
【问题拓展】画△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，ON，首先利用三角函数求出OB＝，可知AC为直径时，AC最大，此时AC＝2OB＝，再根据三角形中位线定理即可解决问题．
解：【问题原型】（1）∠A的度数不发生变化，理由如下：
∵，∠BOC＝90°，
∴；
（2）当AC为⊙O的直径时，AC最大，
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，
根据勾股定理，得OB2+OC2＝BC2，
∵OB＝OC，
∴，
∴，
即AC的最大值为；
【问题拓展】如图，画△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，ON，
则ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2，
∴OB＝，
∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝AC，
∴AC为直径时，AC最大，此时AC＝2OB＝，
∴MN最大值为，
故答案为：．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AC﹣CB﹣BA运动，到点A停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在边的垂线，交△ABC的另一边于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）边AC的长为 　4　．
（2）当点P在△ABC的直角边上运动时，求点P到边AB的距离．（用含t的代数式表示）
（3）当点Q在△ABC的直角边上时，若PQ＝，求t的值．
（4）当△APQ的一个顶点到△ABC的斜边和一条直角边的距离相等时，直接写出t的值．
【分析】（1）由勾股定理即可得出AC的长；
（2）设点P到边AB的距离为h．分两种情况，①当点P在AC边上运动时，②当点P在BC边上运动时，由锐角三角函数定义分别求解即可；
（3）分两种情况，①当点Q在AC边上时，②当点Q在BC边上时，由锐角三角函数定义分别表示出PQ，列出方程，求解即可；
（4）分情况讨论：①P在AC上，P到AB的距离＝P到BC的距离，②P在BC上，P到AB的距离＝P到AC的距离，③P在AB上，Q到AB的距离＝Q到AC的距离，④P在AB上，Q到AB的距离＝Q到BC的距离，分别求出t的值即可．
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝＝4，
故答案为：4；
（2）设点P到边AB的距离为h．
①当点P在AC边上运动时，过P作PH⊥AB于H，如图1所示：
∵sinA＝＝＝，AP＝2t，
∴PH＝；
②当点P在BC边上运动时，过P作PH⊥AB于H，如图2所示：
∵sinB＝＝＝，PB＝7﹣2t，
∴PH＝；
综上所述，点P到边AB的距离为t或﹣t+；
（3）tanA＝＝，tanB＝＝，
①当点Q在AC边上时，AP＝12﹣2t，如图3所示：
则PQ＝＝AP tanA，
即，
解得：t＝5．
②当点Q在BC边上时，BP＝2t﹣7，如图4所示：
则PQ＝＝BP tanB，则，
解得：；
综上所述，若PQ＝，t的值为5或；
（4）分情况讨论：
①P在AC上，P到AB的距离＝P到BC的距离，
过P作PM⊥AB于M，如图5所示：
则PM＝PC，
由（2）得：PM＝t，
∵PC＝AC﹣AP＝4﹣2t，
∴t＝4﹣2t，
解得：t＝；
②P在BC上，P到AB的距离＝P到AC的距离，
过P作PM⊥AB于M，如图6所示：
则PM＝PC，
由（2）得：PM＝﹣t+，
∵PC＝2t﹣4，
∴﹣t+＝2t﹣4，
解得：t＝；
③P在AB上，Q到AB的距离＝Q到AC的距离，如图7所示：
则QP＝QC，
∵QP⊥AB，
∴∠APQ＝90°＝∠ACP，
∵AQ＝AQ，
∴Rt△APQ≌Rt△ACQ（HL），
∴AP＝AC，
即12﹣2t＝4，
解得：t＝4；
④P在AB上，Q到AB的距离＝Q到BC的距离，如图8所示：
则PQ＝CQ，
∵PQ⊥AB，
∴∠APQ＝90°＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△APQ∽△ACB，
∴＝＝，
即＝＝，
解得：PQ＝9﹣t，AQ＝15﹣t，
∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣（15﹣t）＝t﹣11，
∴9﹣t＝t﹣11，
解得：t＝5；
综上所述，当△APQ的一个顶点到△ABC的斜边和一条直角边的距离相等时，t的值为或或4或5．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3，抛物线上不重合的两点A、B的横坐标分别为2n﹣1，n+3．
（1）求这条抛物线的顶点C的坐标．
（2）若A、B两点的纵坐标相等，求n的值．
（3）当点A在对称轴左侧时，将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为L，设图象L的最高点与最低点的纵坐标之差为d，求d与n之间的函数关系式，并直接写出d随n的增大而减小时n的取值范围．
（4）当点A在点B的左侧时，过A、B两点分别向抛物线的对称轴作垂线，垂足分别为点M、N（点M、N不与顶点C重合）．若点M、N、C中其中一点到另两点距离相等，直接写出n的值．
【分析】（1）配方成顶点式即可得出答案；
（2）由A、B两点的纵坐标相等知点A、B关于对称轴对称，据此求解可得；
（3）先得出A、B的坐标分别为（2n﹣1，4n2﹣8n）、（n+3，n2+4n），再分n≤﹣2，﹣2＜n≤0、0＜n＜1三种情况分别求解；
（4）由点A、B的坐标分别为（2n﹣1，4n2﹣8n）、（n+3，n2+4n）知点M（1，4n2﹣8n），N（1，n2+4n），再分点N是MC中点和点M是NC中点两种情况求解即可．
解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点C的坐标为（1，﹣4）；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴．
∴n＝0；
（3）点A、B的坐标分别为（2n﹣1，4n2﹣8n）、（n+3，n2+4n）．
当n≤﹣2时，d＝4n2﹣8n﹣（n2+4n）＝3n2﹣12n．
当﹣2＜n≤0时，d＝4n2﹣8n﹣（﹣4）＝4n2﹣8n+4．
当0＜n＜1时，d＝n2+4n﹣（﹣4）＝n2+4n+4．
当n≤0时，d随n的增大而减小．
（4）∵点A、B的坐标分别为（2n﹣1，4n2﹣8n）、（n+3，n2+4n），
∴点M（1，4n2﹣8n），N（1，n2+4n），
①当点N是MC中点时，有（4n2﹣8n）﹣（n2+4n）＝n2+4n﹣（﹣4），
整理，得：n2﹣8n﹣2＝0，
解得n＝4+3或n＝4﹣3，
∵点A在点B的左侧，
∴2n﹣1＜n+3，即n＜4，
∴n＝4﹣3；
②当点M是NC中点时，有（n2+4n）﹣（4n2﹣8n）＝4n2﹣8n﹣（﹣4），
整理，得：7n2﹣20n+4＝0，
解得n＝；
综上，n的值为或或．